劉愛霞

“準(zhǔn)代數(shù)思維”是介于“算術(shù)思維”和“代數(shù)思維”之間的橋梁和紐帶。培養(yǎng)學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)思維”是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過生活化孕育、數(shù)學(xué)化活動和反思性審視，可以啟蒙學(xué)生的關(guān)系思維、引發(fā)學(xué)生的符號思考、豐厚學(xué)生的代數(shù)思想。

眾所周知，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是“算術(shù)”，而初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是“代數(shù)”。因此，許多教師對數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識和實踐都存在誤區(qū)，比如認(rèn)為小學(xué)低、中年級無須滲透代數(shù)思維，無須過早地涉及符號，等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該播種符號意識，啟蒙學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)思維”。

一、生活化孕育，啟蒙學(xué)生的關(guān)系思維

如果說，算術(shù)思維是一種程序性思維，那么準(zhǔn)代數(shù)思維就是一種變量思維、關(guān)系思維。美國著名數(shù)學(xué)家卡彭特認(rèn)為，“由算術(shù)思維到代數(shù)思維重要轉(zhuǎn)換標(biāo)志之一就是從等號的程序觀念到等號的關(guān)系觀念的轉(zhuǎn)變?！鄙钪性杏S富的關(guān)系模型，比如蹺蹺板、天平等。教師要引領(lǐng)學(xué)生借助生活原型理解數(shù)量之間的關(guān)系、理解變量，讓學(xué)生的生活、經(jīng)驗與代數(shù)學(xué)習(xí)相互匹配、無縫鏈接，進(jìn)而能夠建立準(zhǔn)代數(shù)模型，發(fā)展學(xué)生準(zhǔn)代數(shù)思維。

以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，一直到五年級下冊學(xué)習(xí)“簡易方程”，才重拾起等號的關(guān)系性作用。其實，在小學(xué)低年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師就可以有意識地結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗，幫助學(xué)生形象地建構(gòu)等號的關(guān)系觀念。如在小學(xué)一年級學(xué)習(xí)“整數(shù)的分與合”時，就可以借助學(xué)生熟悉的天平、蹺蹺板等（如圖），幫助學(xué)生形象地建立數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生根據(jù)玩耍蹺蹺板的生活經(jīng)驗，能夠選擇相應(yīng)的點數(shù)填入蹺蹺板右側(cè)的問號處。如5=5、5=1+4、5=2+3。不僅如此，在教學(xué)中，教師還可以啟發(fā)學(xué)生：蹺蹺板兩邊的數(shù)可以交換嗎？學(xué)生根據(jù)玩耍蹺蹺板平衡的生活經(jīng)驗，能夠發(fā)現(xiàn)如果蹺蹺板保持平衡，蹺蹺板兩邊的數(shù)就可以交換。如此，整數(shù)的合成學(xué)習(xí)就自然地轉(zhuǎn)變?yōu)檎麛?shù)的分解學(xué)習(xí)。這為學(xué)生在四年級學(xué)習(xí)整數(shù)加法乃至乘法的交換律奠定了堅實的基礎(chǔ)。

如此，學(xué)生對算式本身有了一種整體性、結(jié)構(gòu)性的把握。

二、數(shù)學(xué)化活動，引發(fā)學(xué)生的符號思考

英國著名數(shù)理邏輯學(xué)家羅素曾經(jīng)這樣說：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！钡拇_，作為數(shù)學(xué)的準(zhǔn)代數(shù)化，一個明顯的標(biāo)志就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的符號化。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要對學(xué)生進(jìn)行積極的符號啟蒙，通過符號孕育、符號播種、符號創(chuàng)造等，引發(fā)學(xué)生的符號思考。比如對于這樣的文字題：“比一個數(shù)的4倍還少4是156，這個數(shù)是多少？”不少學(xué)生在學(xué)習(xí)中，總是受到文字題中的關(guān)鍵文字，比如“多”“少”等影響，而出現(xiàn)各式各樣的錯誤，如（156+4）×4、（156+4）÷4、156-4÷4等等。顯然，學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)化活動，沒有對文字題展開深度分析，更沒有形成良好的符號意識和運用符號進(jìn)行思維的能力。筆者在教學(xué)中，一方面引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖，讓學(xué)生借助線段圖理解1份數(shù)、4份數(shù)等，然后理清它們之間的相等關(guān)系，列式解答。另一方面，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行符號分析，如將一個數(shù)看成小括號，這樣，復(fù)雜的文字題就被濃縮、改裝成簡約的符號算式——“（）×4-4=156”，將一個數(shù)看成字母△，這樣就形成了類似方程的符號模型——“△×4-4=156”，等等。著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茨說：“符號的巧妙和符號的藝術(shù)，是人們絕妙的助手，因為它們使思考工作得到節(jié)約。在這里它以驚人的形式節(jié)省了思維?！迸c文字不同，數(shù)學(xué)符號具有簡潔、形象、直觀、概括等特性。數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過滲透、播種、啟蒙學(xué)生的符號意識，敏銳學(xué)生的符號感覺，激發(fā)學(xué)生的符號思考，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生、建構(gòu)、運用的全過程。通過符號化的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)式思維”。

三、反思性審視，積淀學(xué)生的代數(shù)思想

法國著名思想家笛卡爾曾經(jīng)這樣說：“任何問題都可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，任何數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，任何代數(shù)問題都可以轉(zhuǎn)化為方程問題?！苯虒W(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生不斷地進(jìn)行數(shù)學(xué)反芻、數(shù)學(xué)反省、數(shù)學(xué)反思、數(shù)學(xué)批判，不斷地積淀、豐富學(xué)生的代數(shù)思想。

比如在五年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生遇到了一道探索規(guī)律的題目：用小棒擺正方形，擺1個正方形需要4根小棒；擺2個正方形需要7根小棒，擺3個正方形需要10根小棒，擺10個正方形需要幾根小棒？擺100個正方形呢？100根小棒能夠擺幾個正方形呢？（如圖）

在探索規(guī)律的過程中，學(xué)生不斷地對小棒圖進(jìn)行審視、反思，形成了基于不同思維方式的多種算式。如有學(xué)生以1根小棒作為起始，一個正方形就是1+3，兩個正方形就是1+2×3，三個正方形就是1+3×3……；有學(xué)生以一個正方形作為起始，這樣一個正方形就是4，兩個正方形就是4+3，三個正方形就是4+2×3……；有學(xué)生從正方形的個數(shù)上展開思考，一個正方形是4，兩個正方形是2×4-1×2，三個正方形是3×4-2×2……；有學(xué)生以上下左右線段為參照，如一個正方形是2+2，兩個正方形是2×2+3，三個正方形是2×3+4……。

在學(xué)生對小棒圖進(jìn)行多向?qū)徱暎ㄗ笥铱?、上下看、整體看等）中，形成了多樣化的數(shù)學(xué)表達(dá)。如4+3×（n—1）、1+3n、2n+（n+1 ）、n+2（n+1）……在不斷地符號化審視中，學(xué)生不斷地建構(gòu)，有效地積淀起學(xué)生的符號化能力、代數(shù)化思想。

這個過程是一個循序漸進(jìn)、緩慢生長的過程。

培育學(xué)生的“準(zhǔn)代數(shù)思維”是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義。為此，教師要不斷地捕捉學(xué)生問題思考、問題解決過程中的“代數(shù)的種子”，既向?qū)W生呈現(xiàn)“算術(shù)程序或步驟”，又向?qū)W生呈現(xiàn)“代數(shù)關(guān)系或結(jié)構(gòu)”。讓學(xué)生運用“代數(shù)的耳朵”和“代數(shù)的眼睛”初步思考問題、嘗試解決問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)抽象、概括、驗證、建模以及預(yù)測等的過程中，逐步地形成“準(zhǔn)代數(shù)素養(yǎng)”乃至“代數(shù)素養(yǎng)”。