劉俊良，江傳奇

（北方民族大學(xué)，寧夏 銀川 750000）

0 引 言

DC-DC變換器在很多領(lǐng)域都有著極其廣泛的應(yīng)用，如家用電器、工業(yè)自動(dòng)化、通信、軍工等。由于變換器中開關(guān)器件動(dòng)作的頻繁性，在其運(yùn)行中會(huì)發(fā)生很多預(yù)想不到的情況，如間歇性震蕩、較大的噪音、電磁間的相互干擾、系統(tǒng)的突然紊亂等。開關(guān)電源是一種高頻化電能轉(zhuǎn)換裝置，是當(dāng)代電子信息產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展中不可或缺的一種電源形式。DC-DC變換器屬于開關(guān)電源的核心部分，性能的好壞對于開關(guān)電源的性能影響巨大。當(dāng)某些電路參數(shù)發(fā)生微小變化時(shí)，DC-DC變換器會(huì)呈現(xiàn)出豐富的非線性動(dòng)力學(xué)行為，如分岔、混沌現(xiàn)象等。而這些現(xiàn)象的產(chǎn)生會(huì)使電路系統(tǒng)在運(yùn)行過程中發(fā)生劇烈的振蕩，使系統(tǒng)失穩(wěn)，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰[1]。隨著現(xiàn)代電力電子技術(shù)的飛速發(fā)展，各行各業(yè)對開關(guān)電源性能的要求日益提高。因此，對DC-DC變換器的非線性分析以及用混沌控制策略對其進(jìn)行控制顯得至關(guān)重要。

理論上，目前DC-DC變換器中非線性問題的分析和研究，己經(jīng)成為開關(guān)電源領(lǐng)域的一個(gè)重要課題。根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)理論在DC-DC變換器領(lǐng)域研究的現(xiàn)狀，研究較深入的工作還是一些非隔離型的DC-DC變換器，即電能直接傳遞，不經(jīng)過變壓器。但是，這些非隔離型的DC-DC變換器并不能滿足工業(yè)需求。因此，需要加入具有轉(zhuǎn)換功能的變壓器構(gòu)成隔離型變換器來克服這一缺點(diǎn)，如正激變換器、半橋變換器、全橋變換器和推挽變換器等。所以，本文以B變壓器隔離型Buck（即Forward Converter）為研究對象，從離散迭代模型的建立、非線性動(dòng)力學(xué)行為分析以及混沌控制策略等方面，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和仿真分析[2]。

實(shí)踐上，在DC-DC變換器的工程應(yīng)用中，工程師和科學(xué)家由于沒有從本質(zhì)上對變換器的非線性特性進(jìn)行深層次了解和研究，往往只是盲目地根據(jù)自己長期以來的工作實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)開關(guān)電源系統(tǒng)，導(dǎo)致在電路參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)或多或少會(huì)有一些隨機(jī)和盲目，易造成電路系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中由于某些電路參數(shù)在一些敏感系數(shù)微變時(shí)發(fā)生震蕩，甚至直接燒壞器件。這種情況需要工作人員耗費(fèi)不必要的人力和物力去調(diào)整實(shí)驗(yàn)參數(shù)，直到整個(gè)電路系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，大大降低了工程項(xiàng)目的進(jìn)度。因此，系統(tǒng)分析和研究DC-DC變換器的非線性動(dòng)力學(xué)行為，對開關(guān)電源系統(tǒng)的電路參數(shù)設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。根據(jù)上述分析，本文對隔離型正激變換器進(jìn)行了更深層次的探索，以更加了解變換器的分岔和混沌行為，為系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)提供理論數(shù)據(jù)[2]。

1 正激變換器離散模型的建立

正激變換器采用電壓反饋式方式對電路構(gòu)成一個(gè)回路，電路的整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。設(shè)定變換器電路在CCM的模態(tài)下工作。當(dāng)全控型開關(guān)S導(dǎo)通時(shí)，負(fù)載電壓增加。當(dāng)負(fù)載電壓和參考電壓Vref相等時(shí)，開關(guān)管S關(guān)斷。由基爾霍夫定律得出系統(tǒng)的狀態(tài)方程，此電路涉及變壓器，需對其模型進(jìn)行簡化，整體結(jié)構(gòu)如圖2所示。

在實(shí)際運(yùn)用中，正激變換器的功率變壓器不是理想化的，其中摻雜著很多影響因素，如寄生電容、寄生電感等。如果在建立離散迭代數(shù)學(xué)模型時(shí)考慮這些因素，將會(huì)給推導(dǎo)和仿真帶來很大困難[3]。為了更便捷地分析電路，要參考一些有關(guān)磁性器件的簡化，尤其是有關(guān)變壓器的書籍。由現(xiàn)階段掌握的知識(shí)和內(nèi)容，只能運(yùn)用變壓器的一些主要參數(shù)，如初級繞組Lm、漏感Le，由此可以求出簡化后初級和次級線圈的電壓。變壓器簡化模型如圖2所示。

圖1 電壓反饋型Buck變換器的主電路

圖2 功率變壓器簡化模型

變壓器初、次級電壓關(guān)系為：

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

經(jīng)過求解上述微分方程，并且離散化得出系統(tǒng)的離散迭代模型為：

2 正激變換器中分岔和混沌現(xiàn)象的仿真分析

對于非線性動(dòng)力學(xué)特性的研究，可以借助龐加萊截面、相圖、頻譜、時(shí)域波形圖、分岔圖等方法來判斷分岔和混沌狀態(tài)的運(yùn)行情況。其中，分岔圖是分析系統(tǒng)分岔和混沌行為最清晰、最有效的工具?；谡ぷ儞Q器的離散迭代模型，可以利用MATLAB的m函數(shù)作分岔圖進(jìn)行數(shù)值分析。對于分岔圖，描述系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)是由一系列的離散點(diǎn)構(gòu)成，將這些離散點(diǎn)用線依次連接形成線條。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入非線性行為歷程時(shí)，通過計(jì)算得到大量不單一離散點(diǎn)，將這些點(diǎn)連接起來就構(gòu)成了非線性現(xiàn)象。因此，對于分岔圖，當(dāng)一個(gè)敏感系數(shù)有所改變時(shí)，系統(tǒng)由周期狀態(tài)到非線性狀態(tài)的過程就呈現(xiàn)在分岔圖中。

從理論方面分析，對于DC-DC變換器，任何一個(gè)敏感電路系數(shù)發(fā)生微小改變時(shí)，都會(huì)引起整個(gè)系統(tǒng)的非線性狀態(tài)。在這一部分，主要以正激變換器的負(fù)載電阻R、放大系數(shù)A為分岔參數(shù)分析非線性動(dòng)力學(xué)特性。

運(yùn)用MATLAB的m函數(shù)對正激變換器的離散數(shù)學(xué)模型進(jìn)行迭代計(jì)算，以負(fù)載電阻R為分岔參數(shù)，取值范圍是20～100 Ω，迭代的步長為0.1 Ω，得出的圖形就是分岔圖，如圖3所示。

由圖3可知，當(dāng)負(fù)載電阻在20～48 Ω時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)負(fù)載電阻為48 Ω時(shí)，正激變換器出現(xiàn)倍周期分岔，電路系統(tǒng)進(jìn)入2周期狀態(tài)；當(dāng)負(fù)載電阻繼續(xù)增大時(shí)，系統(tǒng)最終進(jìn)入混沌狀態(tài)。

以放大系數(shù)a為分岔參數(shù)，利用MATLAB掃描3＜a＜6.5的范圍，得出正激變換器的分岔圖，如圖4所示。

從圖4可以看出，當(dāng)3＜a＜6.5時(shí)，正激變換器從穩(wěn)定的1周期狀態(tài)到混沌狀態(tài)。當(dāng)a=6.5時(shí)，電路系統(tǒng)處于穩(wěn)定的1周期狀態(tài)；當(dāng)a=5.8時(shí)，電路系統(tǒng)處于穩(wěn)定的倍周期狀態(tài)；當(dāng)a=3時(shí)，電路系統(tǒng)處于穩(wěn)定的混沌狀態(tài)。

3 正激變換器穩(wěn)定性分析

DC-DC變換器是強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，因此在對其進(jìn)行電路參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，需要求出它們穩(wěn)定工作的參數(shù)區(qū)間。因此，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性十分必要。本節(jié)采用求根軌跡的方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先在Buck變換器離散映射數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，求出系統(tǒng)的雅克比矩陣。當(dāng)選定一個(gè)分岔參數(shù)（如輸入電壓）掃過一定范圍時(shí)，可以用Matlab中的m函數(shù)進(jìn)行仿真，得出其周期軌道特征值運(yùn)動(dòng)軌跡，然后分析其穩(wěn)定性。其次，引入功率變壓器得出初級、次級間電壓的關(guān)系，得出正激變換器的特征值根軌跡圖，分析其穩(wěn)定性。

對于正激變換器的穩(wěn)定性分析，本文采用狀態(tài)空間平均法求解變換器的離散映射數(shù)學(xué)模型，由此選取電容電壓和電感電流為狀態(tài)向量。

分析之前，為了更方便的研究，作出如下兩個(gè)假設(shè)：

（1）正激變換器工作于電感電流連續(xù)模式，只存在兩個(gè)工作模態(tài)；

（2）正激變換器中各個(gè)元器件是理想的。

由此，得出系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

可以得出，正激變換器的1周期和2周期狀態(tài)的特征值根軌跡圖。輸入電壓Vin為分岔參數(shù)，在10～30 V掃描，得到特征值的根軌跡圖，如圖5、圖6所示。

由圖5、圖6所示，系統(tǒng)的特征值開始在一個(gè)半徑小于1的內(nèi)圓上運(yùn)動(dòng)，且是一對共軛復(fù)數(shù)。直到它們運(yùn)動(dòng)到實(shí)軸上，特征值變成實(shí)數(shù)。當(dāng)Vin=18.5 V時(shí)，特征值穿過單位圓。當(dāng)Vin＞18.5 V時(shí)，特征值穿過了單位圓，系統(tǒng)從穩(wěn)定的1周期狀態(tài)變成不穩(wěn)定的狀態(tài)?？梢钥闯?，當(dāng)Vin=19 V時(shí)，特征值已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到單位圓外，系統(tǒng)此時(shí)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)特征值穿過單位圓，系統(tǒng)將進(jìn)入2周期狀態(tài)。

由圖6所示，加大輸入電壓，2周期系統(tǒng)的特征值在半徑小于1的內(nèi)圓上運(yùn)行，直到它們運(yùn)動(dòng)到實(shí)軸，特征值變成實(shí)數(shù)。當(dāng)Vin=28.7 V時(shí)，特征值將穿過單位圓。當(dāng)Vin＞28.7 V時(shí)，特征值穿過單位圓，系統(tǒng)將從2周期狀態(tài)在此發(fā)生分岔，系統(tǒng)進(jìn)入4周期狀態(tài)。當(dāng)Vin=29 V時(shí)，系統(tǒng)處于4周期狀態(tài)。

本節(jié)運(yùn)用狀態(tài)空間平均法，得出正激變換器的離散數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上求出系統(tǒng)的雅克比矩陣，運(yùn)用MATLAB的m函數(shù)得出系統(tǒng)的特征值運(yùn)動(dòng)軌跡，并對此軌跡進(jìn)行分析，得出系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化軌跡。通過正激變換器穩(wěn)定性分析，得出了正激變換器的穩(wěn)定工作區(qū)間。

4 結(jié) 論

本文分析了隔離型變換器——正激變換器的非線性動(dòng)力學(xué)特性。首先，求出功率變壓器簡化后的離散數(shù)學(xué)模型。在分析離散數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，分別以負(fù)載電阻R和放大系數(shù)a為分岔參數(shù)，用MATLAB的m函數(shù)做出變換器的分岔圖；分析了隨著負(fù)載電阻和放大系數(shù)的變化，系統(tǒng)從周期到分岔直到混沌的變化過程，驗(yàn)證了正激變換器非線性行為的正確性；運(yùn)用狀態(tài)空間平均法，得出正激變換器的離散數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上求出系統(tǒng)的雅克比矩陣，運(yùn)用MATLAB的m函數(shù)得出系統(tǒng)的特征值運(yùn)動(dòng)軌跡，并對此軌跡進(jìn)行分析，得出系統(tǒng)穩(wěn)定性的變化軌跡；通過正激變換器穩(wěn)定性分析，得出了正激變換器的穩(wěn)定工作區(qū)間。

圖5 1周期軌道特征值根軌跡圖

圖6 2周期軌道特征值根軌跡圖