【摘要】首先證明了圓柱體的斜截面是一個(gè)橢圓，然后通過(guò)用立體幾何的方法研究了橢圓的一條重要的光學(xué)性質(zhì)，相比于之前的純幾何法、解析幾何法等，證明方法更加的簡(jiǎn)潔明了，從而使得橢圓的光學(xué)性質(zhì)在更廣闊的的領(lǐng)域得以運(yùn)用。

【關(guān)鍵詞】立體幾何法 橢圓 光學(xué)性質(zhì)

【中圖分類號(hào)】O123.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）14-0037-01

前言

眾所周知，用一個(gè)不平行于圓柱體底面的平面去截圓柱體，得到的截面是一個(gè)橢圓。如圖1所示。此外，圓柱體還有一個(gè)重要的幾何性質(zhì)，在橢圓中，假設(shè)F，S分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，MPN為橢圓的一條切線，且P為切點(diǎn)，連接PF，PS，則有∠MPF=∠NPS，這就是橢圓的光學(xué)性質(zhì)，如圖2所示：

橢圓的光學(xué)性質(zhì)對(duì)科學(xué)生產(chǎn)產(chǎn)生了重要的影響，比如橢圓鏡面用來(lái)制作電影放映機(jī)的聚光燈等，因此研究橢圓的這條性質(zhì)具有著重要的意義。橢圓的這條性質(zhì)前人已經(jīng)給出過(guò)了一些證明的方法，如純幾何法，解析幾何法，甚至包括光學(xué)物理等方法，本文從一個(gè)新的角度出發(fā)，提出了一種新的方法來(lái)研究橢圓的這條性質(zhì)，那就是用立體幾何的方法來(lái)研究橢圓這個(gè)平面幾何的性質(zhì)問題。

說(shuō)明為了作圖的方便，以下的作圖用兩條平行線來(lái)表示圓柱體。

一、橢圓的光學(xué)性質(zhì)

首先，我們來(lái)探究一下，為什么圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓。首先根據(jù)橢圓的定義，平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和（此和要大于兩定點(diǎn)的距離）為一個(gè)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓。下面我們就利用定義來(lái)證明圓柱體的斜截面是一個(gè)橢圓。

例1 用一個(gè)不平行于圓柱體底面的平面去截一個(gè)圓柱體，將得到一個(gè)截面，然后在圓柱體的內(nèi)部放進(jìn)去兩個(gè)球，并且這兩個(gè)球剛剛好能放進(jìn)圓柱體內(nèi)部（球的截面與圓柱體上底面等大），下球與此截面相切于F，上球與截面相切于S，求證此截面是一個(gè)橢圓。

證明如圖3所示，任取截面上一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作兩球的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，連接PF，PS。

因?yàn)橄虑蚺c截面相切，切點(diǎn)為F，又因?yàn)镻在截面上

所以PF為下球的切線

因?yàn)镻A也是下球的切線

所以PF=PA

同理可得PS=PB

故PS+PF=PA+PB（定值）

根據(jù)橢圓的定義可得，此截面是一個(gè)橢圓，例1得證。

例2 如圖4，MPN為橢圓切線，PQ垂直于底面，XQY為過(guò)點(diǎn)Q的底面的切線。證明：兩條切線在同一平面內(nèi)。

證明過(guò)點(diǎn)P作與圓柱體相切的平面α，顯然過(guò)Q點(diǎn)作與圓柱體相切的平面與α重合，且XQY在α上。由于橢圓面與α的交線必為橢圓切線（因?yàn)闄E圓與α相切于點(diǎn)P，故在α內(nèi)過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓只有一交點(diǎn)P，而兩平面交線在橢圓面上，故此交線為切線），所以MPN在α上，故例2得證。

例3 如圖5，證明，∠MPF=∠NPS（橢圓的光學(xué)性質(zhì)）。

證明既然兩切線有交點(diǎn)，故設(shè)M為交點(diǎn)，同理，上球部分交點(diǎn)為N。

因?yàn)镸在橢圓面上，F(xiàn)為橢圓面與球的切點(diǎn)，

所以MF為下球的切線。

所以：MF=MA

又：MP=MP，PF=PA

所以：ΔPFM≌ΔPAM

所以：∠MPF=∠APM

同理：∠SPN=∠BPN

∠APM=∠BPN（對(duì)頂角相等）

故：∠MPF=∠NPS，例3得證。

二、結(jié)語(yǔ)

從立體幾何的角度去分析解決平面幾何的問題，是一種比較新穎的方法，此外相對(duì)于平面幾何、解析幾何的證明方法，這種方法思路清晰、證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了。同時(shí)，這也就提供了一個(gè)解決平面幾何問題的方法，在解決平面幾何問題時(shí)，如果從平面幾何的角度出發(fā)難以入手時(shí)，不妨試試構(gòu)造空間幾何體來(lái)解決。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

齊靜（1990-），女，碩士研究生，河南南陽(yáng)人，助教，高校專職教師。