廣東省廣州市南海中學(xué)(510160) 陳煥文

廣東省順德區(qū)杏壇中學(xué)(528325) 陳美茹

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系,是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容.建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量問(wèn)題是同樣重要的.

作為代數(shù)主干知識(shí)的不等式,在歷年的新課標(biāo)高考題中都對(duì)其進(jìn)行重點(diǎn)考察,內(nèi)容涉及線性規(guī)劃、解不等式和證明不等式等.

下面,我們以必修5《3.1不等關(guān)系與不等式》的習(xí)題A組題3為例,研究不等式的相關(guān)問(wèn)題.

一、原題展示

已知x＞0,求證:

二、解題方法

必修5《3.1不等關(guān)系與不等式》中首先介紹了比較實(shí)數(shù)大小的基本事實(shí):a?b＞0?a＞b;a?b=0?a=b;a?b＜0?a＜b.很容易想到用作差比較法來(lái)證明.

解法1(作差比較法)因?yàn)閤＞0,所以所以所以

此外,不難得到以下解法:

解法2(分析法:選修2-2 2.2)要證:只要證:只要證:因?yàn)閤＞0,所以顯然成立.所以成立.

解法3(基本不等式:必修5 3.4)因?yàn)閤＞0,所以即原不等式得證.

圖1

解法4不等式的幾何意義(也可看成是幾何證明):如圖1,在直角△ABC中,AD,AE分別是斜邊BC上的高和中線,設(shè)DC=1,BD=1+x(x＞0),則由AD＜AE即可得到.

三、拓展與背景

略證設(shè)f(x)=(1+x)α?(1+αx),x＞?1,則f′(x)=α[(1+x)α?1?1],易得f′(0)=0,因?yàn)?0＜α＜1,所以當(dāng)x＞0時(shí),f′(x)＜0;當(dāng)x＜0時(shí),f′(x)＞0.所以當(dāng)x＞?1時(shí),f(x)≤f(x)max=f(0)=0,即(1+x)α≤1+αx對(duì)于x＞?1成立.

那么當(dāng)α＞1時(shí),不等式(1+x)α≤1+αx仍成立嗎?我們采用從特殊到一般的思路來(lái)進(jìn)行研究,比如α=2,α=3不難發(fā)現(xiàn):(1+x)2=1+2x+x2≥1+2x;(1+x)3=1+3x+3x2+x3=1+3x+x2(3+x)≥1+3x.于是猜想:當(dāng)α＞1時(shí),(1+x)α≥1+αx對(duì)于x＞?1成立.其證明可以完全類(lèi)似上述證明過(guò)程:

設(shè)f(x)=(1+x)α?(1+αx),x＞?1,則f′(x)=α[(1+x)α?1?1],易得f′(0)=0,因?yàn)棣粒?,所以當(dāng)x＞0時(shí),f′(x)＞0;當(dāng)x＜0時(shí),f′(x)＜0.所以當(dāng)x＞?1時(shí),f(x)≥f(x)min=f(0)=0,即 (1+x)α≥ 1+αx對(duì)于x＞?1成立.

我們還可以進(jìn)一步思考α＜0,情況會(huì)怎樣?事實(shí)上,此時(shí)(1+x)α≥1+αx對(duì)于x＞?1成立,證法類(lèi)似.

綜上所述,我們會(huì)得到下面的結(jié)論:

定理1當(dāng)0＜α＜1時(shí),(1+x)α≤1+αx對(duì)于x＞?1成立;

定理2當(dāng)α＞1或α＜0時(shí),(1+x)α≥1+αx對(duì)于x＞?1成立.

上述結(jié)論就是著名的伯努利(Bernouli)不等式,而課本的這個(gè)習(xí)題就是Bernouli不等式的一種特例.從上述證明可以看出,該不等式是一個(gè)很基本的不等式,只要學(xué)習(xí)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)就可以證明(上述證明方法源自選修2-2習(xí)題1.3 B組題1).

Bernouli不等式的幾何解釋

記f(x)=(1+x)α,g(x)=1+αx,則直線g(x)=1+αx是曲線f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線,所以(1+x)α與1+αx的大小比較也就是看兩個(gè)圖像位置的“高矮”問(wèn)題.借助幾何畫(huà)板我們可以得到三種情形的圖像:

由圖可知:當(dāng)0＜α＜1時(shí),切線g(x)=1+αx都在曲線f(x)上方(除切點(diǎn)外);當(dāng)α＞1或α＜0時(shí),切線g(x)=1+αx都在曲線f(x)下方(除切點(diǎn)外).

在定理2中取α=n,n∈N?,得到

推論1當(dāng)n∈N?時(shí),(1+x)n≥1+nx對(duì)于x＞?1成立.

對(duì)于推論1中的不等式(1+x)n≥1+nx,我們還可以再推廣:

定理 3(1+x1)(1+x2)···(1+xn) ≥ 1+x1+x2+

···+xn,其中x1,x2,···,xn同號(hào),且xi＞?1.

在定理1,2中令1+x=t,得到:

推論2當(dāng)0＜α＜1時(shí),tα≤1+α(t?1)對(duì)于t＞0成立;

推論3當(dāng)α＞1或α＜0時(shí),tα≥1+α(t?1)對(duì)于t＞0成立.

四、Bernouli不等式的應(yīng)用

作為一個(gè)基本的不等式,Bernouli不等式在大學(xué)數(shù)學(xué)中扮演了重要角色,如求重要極限e,證明幾何-算術(shù)平均值不等式:其中x,x,···,x為非負(fù)數(shù).而《考12n試大綱》指出:(高考)考查考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解水平,以及進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.基于以上兩點(diǎn),不少的高考題和模擬題都以Bernouli不等式為背景:或是直接應(yīng)用Bernouli不等式,或是研究Bernouli不等式,以此考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能.下面,選取三個(gè)考題進(jìn)行評(píng)析!

例1(2007湖北理科21題)已知m,n∈N+

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)x＞?1時(shí),(1+x)n≥1+nx;

(2)對(duì)于n≥6,已知求證:

(3)求出滿足等式3n+4n+···+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n.

評(píng)析例1是以推論1為背景,研究特殊情形的Bernouli不等式.例1的(2)則是直接應(yīng)用推論1的結(jié)論:當(dāng)n≥ 6,m≤n時(shí),由(I)得于是

例2(2006江西理科 22題)已知數(shù)列{an}滿足:

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2) 證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1·a2·····an＜2·n!成立.

評(píng)析本題這也是Bernouli的一種情形,其證明可以參照湖北高考題,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.定理3就是這道高考題的背景,第(2)問(wèn)直接應(yīng)用定理3即可“秒殺”.在 (1)中求得所以要證轉(zhuǎn)化成證明由定理3得到:

例3(2012湖北理科22題)(1)已知函數(shù)f(x)=rx?xr+(1?r)(x＞0),其中r為有理數(shù),且0＜r＜1.求f(x)的最小值;

(2)試用(1)的結(jié)果證明如下命題:設(shè)a1≥0,a2≥0,b1,b2為正有理數(shù),若b1+b2=1,則ab11ab22≤a1b1+a2b2;

(3)請(qǐng)將(2)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.注:當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí),有求導(dǎo)公式(xα)′=αxα?1.

評(píng)析第(1)問(wèn)以推論2為背景,第(2)問(wèn)要用到(1)的結(jié)果(即使推論2):若a1=0或a2=0,不等式顯然成立,若a1＞0,a＞0,在tα≤1+α(t?1)中令得:所以即

例4(2014安微卷理科21題)設(shè)實(shí)數(shù)c＞0,整數(shù)p＞1,n∈N?.

(1)證明:當(dāng)x＞?1且x≠0時(shí),(1+x)p＞1+px;

(2)數(shù)列{an}滿足證明:

評(píng)析第(1)問(wèn)是選修4-5教材上的例題,證明貝努利Bernouli不等式,教材中給出的是數(shù)學(xué)歸納法證明(略).第二問(wèn)則是應(yīng)用貝努利不等式結(jié)論解決數(shù)列問(wèn)題,體現(xiàn)了高考命題植根于教材又高于教材的特點(diǎn).

五、反思與小結(jié)

波利亞說(shuō)過(guò):“一個(gè)有意義題目的求解,為解此題所花的努力和由此得到的結(jié)論和見(jiàn)解,可以打開(kāi)通向一門(mén)新的學(xué)科,甚至通向一個(gè)科學(xué)新紀(jì)元的門(mén)戶.”學(xué)數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題,但不能僅僅就題論題,課堂上老師可以努力創(chuàng)造一種“啟發(fā)、誘導(dǎo)、探究”的環(huán)境,使學(xué)生身臨其境地經(jīng)歷數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過(guò)程,使我們的數(shù)學(xué)課堂從以解題訓(xùn)練為主轉(zhuǎn)向以思維訓(xùn)練為主.

東晉詩(shī)人陶淵明在《桃花源記》寫(xiě)到:“林盡水源,便得一山,山有小口,仿佛若有光.便舍船,從口入.初極狹,才通人.復(fù)行數(shù)十步,豁然開(kāi)朗.”數(shù)學(xué)的美與文學(xué)的美是相通的,一道簡(jiǎn)單的習(xí)題背后同樣別有洞天!我們何妨去做陶公筆下的那個(gè)“漁夫”呢!