湖北省武漢市華中科技大學同濟附中(430030) 高洪濤 王凱旋

一、問題提出

在教學中,有很多學生反映,上課能聽懂老師的講解,但是自己再遇到類似的題目還是不會解.如果是一道新類型的問題,更不知如何下手.當然,我們可以從老師和學生的角度進行分析.很多老師的論文已經(jīng)多角度的分析了這個問題,在此,不做太多的重述.本文計劃從另一個角度即解題方法的習得展開探討.“解題是數(shù)學的心臟”,中學數(shù)學活動,離不開解題這個重要環(huán)節(jié).而解題,必然涉及到解題方法,解題方法從何而來?大概有這樣幾種途徑:來自于課堂從老師那里獲得的解題方法;來自于所訂閱的期刊雜志或者教輔資料;來自于和老師、同學交流以后所感悟出來的;還有一種,往往被我們所忽視,就是來自于我們所要解決的問題.在一些綜合問題中,往往有多個小問題,形成問題串的方式呈現(xiàn)出來,前面的小問題或者為后面的小問題提供了條件,結(jié)論(另文書寫),或者為后面的小問題提供了方法.但是,我們的學生在解題的過程中,割裂了各個問題之間的聯(lián)系,總是想另起爐灶,苦思冥想,而忽視了近在眼前的方法寶藏.下面,通過典型案例,來說明如何在解答綜合問題時得到解題方法的變式生成.

在我們需要解答的綜合問題中,很多時候,就是一個變式的問題串.后面的問題中的圖形結(jié)構(gòu)和第一個問題的圖形結(jié)構(gòu)相比,或者進行了變式構(gòu)造,或者只保留了部分結(jié)構(gòu).那么,在解答后面問題的時候,我們需要補全圖形,采用相似的方法,完成綜合問題的解答.這種解題方法的獲得,來自于我們需要解決的問題.

二、案例分析

案例 1已知:CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,M,N,F分別是AE,BD,DE的中點,連接FM,FN.

(1)如圖1,當A,D,C在一條直線上時,求證:①FM=FN;②FM⊥FN;

圖1

圖2

分析問題已知條件中已經(jīng)出現(xiàn)多個中點和中位線,可以考慮利用中位線定理完成解答.

解①因為CA=CB,CD=CE,所以AD=BE.因為M,N,F分別是AE,BD,DE的中點,所以且FM//AD,FN//BE,所以FM=FN.

②如圖2,延長FM交BC于G,由①得:FM//AD,FN//BE,因為 ∠ACB=90°,所以 ∠MGB=∠ACB=90°,所以FM⊥BC,所以FM⊥FN.

(2)如圖3,當B,D,C在一條直線上時,上述①②是否成立?

圖3

圖4

分析第二問實質(zhì)是第一問的簡單變式,根據(jù)變式生成的方法生成模式,保持第一問的相似結(jié)構(gòu)和方法.

解①如圖4,連接AD,BE,延長AD交BE于G點,因為CA=CB,CD=CE,∠ACB= ∠DCE=90°所以△ACD△BCE,所以AD=BE,∠CAD=∠CBE.因為M,N,F分別是AE,BD,DE的中點,所以且FM//AD,FN//BE,所以FM=FN.

②由①得∠CAD=∠CBE,又因為∠ADC=∠BDG,所以∠BDG= ∠ACB=90°,所以AD⊥BE,又因為FM//AD,FN//BE,所以FM⊥FN.

案例2已知△ABC,以為AC邊在△ABC外作等腰△ACD,其中AC=AD.

(1) 如圖 5,若AB=AE,∠DAC= ∠EAB=60°,求∠BFC的度數(shù).

圖5

解因為∠DAC=∠EAB=60°,所以 ∠CAE= ∠BAD.因為AC=AD,AB=AE,所以△ABD,所以 ∠AEC= ∠ABD,所以∠BFE= ∠EAB=60°,所以 ∠BFC=180°?∠BFE=60°.

(2) 如圖 6,若 ∠ABC=30°,∠ACD=60°,BC=4,BD=6,求AB的長.

圖6

圖7

分析從第一問到第二問,好似從完整到殘缺,第一問的兩邊都有等邊三角形,而第二問只有一邊有等邊三角形,根據(jù)變式生成方法的模式,保持第一問的相似結(jié)構(gòu)和方法,我們在三角形的另一邊補充一個等邊三角形試一試.

解如圖7,以AB為邊,在△ABC外作等邊三角形△ABE,連接CE,則 ∠ABE= ∠BAE=60°,BE=AB=AE,所以∠DAB= ∠EAC,又因為AC=AD,所以△ABD△ACE,所以BD=CE=6.因為BC=4,因為 ∠ABC=30°,所以 ∠EBC=90°.在 Rt△BCE中,所以

(3)如圖 8,AB=2,BC=5,∠ABC= ∠ACD=∠ADC=45°,則BD的長.

圖8

圖9

分析從第一問,第二問到第三問,從完整到殘缺,從等邊三角形到等腰直角三角形.第一問的兩邊都有等邊三角形,第二問也需要兩邊有等邊三角形,但是,第三問和第一問相比也是殘缺的,和第二問相比三角形從等邊三角形,變?yōu)榈妊苯侨切?根據(jù)變式生程方法的模式,保持第一問的相似結(jié)構(gòu)和方法我們在三角形的另一邊補充一個等腰直角三角形試一試.

解如圖9,以AB為邊,在△ABC外作等腰直角三角形△ABE,使,AB=AE,∠EAB=90°,連接CE.因為 ∠ACD= ∠ADC=45°,所以AD=AC,∠CAD=90°. 因為AB=AE,∠EAB=90°,所以 ∠CAE=∠BAD,所以△ABD△ACE,所以BD=CE.因為 ∠ABC= ∠ABE=45°所以 ∠EBC=90°. 因為AB=2,BC=5,所以因為在 Rt△BCE中,所以

案例3(1)如圖10,若點M,N分別在正方形ABCD的邊BC,DC的延長線上,且 ∠MAN=45°,請?zhí)角骃△AMN,S△ABM,S△ADN之間的等量關系,并證明;

(2)如圖,在△ABC中,∠MAN=45°,且AD⊥BC于D,若BD=3,CD=10,求S△ABC.

圖10

圖11

解如圖11,在DC上截取DQ=BM,連接AQ,因為四邊形ABCD正方形所以AB=AD,∠ABM=∠ADQ,所以△ABM△ADQ,所以S△ABM=S△ADQ,AM=AQ.設∠BAM= ∠DAQ=x,∠BAN=y,則x+y=45°,所以∠QAN=90°?(∠BAN+∠DAQ)=90°?(x+y)=45°,所以 ∠MAN= ∠QAN. 又因為AN=AN,所以△AMN△AQN,所以S△ANM=S△ANQ,所以S△AMN+S△ABM=S△ADN.

圖12

圖13

分析從第一問到第二問,從完整到殘缺,第一問存在一個正方形,而第二問只有一個三角形,根據(jù)變式生成方法的模式,保持第一問的相似結(jié)構(gòu)和方法,以AD為邊,構(gòu)造一個正方形試一試.