孫猛生

孔子曰：“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則怠.”反思能促使學(xué)生從新角度，多層次、多側(cè)面地對(duì)問題及解決問題的思維過程進(jìn)行全面的考察、分析與思考，從而深化對(duì)問題的理解，探索一般規(guī)律，揭示問題本質(zhì)，獲得新的發(fā)現(xiàn)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反思是學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步的重要途徑，學(xué)生若能在學(xué)習(xí)和解題后對(duì)知識(shí)和方法、問題的發(fā)生和發(fā)展等方面進(jìn)行一點(diǎn)反思，可以從題海中獲得解脫，反思可順勢而為，該問題有何更好的解法？它對(duì)某類問題的求解有什么啟發(fā)？下面就如何培養(yǎng)學(xué)生反思談?wù)勎以诮虒W(xué)中的一些做法。

一、注重引導(dǎo)學(xué)生在概念定理、公式學(xué)習(xí)后反思

教師在教學(xué)中除了要引導(dǎo)學(xué)生積極參與概念、定理、公式的形成過程外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行全方位的反思，才能深刻理解其內(nèi)涵和外延，揭示其本質(zhì)，從而達(dá)到靈活、有效的運(yùn)用。在講完成任務(wù)圓錐曲線統(tǒng)一定義后，我設(shè)計(jì)了這樣一道題：

例1 設(shè)點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離與它到直線x+y-1=0的距離相等，求點(diǎn)M的軌跡。

大多數(shù)同學(xué)根據(jù)拋物線的定義寫了拋物線。

我請(qǐng)一位同學(xué)將解答過程寫在黑板上。

解：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由條件，有。平方整理得x-y-1=0

故點(diǎn)M的軌跡是一條直線。

學(xué)生很茫然，難道是拋物線的定義錯(cuò)了？教師不動(dòng)聲色，讓同學(xué)對(duì)照定義進(jìn)行反思概念有沒有問題，還是我們自己對(duì)概念理解不透。

通過反思，大家發(fā)現(xiàn)沒能注意定義中“點(diǎn)不在直線上”這個(gè)條件，而此題點(diǎn)M在直線x+y-1=0上，因此點(diǎn)M的軌跡是直線x-y-1=0。在概念教學(xué)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生反思，多問幾個(gè)為什么，多想幾個(gè)為什么，這樣有利于學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，有利于學(xué)生運(yùn)用自已的思維方式去探索、研究問題，以免思維產(chǎn)生負(fù)遷移。

二、注重引導(dǎo)學(xué)生解題后反思

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在一定程度上說就是解題學(xué)習(xí)，一道數(shù)學(xué)題經(jīng)過一番艱辛，苦思冥想解出答案后，必須從中學(xué)到點(diǎn)東西，如知識(shí)，規(guī)律，方法，思想等；否則思維沒有得到任何鍛煉，此題解出有何用，否則下次碰到同類型問題還是會(huì)苦思冥想探求解題思路，所以解題后必須認(rèn)真進(jìn)行如下反思：

1.反思解題的合理性和正確性

解數(shù)學(xué)題，有時(shí)由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤，即學(xué)生解數(shù)學(xué)題，不能保證一次性正確和完善。

例2 已知曲線，求過點(diǎn)p（1，1）的切線方程。

錯(cuò)解：由，得，所以曲線過p（1，1）的切線方程是，即。

反思1.教師可通過畫圖的形式讓學(xué)生對(duì)此題的正確性進(jìn)行辨別。

反思2.求在p（1，1）某點(diǎn)處的切線方程與求過點(diǎn)p（1，1）的切線方程是否是同一概念，區(qū)別在哪，如何糾錯(cuò)？

通過這一反思，學(xué)生對(duì)求這種切線方程的題有了深刻的認(rèn)識(shí)，所以解題后，必須對(duì)解題過程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證。

2.重視知識(shí)的遷移和應(yīng)用

探究問題所含知識(shí)的系統(tǒng)性、遷移性和應(yīng)用性，解題之后，要不斷地探究問題的知識(shí)結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)性，能否對(duì)問題蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入地探究？能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系？把問題所蘊(yùn)含孤立的知識(shí)“點(diǎn)”，擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”。通過不斷地拓展、聯(lián)系，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解，進(jìn)而系統(tǒng)性的形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3.整合知識(shí)，創(chuàng)新設(shè)問、構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系

要讓學(xué)生明白，問題與問題之間不是孤立的，許多表面上看似無關(guān)的問題卻有著內(nèi)在的聯(lián)系，解題不能就題論題，要尋找問題與問題之間本質(zhì)的聯(lián)系，要質(zhì)疑為什么有這樣的問題？他和哪些問題有聯(lián)系？能否受這個(gè)問題的啟發(fā)？將一些重要的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法進(jìn)行有效的整合，創(chuàng)造性地設(shè)問？讓學(xué)生在不斷的知識(shí)聯(lián)系和知識(shí)整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容，體驗(yàn)“創(chuàng)造”帶來的樂趣，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維是非常有利的。

4.探究規(guī)律，形成小結(jié)

對(duì)每個(gè)問題都要尋根問底，能否得到一般性的結(jié)果，有規(guī)律性的發(fā)現(xiàn)？能否形成獨(dú)到的見解，有自己的小發(fā)明？點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，都能喚起學(xué)生的成就感，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索問題的興趣。長期的積累，更有利于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的個(gè)性特征的形成，并增加知識(shí)的存儲(chǔ)量。

例3 過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線和此拋物線相交，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2，求證：。

學(xué)生通過探究發(fā)現(xiàn)了此題的多種解法，教師叫幾位學(xué)生板演，充分暴露其思維過程。

師：回顧幾位同學(xué)的解法，同學(xué)有沒有更好的方法？哪種方法更簡單實(shí)用？

學(xué)生通過反思發(fā)現(xiàn)下面這解法是多種解法中最簡單實(shí)用。

證明：因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為代入中，有。由于y1、y2是該方程的兩實(shí)根，故由韋達(dá)定理可知。

師：引導(dǎo)學(xué)生說出這種解法和其它解法比較優(yōu)越在哪些方面。

師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思。

反思1：該命題的逆命題成立嗎？

反思2：若把本題的條件加以推廣，能得到類似的結(jié)論嗎？

即：過定點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2，那么y1y2是定值嗎？

反思3：一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y1、y2，若y1y2=m，那么該直線過定點(diǎn)嗎？

反思4：直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB的傾斜角分別為α和β，如果，那么直線AB過定點(diǎn)嗎？

反思5：直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB的傾斜角分別為α和β，且為定值，那么直線AB過定點(diǎn)嗎？

反思6：解決這些問題，你有哪些感悟？

如果我們能與學(xué)生一起，經(jīng)常地對(duì)數(shù)學(xué)題目、問題進(jìn)行一點(diǎn)反思，那么我們對(duì)數(shù)學(xué)的有關(guān)問題會(huì)有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，學(xué)生也能在不斷的反思中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在反思中得到樂趣，在反思中使學(xué)習(xí)能力得到提高。