劉仁彬

摘 要：本文基于本科應(yīng)用隨機過程課程教學中授課教師講什么、如何講的問題，結(jié)合該課程的知識點和講授實踐，就本科應(yīng)用隨機過程的授課問題進行了深入的思考和探索。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用隨機過程 教學效果 講授內(nèi)容 講授方式

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）02（a）-0147-02

《應(yīng)用隨機過程》是本科生學習《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程后即將開設(shè)的一門后繼課程。它的基本知識和方法，不僅為數(shù)學、概率統(tǒng)計專業(yè)所必需，也為工程技術(shù)、電子信息及經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用與研究所需要。 因此，隨機過程的理論、方法和應(yīng)用越來越受到人們的重視，高等院校的學生、工程技術(shù)人員、金融工作者，更迫切地需要學習和掌握隨機過程的知識。

但是本科學生習慣了確定性現(xiàn)象的研究思維和研究方法，對以研究不確定現(xiàn)象為對象的應(yīng)用隨機過程課程，感覺理論抽象、公式繁瑣，例題聯(lián)系廣泛，理解、接受和應(yīng)用起來難度很大。另一方面，大多數(shù)高校都把這門課程列為選修課，課時較短（我校統(tǒng)計專業(yè)是40學時，數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)是32學時，全校選修課是32學時）。面對這樣的局面，如何在有限的教學時間內(nèi)實現(xiàn)理想的教學效果，讓學生理解抽象的概念、掌握定理結(jié)論并應(yīng)用到實際問題中去分析問題和解決問題，克服學生的恐懼畏難情緒，使學生的被動學習轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W習，最終實現(xiàn)教學中學生為主體老師為主導(dǎo)，這不僅要求學生勤奮努力，更對授課教師提出了較高的要求。講什么？如何講？這是授課教師繞不開的一個主題。 作者結(jié)合講授應(yīng)用隨機過程多年的實踐和體會，進行了如下的思考和探索。

1 對一些概念，講清楚引入它們的原因或作用

在應(yīng)用隨機過程的教學中，經(jīng)常出現(xiàn)的一種現(xiàn)象是，授課教師直接給出一些抽象的概念，隨后理論上證明一些定理結(jié)論，再講解一些例題。學生不理解引入這些概念有什么用，為什么需要這些概念，僅僅停留在被動學習的不利地位，完全是因為考試而學習。如果講清楚概念引入的原因或作用，將有利于學生加深對概念的理解和掌握。比如，引入事件域σ代數(shù)）這一概念時，可以實數(shù)集的運算封閉性來談事件域引入的原因。因為實數(shù)集具有良好的運算封閉性，即實數(shù)的加、減少、乘、除、乘方、開方仍是實數(shù)，使得其上建立的函數(shù)具有良好的性質(zhì)。同樣地，為了更好地研究事件概率，需要在事件構(gòu)成的集合（集類）上定義一個具有良好性質(zhì)的函數(shù)（概率），這就要求這個事件構(gòu)成的集類對集合的運算具有良好的封閉性，即這個集類的集合經(jīng)并、交、差、對立事件等運算后仍屬于這個集合。這樣的集類稱為事件域，從而很自然地給出事件域概念，加深了學生的理解。由于事件域?qū)κ录\算具有良好的封閉性，使得其上建立的函數(shù)（概率）具有良好的性質(zhì)，再講授概率的幾條性質(zhì)就很自然了；又比如，為了更好的表示事件，特別是表示一些復(fù)雜事件，概率論在樣本空間上定義一個函數(shù)，用它的函數(shù)值來表示事件，這個函數(shù)就是隨機變量，從而引出隨機變量的概念。再比如，對任意實數(shù)和樣本空間，由于，，所以要求隨機變量X取值表示的事件概率，只需對任意實數(shù)x，求事件的概率，而是x的函數(shù)，稱為X的分布函數(shù)，這樣就說明了引入分布函數(shù)的原因。

2 對相關(guān)聯(lián)的隨機過程，講清楚它們的區(qū)別和聯(lián)系

在應(yīng)用隨機過程課程中，有些隨機過程之間是相關(guān)聯(lián)的，講清楚它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，可以讓學生理解更透徹。比如，對嚴平穩(wěn)過程和寬平穩(wěn)過程來說，它們的均值函數(shù)和方差函數(shù)存在時均為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均為時間間隔的一元函數(shù)。但嚴平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程，反之一樣，也存在既不是嚴平穩(wěn)又不是寬平穩(wěn)的隨機過程。具體例子如下：（1）對其密度函數(shù)為，則是嚴平穩(wěn)過程，但不存在，所以不是寬平穩(wěn)過程；（2）對，因為對有，即該隨機過程的一維分布函數(shù)隨時間平移改變，所以該過程不是嚴平穩(wěn)過程。但由于均值函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)只與時間差有關(guān)，

且二階矩，故該過程為寬平穩(wěn)過程。但對，因是t的函數(shù)，故該過程既不是嚴平穩(wěn)過程又不是寬平穩(wěn)過程。由上述關(guān)系可知，當嚴平穩(wěn)過程也是二階矩過程時必為寬平穩(wěn)過程。另外，理論上可以證明，對正態(tài)過程（Gauss過程）而言，嚴平穩(wěn)過程等價于寬平穩(wěn)過程。

3 對具有多個定義的隨機過程，明確它們各自的使用范圍

對隨機過程的多個等價定義，講清楚它們各自的使用范圍，對它們的具體應(yīng)用是有益的。比如，泊松過程具有如下三個等價定義：

定義1稱計數(shù)過程N（t）為參數(shù)為的泊松過程，如果（1）N（0）=0；（2）過程有獨立增量；（3）。

定義2 計數(shù)過程為參數(shù)為的泊松過程，如果（1）N（0）=0；（2）過程具有平穩(wěn)獨立增量性；（3）對充分小的正數(shù)；（4）對充分小的正數(shù)。

定義3 稱計數(shù)過程N（t）為參數(shù)為的泊松過程，如果某事件A發(fā)生的間隔時間序列獨立均服從參數(shù)的指數(shù)分布。

一般，定義1和3常在理論計算和證明中使用，定義2通常在實際問題中用來判斷某個隨機過程是否可近似為泊松過程。

4 對實際工程中常用到的隨機過程，盡量多結(jié)合一些實際案列，突出它們的應(yīng)用價值

結(jié)合一些實際案例去理解抽象的隨機過程，對理論上理解和實際中運用有很大的幫助。比如，一段時間內(nèi)，到某商場購物的顧客數(shù)；經(jīng)過公路某路口的汽車數(shù)；保險公司接到的索賠數(shù)；細胞中染色體的交換數(shù)；計數(shù)器上的粒子流和炮彈的彈著點等等，都可以近似看成泊松過程。又比如，一臺機器上某種型號的零件發(fā)生故障后立即換上同型號的新零件，則一段時間內(nèi)換下的零件近似為一個延遲更新過程；再比如，昆蟲沿著一個三角形三條邊在三個頂點間爬行，且以相同的概率爬向相鄰的頂點，則某時刻昆蟲所在的頂點位置是一個時齊鏈；還有上鞅、下鞅和鞅可以描述有利、不利和公平賭博等等例子。

5 對一些抽象難懂的隨機過程，運用數(shù)學軟件進行動態(tài)演示

有一些隨機過程教材上只給出了抽象的定義，如用傳統(tǒng)的講授方法，學生不易理解和接受，也無法明白其應(yīng)用價值。比如教材上理論推導(dǎo)了隨機游動的極限過程就是布朗運動，用標準布朗運動定義了漂移布朗運動和布朗橋，比較抽象，學生也難于理解“漂移”和“橋”的特征，如果借助數(shù)學軟件編程在多媒體上進行演示，則通過對時間的無限分割可以讓學生看到用隨機游動逼近布朗運動的這個過程，相比傳統(tǒng)的講授更容易讓學生接受。通過對比讓學生對漂移布朗運動中“漂移”有更加形象直觀的認識。通過圖像的實現(xiàn)可直觀地講解為什么這樣的過程稱為“橋”。對具體如何編程實現(xiàn)上述教學效果，可參考文獻。

隨機過程是一門高度抽象應(yīng)用廣泛的新學科，隨著各領(lǐng)域新問題的出現(xiàn)和新的數(shù)學知識的引入，其發(fā)展是與時俱進的。在講授隨機過程課程時，既要通曉各領(lǐng)域相關(guān)的實際例子，又要深入淺出地講清楚抽象的理論知識，講什么？怎樣講？需要授課教師不斷實踐、探索和積累，只有這樣，才能實現(xiàn)該課程的應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標。

參考文獻

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