楊凱凡

(陜西理工大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 漢中 723001)

1 預備知識

算子理論是泛函分析的重要分支。算子方程是算子論中的一個熱點問題，一直以來都受到很多學者的關注。對于算子方程的正算子解的研究產(chǎn)生于20世紀九十年代,并在控制論[1],動態(tài)規(guī)劃[2]和統(tǒng)計學[3]等方面都有廣泛的應用。近年來,算子方程的研究得到了很大的發(fā)展,關于各類算子方程的論文也層出不窮[4]-[9],使得算子方程成為一個非?；钴S的領域。

本文在無限維可分Hilbert空間H上研究非線性算子方程

Xs+A*X-qA=Q

(1)

的正算子解的問題,其中B(H)表示H上的所有有界線性算子組成的全體。X是B(H)上的未知算子,A，Q∈B(H)是給定的算子且Q>0,s,q是給定的正整數(shù)且q

設A∈B(H)A*,‖A‖,σ(A),γ(A)分別表示算子A的伴隨算子,范數(shù)，譜和譜半徑。如果對任意x∈H，都有(Ax,x)≥0，則稱A為正算子,記作A≥0。

對于B(H)上的正算子，顯然有：(1)若P≥Q>0，則P-1Q-1。(2)對正算子P有λmin(P)IPλmax(P)I，其中λmin(P)=min {λ:λ∈σ(P)},λmax(P)=max {λ:λ∈σ(P)}

首先,我們給出一些定義和基本引理。

引理2.1[10]設A，B∈B(H)。若A≥B≥0,則‖A‖≥‖B‖。

引理2.2[10]設A,B是B(H)上的自伴算子且滿足A≥B，則對任意T∈B(H)有T*AT≥T*BT

引理2.3[11]設A和B是B(H)上的正算子且滿足B≥A>0及M1I≥A≥m1I,

M2I≥A≥m2I,則對t∈[1,+)，有At

2 主要結論

(3)γ(A)此處b=λmax(Q)=‖Q‖。

證明(1)令Y=Xs,則方程(1)可以轉化為下列方程形式:

(2)

(2)方程(2)等價于A*Y-tA=Q-Y，結合條件Y-t>Q-1可以得出A*Y-tA>A*Q-1A，即，

Q-Y>A*Q-1A，因此可得Xs

AQ-1A*Xq

定理2.2設s≥q≥1是正整數(shù)且A是正規(guī)算子，X是算子方程(1)的正算子解,則

證明因為X是方程(1.1)的正算子解,從方程(1)可得Xs

從方程得Xs=Q-A*X-qA可得

記λmin(X)=x,即xs+q≥λmin(Q)xq-λmax(A*A)。令函數(shù)f(x)≥λmin(Q)xq-xs+q

記λmax(X)=y，則ys+qλmax(Q)yq-λmin(A*A)。令函數(shù)g(y)=λmax(Q)yq-ys+q且

當λmin(A*A)

同理可得

結合上面的結論可以得出結論，(1)β1λmax(X)α1或者α2λmax(X)β2。

(2)β1λmin(X)α1或者α2λmin(X)β2。