李東海, 趙壽根, 何玉金, 李 濤

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 北京 100083)

振動(dòng)隔離是解決工程振動(dòng)問(wèn)題的重要手段。在目前大量的工程實(shí)際中，普遍采用線性隔振器，對(duì)于一些精密儀器而言，如航天器上的光學(xué)元件，低頻振動(dòng)對(duì)其精度影響更大。如采用線性隔振措施，勢(shì)必要降低隔振器的剛度從而實(shí)現(xiàn)低頻隔振。這也會(huì)造成隔振器的靜態(tài)穩(wěn)定性降低。理想的情況是隔振器具有較高的靜態(tài)剛度來(lái)保證靜態(tài)負(fù)載能力，并且具有較低的動(dòng)態(tài)剛度來(lái)增大隔振頻率范圍。高靜態(tài)剛度低動(dòng)態(tài)剛度(High-Static-Low-Dynamic-Stiffness, HSLDS)特性可以通過(guò)非線性結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)[1]。Ibrahim[2]綜述了非線性隔振器的發(fā)展，表明非線性隔振是一個(gè)十分活躍的領(lǐng)域。Liu等[3]在其綜述中也詳細(xì)地闡述了非線性隔振器在微振動(dòng)隔離領(lǐng)域的應(yīng)用。Yang等[4]研究了帶有負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的非線性隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。研究表明增加負(fù)剛度機(jī)構(gòu)能極大地?cái)U(kuò)展隔振頻帶，并且非線性隔振系統(tǒng)的功率流特征結(jié)果也表明增加負(fù)剛度能使系統(tǒng)具有更好的隔振性能。Shaw等[5]用雙穩(wěn)板來(lái)制作輕而有效的高靜態(tài)低動(dòng)態(tài)剛度的隔振系統(tǒng)，可以采用非線性剛度元件來(lái)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度(Quasi-Zero-Stiffness, QZS)特性[6]。彭獻(xiàn)等[7]采用連桿機(jī)構(gòu)作為負(fù)剛度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，研究了準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計(jì)方法。Zhang等[8]將歐拉壓桿作為負(fù)剛度調(diào)節(jié)機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了正負(fù)剛度并聯(lián)的隔振系統(tǒng)。Carrella等[9-12]利用斜置彈簧產(chǎn)生負(fù)剛度特性，并與正剛度彈簧相并聯(lián)組成準(zhǔn)零剛度隔振器，并詳細(xì)地研究了隔振器的靜動(dòng)態(tài)特性。Xu等[13]利用電磁彈簧作為負(fù)剛度元件，設(shè)計(jì)了一種準(zhǔn)零剛度隔振器，其隔振性能在低頻區(qū)域，超過(guò)了等價(jià)的線性隔振器。由于準(zhǔn)零剛度具有高靜態(tài)剛度低動(dòng)態(tài)剛度，可以有效地克服傳統(tǒng)非線性隔振器增加隔振頻率范圍和保證靜態(tài)承載力之間的矛盾，近年來(lái)，針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器的研究變得越來(lái)越熱門。

準(zhǔn)零剛度隔振器有著線性隔振器不可比擬的優(yōu)點(diǎn)，那就是隔振頻率范圍廣，靜態(tài)剛度高。但是相比線性隔振器而言，其共振峰值依然被認(rèn)為是過(guò)大；由于準(zhǔn)零剛度隔振器的固有的非線性，所以會(huì)造成系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象，這種系統(tǒng)的不穩(wěn)定性是一種不安全因素所以在工程實(shí)際應(yīng)用中不期望出現(xiàn)的。因此為了獲得更好的隔振性能，開展準(zhǔn)零剛度隔振器的主動(dòng)控制策略的研究就顯得十分必要了。準(zhǔn)零剛度隔振器的動(dòng)力學(xué)特性方程可以用具有三次非線性項(xiàng)的Duffing振子模型來(lái)描述[14-17]。目前針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器的主動(dòng)控制研究相對(duì)較少，但是許多學(xué)者開展了對(duì)Duffing振子和吸振器的主動(dòng)研究[18-21]。在吸振器的主動(dòng)控制研究中，學(xué)者主要采用了時(shí)滯控制的策略，這是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，控制器和作動(dòng)器會(huì)有不可避免的時(shí)間滯后，所以在研究控制策略的時(shí)候，將時(shí)滯效應(yīng)納入考慮范圍之中。Zhao等[22]將時(shí)滯控制策略應(yīng)用于雙自由度非線性吸振器中，來(lái)抑制垂直位移方向的振動(dòng)，其研究成果表明，采用時(shí)滯正反饋的非線性吸振器可以有效地抑制大約65%的垂直振動(dòng)，而采用負(fù)時(shí)滯反饋的吸振器可以吸收86%的振動(dòng)。但是針對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器的時(shí)滯控制研究相對(duì)較少，本文在之前的研究基礎(chǔ)上，對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振器施加線性位移時(shí)滯控制，并對(duì)其靜力學(xué)特性進(jìn)行分析，在力激勵(lì)的情況下，利用平均法對(duì)隔振器的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行理論推導(dǎo)，并分析了隔振器增加時(shí)滯控制后的穩(wěn)定性，以及發(fā)生跳躍現(xiàn)象和Hopf分叉現(xiàn)象的臨界條件。

1 準(zhǔn)零剛度隔振器動(dòng)力學(xué)模型

1.1 準(zhǔn)零剛度隔振器

本文采用兩個(gè)斜置彈簧作為負(fù)剛度元件與豎直的正剛度彈簧相并聯(lián)形成單自由度的準(zhǔn)零剛度隔振器。對(duì)其進(jìn)行線性時(shí)滯位移主動(dòng)控制的結(jié)構(gòu)模型如圖 1中，當(dāng)隔振器受載后，斜置彈簧處于水平位置并達(dá)到靜平衡點(diǎn)處。其長(zhǎng)度為l。自由狀態(tài)時(shí)，此時(shí)質(zhì)量m距離靜平衡位置的距離為xs；x為負(fù)載質(zhì)量m從靜平衡位置開始的位移。斜置彈簧的原長(zhǎng)為l0。斜置彈簧的剛度為kh，垂直彈簧的剛度為kv，假設(shè)系統(tǒng)的阻尼為線性阻尼，阻尼系數(shù)為c，控制剛度為kc，反饋信號(hào)為系統(tǒng)的線性位移x；f為負(fù)載質(zhì)量m受到的外界激勵(lì)力。

1.2 準(zhǔn)零剛度隔振器動(dòng)力學(xué)分析

準(zhǔn)零剛度隔振器線性位移時(shí)滯控制結(jié)構(gòu)示意圖如圖 1所示。為了建模的簡(jiǎn)便性，先考慮無(wú)控制系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。利用拉格朗日方程可以建立準(zhǔn)零剛度隔振器的動(dòng)力學(xué)方程。

圖1 準(zhǔn)零剛度隔振器線性位移時(shí)滯控制結(jié)構(gòu)示意圖

隔振器的動(dòng)能為

(1)

現(xiàn)設(shè)靜平衡位置為系統(tǒng)的勢(shì)能零點(diǎn)，則該系統(tǒng)的總勢(shì)能為

(2)

拉格朗日函數(shù)可以表示為

(3)

拉格朗日方程表示為

(4)

式中：F(t)為隔振器受到的外界激勵(lì)力；t為時(shí)間。

聯(lián)立式(3)和式(4)可得到隔振器的動(dòng)力學(xué)微分方程

(5)

引入無(wú)量綱參數(shù)，可對(duì)式(5)無(wú)量綱化，得到隔振器的無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程

(6)

(7)

當(dāng)隔振器的響應(yīng)位移相對(duì)初始垂向長(zhǎng)度為小量時(shí)，可以將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程在靜平衡點(diǎn)處展開并保留三次精度，將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為類似于Duffing方程的形式來(lái)研究。對(duì)式(6)應(yīng)用泰勒展開并保留三階精度，得到

(8)

(9)

由式(9)可以清晰地看出來(lái)，系統(tǒng)具有三次非線性項(xiàng)，可以利用Duffing方程的部分特性來(lái)研究其特性。

2 簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的系統(tǒng)的響應(yīng)

(10)

(11)

在式(11)中

將ΩT+θ在0-2π之間取平均值[23]得到

(12)

(13)

(14)

相頻特性為

tanθ=

(15)

為了更清楚地分析線性時(shí)滯位移反饋對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，定義受控系統(tǒng)的等效阻尼系數(shù)和等效線性剛度比分別為

(a) 幅頻響應(yīng)曲線(b) 相頻響應(yīng)曲線

(a) 幅頻響應(yīng)曲線(b) 相頻響應(yīng)曲線

(16)

αeq=α+g(1-cos (Ωτ))

(17)

當(dāng)g=0，sin (Ωτ)>0時(shí)隔振器處于不受控狀態(tài)，隔振器主振動(dòng)共振峰值響應(yīng)很大，而當(dāng)g≠0，sin (Ωτ)>0時(shí)，共振峰值被有效地抑制，這種現(xiàn)象也可以在圖 2中體現(xiàn)出來(lái)。這就很好地說(shuō)明了線性位移時(shí)滯反饋的阻尼效應(yīng)。而當(dāng)sin (Ωτ)<0時(shí)，系統(tǒng)的等效阻尼減小，共振峰值相比不受控系統(tǒng)增大。

(18)

αeq=α+g(1-cosτ)

(19)

這樣可以近似認(rèn)為在共振區(qū)域內(nèi)，等效阻尼比和等效線性剛度比是周期為2π周期函數(shù)。因此時(shí)滯參數(shù)τ的取值范圍為τ∈(0,π)，在該范圍內(nèi)系統(tǒng)的等效阻尼總是大于不受控系統(tǒng)的阻尼。

3 準(zhǔn)零剛度隔振器穩(wěn)定性分析

(20)

可得系統(tǒng)的擾動(dòng)方程為

(21)

系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過(guò)線性擾動(dòng)方程式(21)的特征方程來(lái)分析

(22)

當(dāng)a1>0，a2>0，則奇點(diǎn)漸近穩(wěn)定；當(dāng)a1>0,a2<0時(shí)，奇點(diǎn)不穩(wěn)定。所以a2=0為穩(wěn)定性邊界。注意到a1的取值和系統(tǒng)的非線性項(xiàng)無(wú)關(guān)，實(shí)際上a1代表著有控制時(shí)線性自由振動(dòng)的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性獨(dú)立于激勵(lì)、響應(yīng)幅值等。當(dāng)a1=0意味著特征方程會(huì)有一對(duì)純虛根出現(xiàn)，因此會(huì)出現(xiàn)Hopf分叉[26-28]。

由a2=0可得穩(wěn)定性邊界為

(23)

其中a=gcos (Ωτ)+Ω2-(α+g)；b=gsin (Ωτ)+2ξΩ

(24)

(25)

(a) g=0(b) g=1

(a) τ=0(b) τ=π6

(26)

為了更加直觀地說(shuō)明(f,g)的取值對(duì)隔振器跳躍現(xiàn)象的影響，可取不同的(f,g)繪圖說(shuō)明。當(dāng)(f,g)的取值為(0.4, 0.1)時(shí)，處于區(qū)域2中，隔振器不會(huì)發(fā)生跳躍現(xiàn)象；當(dāng)(f,g)的取值為(0.4, 0.3)時(shí)，處于區(qū)域1中，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生跳躍現(xiàn)象。隔振器的響應(yīng)曲線如圖 7所示。

圖時(shí)跳躍現(xiàn)象臨界曲線

(a) (f,g)=(0.4,0.1)(b) (f,g)=(0.4,0.3)

圖7 當(dāng)無(wú)量綱外界激勵(lì)力的幅值f和控制增益參數(shù)g處于區(qū)域1和2中時(shí)隔振器的響應(yīng)特性

Fig.7 The response characteristic of the isolator when non-dimensional excitation amplitudefand control gain g are fixed in region 1 and 2 respectively

由臨界條件a1=0得到

gsin (Ωτ)+2ξΩ=0

(27)

可以得到在參數(shù)(g,τ)平面內(nèi)Hopf分岔的邊界。對(duì)于自由振動(dòng)的線性系統(tǒng)，其幅頻特性為

(28)

將式(27)代入式(28)中，得到

gcos (Ωτ)+Ω2-(α+g)=0

(29)

將式(29)與(27)聯(lián)立，得到頻率比和臨界時(shí)滯參數(shù)的表達(dá)式如式(30)所示。式(30)所控制的曲線為系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的邊界。

(30)

如圖 8所示為Hopf分叉的邊界曲線。當(dāng)(g,τ)取值在參數(shù)平面A中，則特征方程式(22)的特征值的實(shí)部為負(fù)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)隨著時(shí)間衰減；當(dāng)(g,τ)取值在參數(shù)平面B中，特征值的實(shí)部為正，系統(tǒng)會(huì)作由Hopf分叉引起的周期振動(dòng)，造成系統(tǒng)平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定；而當(dāng)(g,τ)取值恰好位于曲線之上時(shí)，特征值的實(shí)部為零，為發(fā)生Hopf分叉的臨界條件。

圖時(shí)的Hopf分叉臨界曲線

4 結(jié) 論

本文研究了含有線性位移時(shí)滯控制的由三彈簧組成的準(zhǔn)零剛度隔振器在簡(jiǎn)諧力激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)定性特性。通過(guò)李雅普諾夫線性近似穩(wěn)定性理論和勞斯-赫爾維茨準(zhǔn)則研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的跳躍現(xiàn)象以及Hopf分叉現(xiàn)象，理論分析表明，在系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象的頻率帶內(nèi)，為系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域，同時(shí)給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性邊界。在此基礎(chǔ)上討論了該類型隔振器系統(tǒng)增加時(shí)滯控制時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)果表明有線性位移時(shí)滯控制時(shí)可以有效地抑制系統(tǒng)響應(yīng)幅值，同時(shí)進(jìn)一步研究了時(shí)滯參數(shù)與控制增益對(duì)響應(yīng)的影響，定義了等效阻尼和等效線性剛度系數(shù)，給出了時(shí)滯控制參數(shù)的取值范圍，討論了時(shí)滯控制對(duì)系統(tǒng)的阻尼和剛度的影響，從研究和討論得到的結(jié)果看出準(zhǔn)零剛度隔振器在給出控制參數(shù)的范圍內(nèi)，受控系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性比不受控系統(tǒng)性能更為優(yōu)越。