許成維，陶建武

空軍航空大學(xué) 航空作戰(zhàn)勤務(wù)學(xué)院，長春 130022

隨著社會(huì)信息化的快速發(fā)展，周期估計(jì)廣泛應(yīng)用于電子偵察中脈沖重復(fù)間隔估計(jì)、節(jié)拍和節(jié)奏估計(jì)、神經(jīng)學(xué)中峰值區(qū)間估計(jì)、呼吸率周期檢測、蛋白質(zhì)編碼和脈沖星周期估計(jì)等各個(gè)軍民應(yīng)用領(lǐng)域。尤其在電子戰(zhàn)領(lǐng)域的應(yīng)用更為顯著，多用于電子干擾與反干擾的脈沖重復(fù)間隔(PRI)估計(jì)[1-7]。PRI是現(xiàn)代電子戰(zhàn)環(huán)境下雷達(dá)脈沖信號分選與識別的一個(gè)至關(guān)重要的參數(shù)。近年來，隨著電子戰(zhàn)技術(shù)的發(fā)展，電磁環(huán)境越發(fā)復(fù)雜、脈沖高度密集且相互交錯(cuò)，影響了現(xiàn)代電子偵察技術(shù)的精確識別，這對于現(xiàn)代電子偵察提出了新的挑戰(zhàn)。當(dāng)雷達(dá)發(fā)射脈沖信號時(shí)，為了防止對方輕易偵察到雷達(dá)發(fā)射的脈沖信號的重復(fù)間隔，往往會(huì)在發(fā)射脈沖時(shí)，加入人為干擾和抖動(dòng)，導(dǎo)致了脈沖重復(fù)間隔的不確定性。由于接收設(shè)備自身原因和外界環(huán)境干擾因素，往往造成某些脈沖重復(fù)間隔上的脈沖缺失，導(dǎo)致測量脈沖串的不完整，使得測量脈沖串的周期性遭到破壞。尤其是在復(fù)雜電磁環(huán)境中，測量脈沖串通常是由多個(gè)具有不同周期的脈沖串混合疊加而成。這些因素都不利于信號周期的提取。

針對不完整脈沖串的周期估計(jì)，許多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，如Fogel和Gavish[8]使用最大似然(ML)算法對帶有缺失和抖動(dòng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行周期估計(jì)。Sadler和Casey[9]基于修正的歐式算法對最大公約數(shù)進(jìn)行計(jì)算。Sidiropoulos等[10]在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展了不完整脈沖串?dāng)?shù)據(jù)的周期估計(jì)方法。Clarkson[11]對最大似然估計(jì)做了改進(jìn)，并驗(yàn)證了兩種估計(jì)方法在周期估計(jì)上的性能。Ye等[12-13]指出了改進(jìn)的Fogel周期圖估計(jì)算法的性能是由空間網(wǎng)格的間隔決定，并從理論推導(dǎo)出合理的網(wǎng)格搜索間隔。McKilliam和Clarkson[14]通過使用Chirp z-變換和快速傅里葉變換，使其周期圖估計(jì)算法的計(jì)算復(fù)雜性減少到O(NlgN)。雖然這些算法在周期估計(jì)的精確度和減小計(jì)算復(fù)雜性方面做出了很大的改進(jìn)，同時(shí)對于低信噪比和高缺失率的信號具有較好的性能。但是對于由多個(gè)具有不同周期的脈沖串混合疊加的脈沖序列，這些方法不能得到真實(shí)的周期估計(jì)。因此，限制了這些方法在復(fù)雜電磁環(huán)境中的應(yīng)用。面對這些挑戰(zhàn)，需要我們提出全新的、可以應(yīng)對各種復(fù)雜電磁環(huán)境的脈沖序列的周期估計(jì)方法。

近年來，隨著壓縮感知的提出與發(fā)展，其應(yīng)用一直是關(guān)注熱點(diǎn)?；贔arey序列理論，Vaidyanathan和Pal[15]構(gòu)造了一種能夠提取出信號隱藏周期的過完備字典。Tenneti和Vaidyana-than[16]將此字典用于心電圖、蛋白質(zhì)編碼等真實(shí)信號的隱藏周期提取。但是，該字典是基于離散傅里葉變換(DFT)矩陣進(jìn)行構(gòu)造的，對于周期信號的表示不能形成一個(gè)完美的稀疏表示?；赗amanujan結(jié)構(gòu)字典(RD)理論，Vaidyanathan[17-18]提出了一種提取信號隱藏周期的方法。但是，在應(yīng)用于帶有人為抖動(dòng)的、不完整的混疊脈沖序列的周期估計(jì)時(shí)，該方法不能達(dá)到較好的提取效果。因此，針對由多個(gè)具有不同周期的脈沖串混疊而成的脈沖序列，本文提出了一種基于稀疏重構(gòu)的隱藏子周期估計(jì)新方法。從理論上探討混疊脈沖序列的稀疏表示模型、稀疏字典的設(shè)計(jì)及隱藏子周期估計(jì)方法。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此估計(jì)方法的可行性和有效性。

1 數(shù)據(jù)模型

假設(shè)周期脈沖信號的脈沖寬度遠(yuǎn)小于脈沖的周期。因此，可以將周期脈沖信號看成具有單位幅值的周期脈沖序列，從而形成周期脈沖信號的點(diǎn)過程模型。本文考慮如下周期脈沖信號的點(diǎn)過程模型：一個(gè)周期脈沖信號為T0k+θ0(k∈Z)是連續(xù)的整數(shù)，T0為周期，θ0為初相位。對其進(jìn)行N次觀測，其表達(dá)式為

tn=T0sn+θ0+ωnn=1,2,…,N

(1)

式中:ω1,ω2,…,ωN為隨機(jī)抖動(dòng)(或稱為脈沖滑動(dòng)誤差)；s1,s2,…,sN為不連續(xù)且未知的整數(shù)，由于外界環(huán)境干擾，會(huì)有部分脈沖未觀測到。這造成了接收到的脈沖信號不是連續(xù)和完整的，即s1,s2,…,sN是不連續(xù)的整數(shù)。圖1給出了從完整的周期脈沖信號到形成不完整且?guī)в忻}沖滑動(dòng)誤差的單脈沖序列的示意圖。

假設(shè)有M個(gè)具有不同周期的周期脈沖信號同時(shí)到達(dá)接收裝置，因此，整個(gè)脈沖序列是M個(gè)不完整且?guī)в忻}沖滑動(dòng)誤差的脈沖串混合而成，其表達(dá)式為

(2)

圖2給出了從兩個(gè)完整的脈沖周期信號到形成不完整且?guī)в忻}沖滑動(dòng)誤差的混疊脈沖序列的示意圖。圖2中，假設(shè)第1個(gè)脈沖序列的周期T1=15，第2個(gè)脈沖序列的周期T2=18?；旌虾?，整個(gè)脈沖序列的周期為2個(gè)子脈沖序列周期的最小公倍數(shù)。本文所感興趣的是從整個(gè)脈沖序列中估計(jì)子脈沖序列的周期Tm。

2 結(jié)構(gòu)字典矩陣設(shè)計(jì)

2.1 Farey結(jié)構(gòu)字典矩陣

給定一個(gè)整數(shù)P，考慮所有不可約的有理數(shù)k/q,其中：整數(shù)q∈{1,2,…,P}，k為小于等于q、且與q互質(zhì)的整數(shù)，即gcd(k,q)=1(1≤k≤q)。gcd(·)=1表示為兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為1，即它們是互質(zhì)的。表1列出了在周期P=6時(shí)，有理數(shù)k/q的所有數(shù)值。將k/q的所有數(shù)值按從小到大的順序進(jìn)行排列，得到一個(gè)有理數(shù)序列FP，即Farey序列。

表1 周期P=6時(shí)，有理數(shù)k/q的數(shù)值Table 1 Period P=6, rational values k/q

(3)

Vq=[v(q,k1)v(q,k2) …v(q,kφ(q))]

(4)

這里gcd(q,ki)=1和1≤ki≤q，Wq=e-j2π/q。進(jìn)一步，定義一個(gè)P×Φ(P)維Farey序列字典矩陣為

(5)

例如，當(dāng)P為6時(shí)，6×12維Farey序列結(jié)構(gòu)字典矩陣為

(6)

利用Farey序列結(jié)構(gòu)的字典矩陣，能夠?qū)⒕哂胁煌芷诘幕殳B脈沖序列進(jìn)行稀疏化表示，然后通過一定的稀疏恢復(fù)算法，獲得混疊脈沖序列的不同子周期。但是，字典矩陣維數(shù)的大小是影響稀疏恢復(fù)算法復(fù)雜性的關(guān)鍵因素，隨著P的增大，Φ(P)將急速增大，字典矩陣的維數(shù)增大。所以我們應(yīng)設(shè)計(jì)一個(gè)合適的插值尺度來減少字典矩陣的維數(shù)。下面我們將Farey序列結(jié)構(gòu)字典矩陣簡稱為Farey結(jié)構(gòu)字典(FD)。

2.2 Ramanujan結(jié)構(gòu)字典矩陣

Ramanujan 結(jié)構(gòu)字典是由印度數(shù)學(xué)家Ramanujan提出的[19]，Vaidyanathan進(jìn)一步發(fā)展了Ramanujan 結(jié)構(gòu)矩陣， 其形式為[17-18]

(7)

其中:當(dāng)0≤n≤q-1時(shí)，構(gòu)成了周期序列cq(n)的主值區(qū)間。例如當(dāng)q∈{1,2,…,6}時(shí)，則在主值區(qū)間，cq(n)的數(shù)值為

c1(n)={1},c2(n)={1,-1},c3(n)={2,-1,-1},c4(n)={2,0,-2,0},c5(n)={4,-1,-1,-1,-1},c6(n)={2,1,-1,-2,-1,1} 定義一個(gè)q×1矢量:

cq=[cq(0)cq(1) …cq(q-1)]T

它是由周期序列cq(n)主值區(qū)間的數(shù)值構(gòu)成的。進(jìn)一步，定義一個(gè)q×φ(q)矩陣：

(8)

如果序列的最大周期為Pmax，構(gòu)造一個(gè)L×Φ(Pmax)維字典矩陣為

(9)

3 混疊脈沖序列的子周期估計(jì)

假設(shè)有M個(gè)具有不同周期的周期脈沖信號同時(shí)到達(dá)接收裝置，對接收裝置的測量值進(jìn)行采樣，得到的采樣序列可表示為

(10)

式中：tk由式(2)給出。根據(jù)采樣定理，采樣間隔為

(11)

本文采用的均勻采樣是一種簡單而有效的方法，如果不考慮計(jì)算復(fù)雜性，盡可能使用較小的采樣間隔。當(dāng)所有tk為整數(shù)，且min(tk-tk-1)≥2 (k=2,…,K)時(shí)，取Δt=1,在這種情況下，n=1,2,…,tK。將采樣序列y(n)寫成矢量形式，即Y=[y(1)y(2) …y(tK)]T。利用采樣序列和Ramanujan結(jié)構(gòu)字典和Farey結(jié)構(gòu)字典矩陣，采取稀疏重構(gòu)方法估計(jì)混疊脈沖序列的子周期。

考慮下列稀疏優(yōu)化問題：

(12)

本文采用了聯(lián)合l2,0混合范數(shù)(JLZA)算法[20-22]求解稀疏優(yōu)化問題，如式(12)所示。相比于文獻(xiàn)[16]提出的求解方法，JLZA算法對周期抖動(dòng)和數(shù)據(jù)缺失的魯棒性更強(qiáng)。因?yàn)镽amanujan結(jié)構(gòu)字典針對各個(gè)周期都有φ(q)列，因此，X的最優(yōu)稀疏解X*是一個(gè)塊矢量，即最優(yōu)稀疏解中，對應(yīng)于每個(gè)子周期的φ(q)個(gè)連續(xù)元素構(gòu)成一個(gè)塊矢量。利用式(13)計(jì)算最優(yōu)稀疏解中的各個(gè)塊矢量的總系數(shù)G(P)：

(13)

當(dāng)混疊脈沖序列含有某個(gè)隱含子周期時(shí)，最優(yōu)稀疏解中對應(yīng)于這個(gè)子周期的總系數(shù)G(P)將出現(xiàn)較大數(shù)值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 不含有隱含子周期的單周期脈沖序列

假設(shè)一個(gè)不含有隱含子周期的單周期脈沖序列，如圖1所示。常數(shù)T=15，采樣間隔Δt=1，采樣序列的長度為400，幅值為1的脈沖個(gè)數(shù)為26。在沒有脈沖滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，圖3給出了3種方法的各個(gè)周期總系數(shù)G(P)隨周期P的變化情況。

從圖3(a)看出，在周期為15時(shí)，G(P)有明顯峰值，這說明JLZA-RD方法能夠正確估計(jì)出單周期脈沖序列的周期。從圖3(b)看出，在周期為1、3和5時(shí)，G(P)有最大的峰值。但在周期為15時(shí)，其峰值相對較小。這說明很難從G(P)的大小來判斷這個(gè)脈沖序列的周期。因此，2NCE-RD方法失效。從圖3(c)看出，在周期為1、3、5和15時(shí)，G(P)有相等的峰值，因此，與2NCE-RD方法個(gè)脈沖序列的周期。在脈沖缺失個(gè)數(shù)一定時(shí)，圖4給出了4種方法的成功概率隨滑動(dòng)誤差變化曲線。在滑動(dòng)誤差一定時(shí)，圖5給出了4種方法的成功概率隨脈沖缺失個(gè)數(shù)變化曲線。估計(jì)成功的概率定義為運(yùn)行100次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，正確估計(jì)出脈沖序列周期的次數(shù)除以100得到的數(shù)值。從圖4看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能最好。當(dāng)參數(shù)δ≤0.15時(shí)，JLZA-RD方法的成功概率為1。這說明JLZA-RD方法的抗噪能力強(qiáng)。在脈沖缺失個(gè)數(shù)較少時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能很好。這說明JLZA-FD方法的抗噪能力較強(qiáng)。2NCE-RD方法的估計(jì)性能最差，其成功概率小于0.2。其原因是G(P)不僅在周期為15處出現(xiàn)峰值，而且在周期為15的除數(shù)處也出現(xiàn)虛假峰值，且在大多數(shù)情況下，其虛假峰值高度大于在周期為15處的峰值。對于PDMax方法，滑動(dòng)誤差較大時(shí)的成功概率大于滑動(dòng)誤差較小時(shí)的成功概率，其原因是滑動(dòng)誤差的增大，使得在周期為1、3和5處的峰值高度降低，其峰值高度小于在周期為15處的峰值高度。因此，其成功概率增加。從圖5看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能最好。在參數(shù)δ=0.1時(shí)，其成功概率不隨著脈沖缺失個(gè)數(shù)增加而減少，始終為1。這說明JLZA-RD方法的抗脈沖缺失個(gè)數(shù)能力較強(qiáng)。在脈沖缺失個(gè)數(shù)較少時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能很好，但是，當(dāng)脈沖缺失個(gè)數(shù)較多時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能急劇下降,這說明JLZA-FD方法的抗脈沖缺失能力差。2NCE-RD方法的估計(jì)性能最差，其成功概率小于0.2。其原因如上所述。對于PDMax方法，其成功概率隨著脈沖缺失個(gè)數(shù)增加而減少，但是，減少的程度不大。這說明PDMax方法有一定的抗脈沖缺失能力。

4.2 隱含子周期的混疊脈沖序列

假設(shè)一個(gè)具有隱含子周期的混疊脈沖序列，如圖2所示。一個(gè)脈沖序列的周期T=15，初相θ0=1；另一個(gè)脈沖序列的周期T=18，初相θ0=1。采樣間隔Δt=1，采樣序列的長度為400，幅值為1的脈沖個(gè)數(shù)為48。在沒有脈沖滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，圖6給出了3種方法的各個(gè)周期總系數(shù)G(P)隨周期P的變化情況。

從圖6(a)看出，G(P)有兩個(gè)明顯的峰值，分別位于周期為15和18處。這說明JLZA-RD方法能夠正確估計(jì)出混疊脈沖序列的兩個(gè)隱含子周期。從圖6(b)看出，G(P)有多個(gè)峰值，其兩個(gè)最大峰值分別位于周期為1和3處，而在周期為15和18處，其峰值較小。根據(jù)G(P)取得最大值處的周期是估計(jì)周期的判斷原則，2NCE-RD方法不能正確估計(jì)出混疊脈沖序列的兩個(gè)隱含子周期。因此，2NCE-RD方法失效。從圖6(c)看出，PDMax方法與2NCE-RD方法相似，它也沒有正確估計(jì)出混疊脈沖序列的兩個(gè)隱含子周期。因此，PDMax方法失效。

在脈沖缺失個(gè)數(shù)一定時(shí)，圖7給出了4種方法的成功概率隨滑動(dòng)誤差變化曲線。在滑動(dòng)誤差一定時(shí)，圖8給出了4種方法的成功概率隨脈沖缺失個(gè)數(shù)變化曲線。

從圖7看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能較好。在滑動(dòng)誤差較小時(shí)，JLZA-RD方法具有較高的成功概率。這說明JLZA-RD方法有一定的抗噪能力。在沒有脈沖缺失時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)性能很好。這說明JLZA-FD方法的抗噪能力較強(qiáng)。對于2NCE-RD和PDMax方法，其成功概率接近于0。這說明這兩方法完全失效。其原因是G(P)具有虛假峰值，且虛假峰值的高度較大。從圖8看出，JLZA-RD方法的估計(jì)性能較好。在滑動(dòng)誤差較小時(shí)，其成功概率ξ≤0.35時(shí)，始終為1。這說明JLZA-RD方法的抗脈沖缺失能力較強(qiáng)。JLZA-FD方法受脈沖缺失個(gè)數(shù)的影響較大。當(dāng)脈沖缺失個(gè)數(shù)增加時(shí)，JLZA-FD方法的估計(jì)成功概率急劇下降。這說明JLZA-FD方法的抗脈沖缺失能力差。對于2NCE-RD方法和PDMax方法，其成功概率接近于0。這說明這兩方法完全失效。

當(dāng)改變混疊脈沖序列的初相時(shí)，即一個(gè)脈沖序列的周期T=15，初相θ0=5；另一個(gè)脈沖序列的周期T=18，初相θ0=6，而其他條件不變。在沒有脈沖滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，圖9給出了3種方法的各個(gè)周期總系數(shù)G(P)隨周期P變化情況。與圖6比較，圖9(a)沒有變化，而對于圖9(b)，峰值的位置和幅度都有較大變化，對于圖9(c)，峰值的幅度有較大變化。這說明初相的改變對JLZA-RD方法沒有影響，而2NCE-RD和PDMax方法對初相的改變是敏感的。因此，不同的初相，2NCE-RD和PDMax方法的估計(jì)性能可能會(huì)變化。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證初相變化對方法性能的影響。假設(shè)初相為均勻分布的隨機(jī)變量，而其他條件與圖9相同。在此條件下，對具有隨機(jī)初相的混疊脈沖序列進(jìn)行100次周期估計(jì)實(shí)驗(yàn)，圖10給出成功估計(jì)出序列周期的概率曲線。從圖10看出，在滑動(dòng)誤差和脈沖缺失都為零的情況下，JLZA-RD方法對初相的隨機(jī)變化不敏感，其成功概率始終為1；而2NCE-RD和PDMax方法受初相改變的影響敏感，其成功概率始終為0。與圖7和圖8對比，在存在滑動(dòng)誤差和脈沖缺失的情況下，JLZA-RD方法的成功概率變化較小。這說明了本文方法在各種情況下，對初相變化都具有較強(qiáng)的魯棒性。

通過上述實(shí)驗(yàn)，可以得到如下結(jié)果：

1) 基于結(jié)構(gòu)字典的稀疏重構(gòu)方法具有較好的性能。JLZA-RD方法具有較強(qiáng)抗噪能力和抗脈沖缺失能力，并且不受初相的改變影響。JLZA-FD方法具有較強(qiáng)抗噪能力，但是，抗脈沖缺失能力較差。其原因是稀疏重構(gòu)方法使用了聯(lián)合l2,0混合范數(shù)來進(jìn)行優(yōu)化，即確保未知矢量的非零元素的個(gè)數(shù)為最少。因此，通過稀疏優(yōu)化迭代，不斷減小具有較小能量的峰值幅度，使其趨于零；同時(shí)不斷增大具有較大能量的峰值幅度，使其趨于最大。最終在脈沖序列的周期處，得到了幅度最大的峰值。

2) 2NCE-RD方法具有較差的性能，尤其是在具有隱含子周期的混疊脈沖序列的情況。其原因是2NCE-RD方法使用了l2范數(shù)來進(jìn)行優(yōu)化，即確保未知矢量的每個(gè)元素平方之和為最少。因此，相對于聯(lián)合l2,0混合范數(shù)優(yōu)化，l2范數(shù)優(yōu)化會(huì)使非零元素的個(gè)數(shù)增加。最終在多個(gè)周期處，出現(xiàn)幅度不等的峰值。這會(huì)給正確識別脈沖序列的周期帶來很大困難。另外，2NCE-RD方法對混和脈沖序列初相的改變是敏感的。

3) PDMax方法具有較差的性能，尤其是在具有隱含子周期的混疊脈沖序列的情況。其原因是PDMax方法使用了脈沖序列的功率譜來估計(jì)序列的周期。因此，與l2范數(shù)類似，會(huì)在多個(gè)周期處，出現(xiàn)幅度不等的功率譜峰值。這會(huì)給正確識別脈沖序列的周期帶來很大困難。

4.3 數(shù)據(jù)長度對脈沖序列估計(jì)性能的影響

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，對于單周期脈沖序列，我們給出了能夠正確估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長度。這里，我們將脈沖序列周期分解成素?cái)?shù)的乘積。圖11給出了當(dāng)脈沖序列周期P為素?cái)?shù)(周期從2到60)時(shí)，序列長度隨周期P的變化。在圖11中，由星號標(biāo)記的數(shù)據(jù)表示沒有脈沖滑動(dòng)誤差的情況下，估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長度；而由正方形標(biāo)記的數(shù)據(jù)表示有脈沖滑動(dòng)誤差δ=0.1的情況下，估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長度。兩條曲線是由指數(shù)函數(shù)擬合序列長度數(shù)據(jù)所得到的結(jié)果。從圖11看出，周期的大小是影響所需最小序列長度的關(guān)鍵因素。周期增大，所需最小序列長度近似按指數(shù)曲線增大。

當(dāng)脈沖序列周期P為兩個(gè)以上素?cái)?shù)(素?cái)?shù)1除外)乘積時(shí)，在沒有脈沖滑動(dòng)誤差的情況下，序列長度隨周期P(周期從4到40)的變化如表2～表4所示。從表2看出，所需最小序列長度不僅與周期的大小有關(guān)，還與分解的兩個(gè)素?cái)?shù)中的最大素?cái)?shù)有關(guān)。最大素?cái)?shù)的數(shù)值增大，所需最小序列長度相應(yīng)增加。例如，周期為14(素?cái)?shù)分解為2×7)和15(素?cái)?shù)分解為3×5)時(shí)，雖然14比15小，但是由14分解的兩個(gè)素?cái)?shù)中的最大素?cái)?shù)是7，而由15分解的兩個(gè)素?cái)?shù)中的最大素?cái)?shù)是5，因而，估計(jì)周期14所需最小序列長度大于估計(jì)周期15所需最小序列長度。

從表3和4看出，所需最小序列長度還與分解的素?cái)?shù)多少有關(guān)。分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)增多，所需最小序列長度相應(yīng)增加。例如，在周期為36(素?cái)?shù)分解為2×2×3×3)時(shí)，分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是4，因而，估計(jì)周期36所需最小序列長度大于估計(jì)周期37、38(素?cái)?shù)分解為2×19)、39(素?cái)?shù)分解為3×13)所需最小序列長度，其中，周期37分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是1，而周期38和39分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是2?？傊瑢τ趩沃芷诿}沖序列，能夠正確估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長度不但與脈沖序列周期的大小有關(guān)、還與分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)和其中的最大素?cái)?shù)有關(guān)。

表2 序列長度隨周期P的變化(P分解為2個(gè)素?cái)?shù)乘積)

表3 序列長度隨周期P的變化(P分解為3個(gè)素?cái)?shù)乘積)Table 3 Variation of sequence length with period P (P is decomposed into prouct of three prime numbers)

表4序列長度隨周期P的變化(P分解為4個(gè)以上素?cái)?shù)乘積)

Table4VariationofsequencelengthwithperiodP(Pcanbedecomposedintoproductoffourormoreprimenumbers)

復(fù)合數(shù)24364032素?cái)?shù)分解2×2×2×32×2×3×32×2×2×52×2×2×2×2序列長度260498550338

5 結(jié) 論

1) 仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于結(jié)構(gòu)字典的稀疏重構(gòu)方法具有較好的性能。JLZA-RD方法具有較強(qiáng)抗噪能力和抗脈沖缺失能力，并且不受初相的改變影響。JLZA-FD方法具有較強(qiáng)抗噪能力，但是，抗脈沖缺失能力較差。2NCE-RD和PDMax方法具有較差的性能，尤其是在具有隱含子周期的混疊脈沖序列的情況。

2) 對于單周期脈沖序列，能夠正確估計(jì)出脈沖序列周期所需要滿足的最小序列長度不但與脈沖序列周期的大小有關(guān)、還與分解素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)和其中的最大素?cái)?shù)有關(guān)。