周祥運(yùn)，徐金明，劉紹峰

(上海大學(xué)土木工程系， 上海 200444)

0 引 言

花崗巖通常由長石、石英、黑云母等不同細(xì)觀組分組成，巖石的變形破壞過程取決于這些細(xì)觀組分的變化情況，這種變化可以使用不同組分的分形維數(shù)來表征。

使用分形方法研究巖土材料的變形破壞過程已經(jīng)取得了很多進(jìn)展，通常使用基于盒維數(shù)法的簡單分形維數(shù)進(jìn)行研究。比如，李長江等[1-2]使用滑坡空間分布的簡單分形維數(shù)計(jì)算方法，進(jìn)行滑坡易發(fā)程度的區(qū)劃和評價(jià)，提出了不同尺度范圍內(nèi)降雨量—滑坡頻度關(guān)系的分形；Pia等[3]提出了一種混合單元的分形模型，預(yù)測了多孔巖石的滲透性；李守臣等[4]建立了單軸壓縮條件下巖石分形維數(shù)與巖石頂部位移的非線性演化模型；Li等[5]研究了巖石節(jié)理粗糙度系數(shù)與巖石結(jié)構(gòu)表面分形維數(shù)之間的定量關(guān)系。將簡單分形維數(shù)與數(shù)字圖像處理技術(shù)相結(jié)合，彭瑞東等[6]對石灰?guī)r拉伸過程中的掃描電子顯微(SEM)圖像計(jì)算分形維數(shù)，得到巖石表面分形維數(shù)隨載荷增大而逐漸增大的結(jié)論；宮偉力等[7]探討了煤巖細(xì)觀裂隙計(jì)算機(jī)斷層掃描(CT)圖像分形維數(shù)與煤巖孔隙度的關(guān)系；陳世江等[8]用巖石節(jié)理圖像分形維數(shù)和起伏度來描述節(jié)理的粗糙度系數(shù)；Liu等[9]研究了煤巖及其在甲烷吸附狀態(tài)下的分形特性。

此外，采用以廣義分形為基礎(chǔ)的多重分形理論來研究巖土材料的變形破壞過程，也取得了一些進(jìn)展。謝和平等[10]用改進(jìn)投影覆蓋法來測定巖石斷裂表面的分形維數(shù)，分析了斷裂表面的多重分形性質(zhì)；劉樹新等[11]使用多重分形方法研究巖石強(qiáng)度的Weibull參數(shù)，改進(jìn)了巖石的損傷統(tǒng)計(jì)本構(gòu)模型；許福樂等[12]用多重分形對煤巖聲發(fā)射強(qiáng)度時(shí)間序列進(jìn)行了分析，認(rèn)為這一序列的波動(dòng)特性是一個(gè)多重分形過程；蔡江東等[13]運(yùn)用廣義多重分形理論對受壓破壞的聲發(fā)射信號(hào)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)巖石加載初期與瀕臨破壞時(shí)聲發(fā)射信號(hào)特征參數(shù)存在顯著差異；鄒飛等[14]用廣義多重分形理論對類巖石材料表面損傷的演化進(jìn)行了描述，分析了圖像灰度相關(guān)性系數(shù)分布演化與試件表面變形局部化在時(shí)域和空域的對應(yīng)關(guān)系。

現(xiàn)有研究成果中，分形維數(shù)多使用基于盒維數(shù)法的簡單分形維數(shù)、而廣義分形維數(shù)和多重分形維數(shù)考慮不多，計(jì)算分形維數(shù)時(shí)難以考慮多種組分分布的細(xì)節(jié)，分形維數(shù)隨加載水平增加而變化的具體過程也考慮得不多。本文擬以花崗巖為例，根據(jù)巖石室內(nèi)試驗(yàn)過程中拍攝得到的試驗(yàn)視頻，使用數(shù)字圖像處理技術(shù)提取任一加載時(shí)刻巖石中不同細(xì)觀組分的實(shí)際位置，研究不同細(xì)觀組分分形維數(shù)隨時(shí)間的變化過程，為進(jìn)一步研究巖石的變形破壞機(jī)理打好基礎(chǔ)。

1 室內(nèi)抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)方法

試樣取自甘肅北山的花崗巖。經(jīng)過室內(nèi)切割制成50 mm × 50 mm × 100 mm的試塊，按照國際巖石力學(xué)試驗(yàn)規(guī)程對試樣兩端面及側(cè)面進(jìn)行仔細(xì)打磨，試樣斷面平整度及側(cè)面平整度分別為0.02 mm、0.3 mm。

采用RMT-150C型巖石力學(xué)伺服試驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行室內(nèi)抗壓強(qiáng)度試驗(yàn)。試驗(yàn)前，在試樣周圍布置三臺(tái)型號(hào)為佳能600D的攝像機(jī)(最大像素和有效像素分別為1 870萬和1 800萬、最高分辨率為5 184 × 3 456)，一臺(tái)擺在試樣的正面位置，其余兩臺(tái)擺放在試樣的側(cè)面位置。試驗(yàn)過程采用位移控制，加載速率控制為0.006 mm/s，連續(xù)加載直至試樣完全破壞。使用攝像機(jī)拍攝整個(gè)試驗(yàn)過程，得到試驗(yàn)視頻圖像。視頻圖像的記錄格式為MOV。

1.2 試驗(yàn)結(jié)果

圖1中σmax為峰值應(yīng)力，由圖1和圖2可以看出，在加載初期，巖樣沒有發(fā)生明顯變形；應(yīng)力水平為0.35σmax時(shí)，巖樣左側(cè)中部出現(xiàn)第一條主裂隙，裂隙從試件中部向兩端擴(kuò)展，發(fā)生縱向破壞；應(yīng)力水平為0.65σmax時(shí)，裂隙已經(jīng)擴(kuò)展到兩端，把試件分割成左半部的小試塊和右半部的巖樣主體部分，巖樣上部被迅速壓密、并出現(xiàn)脫落；應(yīng)力水平為0.90σmax時(shí)，巖樣右半部出現(xiàn)了第二條主裂隙，裂隙從中部出發(fā)、擴(kuò)展到貫穿試件右半部。

圖1 不同加載水平時(shí)的花崗巖試件外觀圖Fig.1 Outlines of granite specimen at different load stages

圖2 花崗巖試件的荷載-軸向位移曲線Fig.2 Load-axial displacement curve of granite sample

2 分形維數(shù)計(jì)算方法

2.1 簡單分形維數(shù)

采用計(jì)盒維數(shù)法計(jì)算花崗巖視頻圖像的簡單分形維數(shù)。計(jì)算公式為：

(1)

式中：ε——正方形盒子邊長；

N——盒子個(gè)數(shù)。

在雙對數(shù)坐標(biāo)平面內(nèi)，以直線擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)(logε，logN)，直線斜率負(fù)值D就是簡單分形維數(shù)。具體計(jì)算時(shí)，把花崗巖圖像進(jìn)行二值化處理，使每一個(gè)像素點(diǎn)用黑色或白色表示(即黑色代表0、白色代表1)，用邊長為ε的正方形盒子覆蓋圖像區(qū)域，統(tǒng)計(jì)包含有1的盒子個(gè)數(shù)N，采用不同大小的ε(這里ε=2，3，4，…，100)覆蓋圖像區(qū)域，得到盒子數(shù)N2，N3，N4，…，N100，根據(jù)式(1)得到分形維數(shù)。

2.2 廣義分形維數(shù)

廣義分形維數(shù)的計(jì)算公式為：

(2)

式中：q——是權(quán)重因子，研究時(shí)取|q|max=4(孫霞[15]等)；

τ(q)——質(zhì)量指數(shù)；

Xq(ε)——為配分函數(shù)。

由式(3)計(jì)算

(3)

式中：Pij(ε)——圖像區(qū)域的概率集。

得到Pij(ε)的方法為：用不同大小ε的正方形盒子去覆蓋圖像，計(jì)算每個(gè)盒子(i，j)中對象區(qū)域的像素?cái)?shù)nij除以全部對象區(qū)域的總像素?cái)?shù)∑nij，就得到每個(gè)盒子中對象區(qū)域占據(jù)的概率Pij(ε)。本次研究，取廣義分形維數(shù)譜的最大值Dmax和最小值Dmin作為不同細(xì)觀組分廣義分形維數(shù)譜的度量。Dmin主要反映組分區(qū)域中小面積區(qū)域的變化情況，Dmax主要反映組分區(qū)域中大面積區(qū)域的變化情況。

2.3 多重分形維數(shù)

研究多重分形維數(shù)時(shí)，首先獲得多重分形譜f(α)。f(α)的計(jì)算公式為：

(4)

式中：α——奇異性指數(shù)；

f(α)——為多重分形譜。

對τ(q)和q作勒讓德變換得到多重分形譜f(α)。

研究時(shí)用多重分形譜f(α)的不均勻指數(shù)A和形狀指數(shù)B來表征細(xì)觀組分的多重分形特征。A定義為f(α)的譜寬、即A=αmax-αmin，反映了各組分區(qū)域概率測度分布的不均勻性程度。B定義為B=f(αmin)-f(αmax)，是各組分最大與最小區(qū)域概率的差值，是組分區(qū)域復(fù)雜程度、不規(guī)則程度和不均勻程度的度量，反映了多重分形譜的形狀特征。

3 不同組分分形維數(shù)的變化特征

3.1 不同細(xì)觀組分分布的確定

試驗(yàn)視頻延時(shí)6分58秒。研究時(shí)，采用MATLAB平臺(tái)、通過編制程序代碼來實(shí)現(xiàn)不同變形破壞階段分形維數(shù)的計(jì)算。為了便于編程處理，將試驗(yàn)視頻由MOV格式轉(zhuǎn)化為AVI格式。編程處理時(shí)，把圖像剪裁得到120 × 360像素的圖像區(qū)域，將未發(fā)生破壞到破壞、共6.00 s(原視頻247～253 s)的所有幀圖像組成新視頻。

將試件表面產(chǎn)生裂隙的時(shí)刻作為變形階段和破壞階段的分界時(shí)刻，根據(jù)裂隙出現(xiàn)的多少把巖石變形破壞過程分成變形階段(沒有裂隙)、破壞時(shí)裂隙較少(只存在第一條裂隙)、破壞時(shí)裂隙較多(多條裂隙存續(xù)時(shí)段)等三個(gè)階段。三個(gè)階段在原視頻中對應(yīng)的時(shí)刻(應(yīng)力水平)分別為247～250 s(0.32σmax～0.36σmax)、250～251 s(0.36σmax～0.38σmax)、251～253 s(0.38σmax～0.40σmax)。為減少計(jì)算量，每隔5幀抽取一幅圖像進(jìn)行研究。

新視頻中花崗巖試樣應(yīng)力、累計(jì)位移與時(shí)間的變化圖見圖3。

圖3 花崗巖試件應(yīng)力、累計(jì)位移與時(shí)間關(guān)系圖Fig.3 Variations of stress and accumulative displacement with time of granite specimen

采用點(diǎn)選統(tǒng)計(jì)法確定花崗巖中不同細(xì)觀組分之間的灰度分界閾值[16]。裂隙-黑云母、黑云母-長石、長石-石英的灰度分界閾值分別為59、135、203。根據(jù)這些分界閾值，得到巖石中不同細(xì)觀組分的具體類型與實(shí)際分布。

3.2 不同組分的分形特征

3.2.1黑云母的分形特征

由圖4可知，在變形階段，黑云母的簡單分形維數(shù)變化不大，廣義分形維數(shù)變化較大，Dmin由2.541增大到2.597，Dmax由2.026增大到2.034，A和B也變化較大，A由0.360增大到0.600，B由0.963增大到1.059；在破壞階段，裂隙較少時(shí)，黑云母簡單分形維數(shù)突然增大、由1.284增到1.331，廣義分形維數(shù)發(fā)生突降，Dmin由2.597降到2.533，Dmax由2.034降到2.008，A和B突然降低，A由0.600突降到0.393，B由1.059突降到1.000；在破壞階段，裂隙較多時(shí)，黑云母的簡單分形維數(shù)變化較大、由1.336減小到1.321，Dmin由2.512增大到2.554，Dmax由2.017增大到2.016，A和B變化都較大，A由0.420增大到0.472，B由0.961增大到1.026。

圖4 黑云母分形維數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.4 Variations of fractal dimensions with time of biotite

3.2.2長石的分形特征

圖5 長石分形維數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.5 Variations of fractal dimensions with time of feldspar

由圖5可知，在變形階段，長石的簡單分形維數(shù)變化不大，廣義分形維數(shù)、A和B變化也較平穩(wěn)；在破壞階段，裂隙較少時(shí)，簡單分形維數(shù)突然減小、由1.954突降到1.938，Dmin突然增大、由2.343增大到2.441，Dmax突然降低、由2.239減小到2.229，A和B都突然增加、A由0.454增大到0.823、B由0.258增大到0.482；在破壞階段，裂隙較多時(shí)，長石簡單分形維數(shù)變化不大，Dmax變化不大，Dmin變化較大、由2.398增大到2.431，A和B的變化也較大，A由0.688增大0.805，B由0.409增大到0.479。

3.2.3石英的分形特征

圖6 石英分形維數(shù)隨時(shí)間的變化Fig.6 Variations of fractal dimensions with time of quartz

由圖6可知，在變形階段，石英簡單分形維數(shù)變化較大、由1.786降到1.777，廣義分形維數(shù)變化較大，Dmin由2.637減到2.626 6，Dmax由2.139降到2.130，A和B變化不大；在破壞階段，裂隙較少時(shí)，簡單分形維數(shù)突然增大、由1.777突增到1.790，廣義分形維數(shù)突然增大，Dmin由2.626增到2.666，Dmax由2.130增到2.136，A和B都突然增加，A由0.714增到0.839，B由0.900增到0.979；在破壞階段，裂隙較多時(shí)，簡單分形維數(shù)稍有變化、由1.791增加到1.795，廣義分形維數(shù)變化較大，Dmin由2.700減小到2.666，Dmax由2.136增大到2.141，A由0.908減小到0.863，B由1.026減小到0.965。

3.3 不同組分分形特征的比較

不同組分、不同分形維數(shù)的不同變化模式，反映了不同組分區(qū)域的面積大小、復(fù)雜程度、不規(guī)則程度、不均勻程度的不同變化情況，可以將前述不同分形維數(shù)繪于同一張圖上來對比分析巖石變形破壞過程中不同細(xì)觀組分分形維數(shù)的變化特點(diǎn)。

圖7為不同細(xì)觀組分簡單分形維數(shù)變化的比較。由圖7可知，在變形階段和破壞階段裂隙較多時(shí)，三種組分的簡單分形維數(shù)都變化不大；破壞階段裂隙較少時(shí)，石英簡單分形維數(shù)變化不大，黑云母簡單分形維數(shù)增大，長石簡單分形維數(shù)減小，簡單分形維數(shù)變化大小順序是：黑云母>長石>石英。

圖7 不同細(xì)觀組分簡單分形維數(shù)變化的對比Fig.7 Variations of simple fractal dimensions with time in various meso-compositions

圖8為不同細(xì)觀組分廣義分形維數(shù)最大值Dmax和最小值Dmin的比較。由圖8可知，在變形階段，三種組分Dmax變化都不大，長石Dmin的變化不大，黑云母和石英Dmin的變化較大，Dmin變化大小順序?yàn)楹谠颇?石英>長石，變形主要發(fā)生在黑云母和石英小面積區(qū)域；在破壞階段、裂隙較少時(shí)，三種組分廣義分形維數(shù)變化都較大，石英Dmax變化相對較小，黑云母和長石Dmax減小，長石和石英Dmin突然增大而黑云母Dmin突然減??；在破壞階段、裂隙較多時(shí)，三種組分Dmax變化不大、Dmin變化較大，變形主要發(fā)生在面積較小的區(qū)域。

圖8 不同細(xì)觀組分廣義分形維數(shù)變化的對比Fig.8 Variations of generlized fractal dimensions with time in various meso-compositions

圖9為不同細(xì)觀組分形狀指數(shù)變化的比較，圖10為不同細(xì)觀組分不均勻指數(shù)變化的比較。

圖9 不同細(xì)觀組分形狀指數(shù)變化的對比Fig.9 Variations of shape index with time in various meso-compositions

圖10 不同細(xì)觀組分不均勻指數(shù)變化的對比Fig.10 Variations of non-uniformity index with time in various meso-compositions

由圖9和圖10可知，對多重分形譜參數(shù)(形狀指數(shù)和不均勻指數(shù))來說，在變形階段，三種組分的形狀指數(shù)變化都較大，長石和石英不均勻指數(shù)變化不大而黑云母不均勻指數(shù)變化較大，可能是黑云母面積很小且分布較分散、受外力影響最大；在破壞階段，裂隙較少時(shí)，黑云母不均勻指數(shù)和形狀指數(shù)突然減小，而長石和石英的不均勻指數(shù)和形狀指數(shù)卻突然增大；在破壞階段，裂隙較多時(shí)，三種組分的形狀指數(shù)變化都較大，而三種組分的不均勻指數(shù)變化相對較小。

4 結(jié) 論

根據(jù)花崗巖的單軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果和試驗(yàn)過程中拍攝的試驗(yàn)視頻，使用數(shù)字圖像處理技術(shù)研究了巖石變形破壞過程中不同細(xì)觀組分簡單分形維數(shù)、廣義分形維數(shù)、多重分形維數(shù)的變化特征，得到如下結(jié)論：

(1)在變形階段，黑云母和長石的簡單分形維數(shù)變化不大，石英簡單分形維數(shù)變化較大，三種組分廣義分形維數(shù)最大值變化不大，廣義分形維數(shù)最小值變化大小順序?yàn)楹谠颇?石英>長石，三種組分的形狀指數(shù)變化較大，長石和石英不均勻指數(shù)變化不大而黑云母不均勻指數(shù)變化較大；

(2)在破壞階段、裂隙較少時(shí)，黑云母和石英的簡單分形維數(shù)突然增大、而長石簡單分形維數(shù)突然減小，石英廣義分形維數(shù)最大值變化不大、黑云母和長石廣義分形維數(shù)最大值減小，長石和石英廣義分形維數(shù)最小值突然增大、而黑云母廣義分形維數(shù)最小值突然減小，黑云母不均勻指數(shù)和形狀指數(shù)均突然減小、而長石和石英的不均勻指數(shù)和形狀指數(shù)均突然增大；

(3)在破壞階段、裂隙較多時(shí)，不同組分的簡單分形維數(shù)變化不大，廣義分形維數(shù)最大值變化不大、而廣義分形維數(shù)最小值變化較大，三種組分形狀指數(shù)變化較大、而不均勻指數(shù)變化較小。