宋文波， 趙 鵬， 李 博

(北京交通大學(xué) 交通運輸學(xué)院， 北京 100044)

隨著高速鐵路市場化運營的發(fā)展，高速鐵路收益問題越來越受到鐵路管理部門的重視，如何在既有固定的運輸能力下提高收益是重要的決策問題。高速鐵路旅客運輸存在產(chǎn)品易逝性、預(yù)售期有限、固定成本高、邊際成本低等特點，適合利用收益管理的理論來提高收益。動態(tài)定價和票額分配是高速鐵路實施收益管理的重要手段，對提高高速鐵路收益具有重要作用。目前國家發(fā)改委已經(jīng)發(fā)布了《關(guān)于改革完善高鐵動車組旅客票價政策的通知》，逐步將高鐵票價制定權(quán)下放給中國鐵路總公司，在此背景下研究高速鐵路的動態(tài)定價和票額分配具有重要的理論價值和實際意義。準確的需求預(yù)測是實施動態(tài)定價和票額分配的關(guān)鍵，然而需求具有隨機性和時變性，很難準確預(yù)測，因此，如何在不確定需求條件下進行動態(tài)定價和票額分配是本文所要研究的問題。

收益管理起源于20世紀70年代美國航空業(yè)，并得到了廣泛應(yīng)用，美國、法國、德國等鐵路公司采用收益管理，取得了顯著成效。對于收益管理問題，國內(nèi)外的學(xué)者已經(jīng)做了深入的研究[1-16]。動態(tài)定價方面，文獻[1-2]運用強度控制理論研究了連續(xù)時間的單一易逝品動態(tài)定價問題，并將其擴展到多產(chǎn)品動態(tài)定價問題。文獻[3]研究了顧客到達為非齊次泊松過程下的動態(tài)定價問題。文獻[4]在需求是價格的線性函數(shù)的條件下，利用最優(yōu)控制理論研究收益管理系統(tǒng)的動態(tài)定價問題。文獻[1-4]研究中，價格隨時間的變化是連續(xù)的，然而現(xiàn)實生活中價格的改變是有限的。因此，文獻[5-6]研究了離散價格集的連續(xù)時間動態(tài)定價問題。文獻[7-8]對我國鐵路利用動態(tài)票價進行了理論探討。文獻[9-11]研究了需求不確定條件下的易逝品的魯棒動態(tài)定價模型。以上對于動態(tài)定價的研究主要以理論研究為主，并且集中在一般易逝性產(chǎn)品和集裝箱班輪運輸，在高速鐵路旅客運輸領(lǐng)域研究較少。票額分配方面，文獻[12]研究了鐵路收益管理非嵌套席位控制問題，給出了確定線性規(guī)劃模型和隨機非線性規(guī)劃模型和求解算法。文獻[13]研究了兩等級票價的席位控制問題，并設(shè)計了粒子群智能算法對問題進行快速求解。文獻[14-15]研究了我國鐵路隨機需求條件下的單列車票額分配方法和嵌套式票額分配方法。文獻[16]以人公里數(shù)最大為目標，通過構(gòu)建基于客車開行方案的換乘網(wǎng)絡(luò)來進行票額分配。但是，既有的對高速鐵路收益管理的研究中，主要集中在對票額分配的研究[12-16]，通常不考慮價格對需求的影響，然而價格對需求具有調(diào)節(jié)作用。在進行票額分配時，文獻[12-16]通常假設(shè)各OD間的需求服從某種分布函數(shù)，這樣得到的優(yōu)化方案很大程度上取決于需求分布估計的準確性，一旦需求估計出現(xiàn)偏差，得到的方案可能達不到收益最大化的目的。高速鐵路客票動態(tài)定價方面的研究才剛起步，目前主要處于理論探索階段，且一般將其與票額分配獨立開來進行研究。然而在實際工作中高速鐵路動態(tài)定價與票額分配是一個相互聯(lián)系不可分割的整體，票價的改變會對需求產(chǎn)生影響，從而影響票額分配。

根據(jù)對既有研究情況的分析，本文針對需求的不確定性以及目前票額分配模型不能滿足需求波動的問題，以收益最大化為目標，建立高速鐵路動態(tài)定價與票額分配穩(wěn)健優(yōu)化模型，并運用穩(wěn)健優(yōu)化方法求解，根據(jù)客票預(yù)售期內(nèi)每個時間段每個OD客流需求的特點，為其制定價格并分配相應(yīng)的票額。最后通過具體的案例來驗證模型的準確性。所建的模型能夠適應(yīng)需求在一定范圍內(nèi)的波動，防止實際需求與票額分配時的需求相差較大，使得產(chǎn)生的票額分配方案不可行，給現(xiàn)場帶來大量的票額調(diào)整工作。

1 模型構(gòu)建

1.1 問題分析

高速鐵路列車開行方案規(guī)定了列車的運行區(qū)段、種類及開行對數(shù)。列車的開行方案確定之后，其停站方案也隨之確定。列車的停站方案構(gòu)成了一個具有多區(qū)段、多OD的列車服務(wù)網(wǎng)絡(luò)。圖1所示為一列車的服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，A為始發(fā)站，D為終到站，B、C為列車的中間?？空荆瑒t此列車服務(wù)于AB、BC、CD 3個區(qū)段，承擔AB、BC、CD、AC、AD、BD這6個OD間的客流。票額分配的目的是根據(jù)客流特點將列車的運輸能力分配到這6個OD上，使獲得的收益最大。在不考慮超員的情況下，列車在每個區(qū)段上的最大運輸能力就是列車的定員。本文研究的問題就是將客票的預(yù)售過程分為T個時期，根據(jù)每個時期t(t=1,2,…,T)內(nèi)各OD間客流與票價的關(guān)系，為各OD制定價格，并為各OD分配相應(yīng)的票額。本文不考慮運行線路上列車之間的相互影響和列車超員。

1.2 數(shù)學(xué)模型

xijt表示第t時段OD對(i,j)的票額需求，該需求是不確定的，但是它隨價格變化的模式是可以預(yù)測的，其為價格pijt的函數(shù)，xijt=xijt(pijt)。根據(jù)文獻[9]，假設(shè)隨機需求的形式為線性函數(shù)和隨機誤差組合而成，即

xijt=αijt-βijt·pijt+εijtt=1,2,…,T

( 1 )

在既有固定的運輸能力下，需求不確定條件下的高速鐵路動態(tài)定價與票額分配綜合優(yōu)化模型(M1)為

( 2 )

s.t.

?t,?(i,j)∈FL=1,2,…,m-1

( 3 )

( 4 )

( 5 )

若lek>lij，則

pekt>pijt?t,?(e,k),(i,j)∈F

( 6 )

( 7 )

若Ω={L|(i,j)∈F且AijL=1}，則

?t,?g∈Ω

( 8 )

pijt∈N

( 9 )

式中：(e,k)為從i站到j(luò)站的OD對；Ω為組成OD對(i,j)的各區(qū)段集合；N為非負整數(shù)集。

式( 2 )是模型的目標函數(shù)，通過確定所有OD在預(yù)售期內(nèi)的每個時段的票價和相應(yīng)的票額，使得鐵路運輸收益最大。式( 3 )是能力約束，所有OD對(i,j)在任一區(qū)段上累積的票額需求之和不得超過列車在該區(qū)段的最大運輸能力。式( 4 )表示預(yù)售期內(nèi)每個時段各OD的票價不得低于一個票價下限，防止鐵路票價過低造成收益損失，同時考慮到鐵路運輸?shù)纳鐣娣?wù)特性，票價不能高于一個票價上限，防止運輸能力緊張時期(如春節(jié)、五一等)票價過高，造成社會不良影響。式( 5 )表示每個時段票額需求不能為負數(shù)。式( 6 )表示在預(yù)售期的同一時間段內(nèi)OD距離越長，票價越高。式( 7 )表示在預(yù)售期的同一時間段內(nèi)票價率是遞遠遞減的，則OD的票價小于組成此OD的各區(qū)段的票價之和。式( 8 )表示OD的票價應(yīng)大于組成此OD的各區(qū)段的票價之和減去任意區(qū)段的票價。式( 9 )是票價的整數(shù)約束。

2 模型求解

由于需求函數(shù)中存在隨機誤差項εijt，因此模型(M1)的最優(yōu)解會受到隨機誤差項的影響。如果不能準確估計式( 1 )中隨機誤差項εijt的分布，則得到的最優(yōu)解可能不滿足列車運輸能力的限制，從而達不到收益最大化的目的。實際上，為了得到穩(wěn)健最優(yōu)解(Robust Optimization)，不必滿足所有情況下的約束條件，可以在某個縮小的隨機誤差項變化范圍內(nèi)求得最優(yōu)解，這樣得到的解不僅能適應(yīng)隨機誤差項的變化，而且目標函數(shù)的值也不至于過多地損失。為此，本文引入穩(wěn)健優(yōu)化模型方法[11]，在假設(shè)已知隨機誤差項εijt的變動范圍而不知道其確切分布時，在解的穩(wěn)健性和目標函數(shù)的最優(yōu)值之間尋求平衡，來適應(yīng)需求的不確定性。

(10)

引入?yún)?shù)Δij，Δij為給定的非負實數(shù)，用來約束OD對(i,j)各時段實際總需求與名義總需求的偏離程度，則有

(11)

因此，考慮需求函數(shù)的不確定性，將式(10)、式(11)帶入模型(M1)中，并且在目標函數(shù)中增加由隨機誤差引起的收入變化量的最小值達到最大的一項，可以將模型(M1)轉(zhuǎn)化為動態(tài)定價穩(wěn)健模型(M2)，即

(12)

s.t.

(13)

(14)

(15)

ξijt≤1

(16)

(17)

若lek>lij，則

pekt>pijt?t,?(e,k),(i,j)∈F

(18)

(19)

若Ω=L|(i,j)∈F且AijL=1則

?t，?g∈Ω

(20)

pijt∈N

(21)

在模型(M2)中約束條件式(13)為

約束條件式(14)為

合并約束條件式(13)和式(14)，則約束條件式(13)可以松弛為

通過變換可以將模型(M2)松弛為穩(wěn)健模型(M3)，即

(22)

s.t

(23)

ξijt≤1

(24)

(25)

(26)

若lek>lij，則

pekt>pijt?t,?(e,k),(i,j)∈F

(27)

(28)

若Ω=L|(i,j)∈F且AijL=1則

?t，?g∈Ω

(29)

pijt∈N

(30)

模型(M3)為一個兩層規(guī)劃問題，其內(nèi)層最小化問題可以認為是決策變量為ξijt的線性規(guī)劃，約束條件式(23)、式(24)為內(nèi)層規(guī)劃問題的約束，通過求解內(nèi)層規(guī)劃的對偶問題，并利用強對偶定理可以將模型(M3)轉(zhuǎn)化為如下凸規(guī)劃問題模型(M4)：

(31)

s.t.

(32)

(33)

(34)

若lek>lij，則

pekt>pijt?t,?(e,k),(i,j)∈F

(35)

(36)

若Ω=L|(i,j)∈F且AijL=1則

?t，?g∈Ω

(37)

pijt∈N

(38)

wij≥0

(39)

在模型(M4)中，wij為模型(M3)中內(nèi)層規(guī)劃的對偶問題的決策變量。

通過求解模型(M4)，可以得到客票預(yù)售期內(nèi)每個時段每個OD的最優(yōu)定價，繼續(xù)利用式( 1 )便可求得每個時段每個OD的票額分配結(jié)果。

3 案例分析

根據(jù)文獻[17]的數(shù)據(jù)，假設(shè)某高速列車運行線路包含4個客運站3個區(qū)段，見圖2。列車在該線路的客運站上均有客運作業(yè)。假設(shè)列車的定員為600人，即CL=C=600，根據(jù)《關(guān)于動車組票價有關(guān)事項的通知》中的規(guī)定，目前票價可以上下浮動10%。則各OD票價及其上下限如表1所示，各OD距離大小關(guān)系為lAB

表1 各OD票價及其上下限取值元

本文將客票預(yù)售期分為3個階段，即t=1,2,3，t越小表示越接近列車發(fā)車時間，需求函數(shù)系數(shù)αijt隨t的增大而減小，βijt隨t的增大而增加，表示越臨近發(fā)車時間，旅客需求對價格的敏感性越低，這符合收益管理思想[10]，即在售票初期(t=3)由于人們不能確定出行時間所以需求量較小，因此售票初期αijt值較小，而此時旅客的敏感性較高，因此售票初期βijt值較大，可以通過降低票價來吸引客流。

根據(jù)收益管理思想和文獻[17]中全價票下需求函數(shù)的關(guān)系，將客票預(yù)售期分為3個階段，給出不同售票階段各OD的需求函數(shù)系數(shù)及其隨機項變化幅度，并在假定鐵路管理部門掌握一定的需求信息后，給出Δij的取值，見表2。

表2 系數(shù)取值

如果鐵路管理部門在售票時不考慮不同售票階段旅客對價格的敏感性，在每個售票階段都以單一全價票的方式進行客票銷售，則根據(jù)表2中不同售票階段的需求函數(shù)關(guān)系，在全價票下各OD的需求及各區(qū)段上座率見表3。

表3 單一全價票下各OD需求及區(qū)段客流量

表3中可以看出，在以單一全價票進行客票銷售時，BC區(qū)段的客流需求超過了列車的定員，表明列車的運輸能力不能滿足所有旅客的需求。利用文獻[14]中的票額分配模型，以收益最大化為目標，根據(jù)全價票下各OD的客流需求，得到的票額分配方案如表4所示。利用Lingo12.0對本文所建模型(M4)進行求解，得到的動態(tài)定價與票額分配方案見表5。

表4 單一全價票下票額分配方案

表5 動態(tài)定價和票額分配方案

對比表3和表4，可以看出在以單一全價票對客票進行銷售時，由于票價固定，各OD間的需求是一個定值，在此需求下，根據(jù)各區(qū)段上座率可以看出，列車的運輸能力并不能滿足所有旅客的需求，因此在以收益最大化為目的進行票額分配時，通過減少OD對BC間的票額數(shù)來限制BC間的客流需求，使得各區(qū)段的客流量都不超過列車定員，這種方式由于限制了部分旅客的需求，可能會造成旅客滿意度的下降，此種方式下獲得的收益為153 710元。

表5是在考慮不同售票階段旅客對價格的敏感性不同，根據(jù)本文所建的模型求得的動態(tài)定價和票額分配方案，可以看出通過調(diào)整不同售票階段的票價，各OD間的需求發(fā)生了變化，各區(qū)段的客流量都不超過列車定員。售票初期由于旅客對價格的敏感性較高，票價相對較低可以吸引一部分客流，但是分配的票額數(shù)相比開車前分配的票額數(shù)較少，這也符合收益管理的思想，為了獲得更多的收益，把票額留給愿意支付更高價格的旅客。OD對AC、BC、BD在售票初期票價高于全價票，說明這3個OD對間的客流需求比較旺盛。此方案下可以獲得的收益為160 682元。與表4相比，利用本文模型求得的動態(tài)定價和票額分配方案能夠獲得更多的收益，但各區(qū)段的上座率并沒有提高，這也說明了并不是將車票賣的越多能夠獲得的收益越大，而是將車票賣給愿意支付更高價格的旅客才能獲得更多的收益。同時，通過調(diào)整不同售票階段的票價，來調(diào)節(jié)各OD間的客流需求從而可以獲得更多的收益，相比單一全價票情況下利用分配的票額數(shù)來限制客流的需求，動態(tài)定價方式是通過調(diào)整票價來主動引導(dǎo)客流需求的變化，更符合旅客的心理需求。通過對比，可以看出利用本文模型計算出來的方案可以獲得更多的收益，從而驗證了采用動態(tài)定價相比現(xiàn)有的單一票價較優(yōu)，并且模型中考慮了需求的波動，使得計算出來的票額分配方案能夠適應(yīng)實際需求在一定范圍內(nèi)的波動，避免了實際需求波動較大時，導(dǎo)致方案不可行，給現(xiàn)場帶來大量的票額調(diào)整工作。然而，由于目前高速鐵路動態(tài)調(diào)整票價仍處于探索階段，需求隨票價變化的關(guān)系需要不斷地在實踐中積累，因此在運用本文模型時需要根據(jù)實踐對需求函數(shù)及其需求波動情況不斷地進行改進。

4 結(jié)束語

本文基于收益管理理論，對不確定需求下的高速鐵路單列車的動態(tài)定價與票額分配方法進行了研究，根據(jù)客票預(yù)售期不同階段客流需求的特點為各OD車票制定價格并分配相應(yīng)的票額，在模型中考慮了需求的波動，使得到的方案能夠適應(yīng)實際需求的波動，避免了實際需求波動較大時導(dǎo)致方案不可行。通過算例，并與單一全價票下的票額分配方案對比，結(jié)果表明動態(tài)調(diào)整票價不僅可以調(diào)節(jié)客流，還可以提高收益，從而驗證了模型的可行性與可操作性。本研究為高速鐵路票價制定提供了一個新的方法，但僅研究了單列車的情況，此外旅客對票價的敏感性及其客流需求的波動情況需要根據(jù)長期的運輸實踐來獲得，今后將進一步研究多列車、多條運輸線路及其考慮旅客選擇行為的更加符合實際情況的高速鐵路動態(tài)定價與票額分配問題。