姜海龍

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710065）

油氣藏流體進(jìn)入井筒，孔隙壓力從外邊界到井壁處為一個(gè)下降的壓力剖面[1]。由于流體與飽和流體的多孔介質(zhì)巖石之間的相互作用，孔隙壓力的變化會(huì)導(dǎo)致地層井壁應(yīng)力和有效應(yīng)力的變化，可能導(dǎo)致裸眼井壁出砂，若出砂量太大，可能導(dǎo)致生產(chǎn)井的報(bào)廢[2]。油氣藏開發(fā)和測(cè)試過程中不同滲流模型對(duì)應(yīng)的近井地層孔隙壓力梯度不同，特別是對(duì)于高壓氣藏，滲流速度足夠大時(shí)滲流模型中要考慮加速效應(yīng)，而考慮加速效應(yīng)滲流模型在近井地層孔隙壓力梯度非線性甚至可能無窮大并且流體質(zhì)量流量存在一個(gè)最大值[3-5]，進(jìn)而改變近井地層巖石的有效應(yīng)力狀態(tài)。目前，油氣藏開發(fā)和測(cè)試過程，井壁圍巖受到Darcy、非Darcy滲流的影響，很多學(xué)者對(duì)地層出砂問題進(jìn)行了研究，但沒有涉及考慮加速效應(yīng)滲流作用和出砂量計(jì)算[6-9]。另一部分學(xué)者，僅僅分析了測(cè)試生產(chǎn)中油氣藏的滲流特征，但沒有聯(lián)系井壁坍塌[3-5，10-13]。金衍等[14]研究了考慮加速效應(yīng)滲流模型的井壁圍巖徑向應(yīng)力，但沒有涉及周向應(yīng)力分析和出砂量計(jì)算。Wu等[15]和Papamichos等[16]通過實(shí)驗(yàn)研究認(rèn)為井眼坍塌的破壞形狀一般呈橢圓形，但對(duì)于滲流作用和出砂量計(jì)算問題，沒有給予討論和研究。姜海龍等[17-20]分析了生產(chǎn)時(shí)高壓氣井裸眼段井壁穩(wěn)定性和近井應(yīng)力狀態(tài)，但沒有涉及出砂量的計(jì)算。在上述研究基礎(chǔ)上，本文從力學(xué)機(jī)理出發(fā)，從相態(tài)、滲流模型、地應(yīng)力三方面分析了徑向滲流作用下直井近井地層巖石應(yīng)力狀態(tài)，并結(jié)合莫爾庫倫準(zhǔn)則，對(duì)油氣藏開發(fā)和測(cè)試過程中裸眼井壁儲(chǔ)層段的坍塌區(qū)域形狀和出砂量進(jìn)行了分析和預(yù)測(cè)。

1 井壁圍巖應(yīng)力狀態(tài)

油氣藏開發(fā)過程中井壁周圍地層應(yīng)力受到遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力和地層流體壓力分布的影響。假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力為σr0，遠(yuǎn)場(chǎng)地層流體壓力為 P0，將文獻(xiàn)[2]中方程（4.51）、（4.52）和（4.53）無量綱化得到[14]：

以下所有的變量都為無因次變量，因此井壁圍巖有效應(yīng)力為：

假設(shè)巖石破壞遵循莫爾-庫倫準(zhǔn)則[2]，用有效應(yīng)力可表示為：

2 均勻地應(yīng)力場(chǎng)油藏出砂量分析

液體達(dá)西滲流模型時(shí)流體壓力分布為[14]：

有效周向應(yīng)力為：

有效周向應(yīng)力的導(dǎo)數(shù)為：

因?yàn)?0＜S＜1，0＜η＜0.5，Y＞1，則有：

有效徑向應(yīng)力的導(dǎo)數(shù)為：

則存在這樣一個(gè)ra[14]：

因?yàn)?0＜φ＜π/2，則有 cot2（π/4-φ/2）＞0，結(jié)合式（7）和式（8），則式（3）左邊部分的導(dǎo)數(shù)：

根據(jù)式（3）和式（11），可以看出坍塌最先出現(xiàn)在井壁，并且當(dāng)井壁圍巖應(yīng)力達(dá)到坍塌臨界狀態(tài)時(shí)，在r＞1的近井地層坍塌停止，不再發(fā)展。

3 均勻地應(yīng)力場(chǎng)氣藏出砂量分析

F（r）具有以下關(guān)系：

F（r）的導(dǎo)數(shù)為：

結(jié)合式（14），可以得到：

有效周向應(yīng)力導(dǎo)數(shù)為：

有效徑向應(yīng)力導(dǎo)數(shù)為：

為了分析方便，取φ=π/6，則式（3）左邊部分的導(dǎo)數(shù)為：

氣藏試氣或生產(chǎn)過程中，氣體的運(yùn)動(dòng)方程可能為Darcy滲流模型、Darcy-Forchheimer滲流模型和考慮加速效應(yīng)的滲流模型，這三種滲流作用下近井地層巖石有效徑向應(yīng)力可能為負(fù)值，只要滿足式（23）：

Darcy滲流模型、Darcy-Forchheimer滲流模型和考慮加速效應(yīng)的滲流模型在質(zhì)量流量相同的情況下，孔隙壓力梯度具有式（24）關(guān)系[4]：

因此當(dāng)井壁（r=1）的有效周向應(yīng)力和有效徑向應(yīng)力滿足式（3）時(shí)，即井壁圍巖應(yīng)力達(dá)到坍塌臨界狀態(tài)，坍塌并不停止，在1＜r≤rc區(qū)域內(nèi)，坍塌繼續(xù)發(fā)展。

因此式（25）是否存在或者說坍塌是否繼續(xù)發(fā)展的條件為：

高壓氣藏直井無因次出砂量V1為：

根據(jù)式（2），得：

則三種滲流模式對(duì)應(yīng)的有效周向應(yīng)力在1≤r＜re范圍都有：

而有效徑向應(yīng)力在近井地層有：

則近井地層有：

由式（32）可以看出，考慮加速效應(yīng)滲流模型對(duì)應(yīng)的井壁圍巖應(yīng)力最先達(dá)到臨界坍塌條件。三種滲流模型孔隙壓力梯度為[14]：

式中：ξ-Darcy-Forchheimer阻力系數(shù)；λ-表征加速效應(yīng)的因子，λ→∞和ξ=0為Darcy模型，λ→∞和模型。

當(dāng) m=0.065，Y=1.1，re=2 000，η=0.5，φ=π/3，C=0.154，αB=1時(shí)，Darcy滲流作用下的近井地層巖石應(yīng)力狀態(tài)（見圖1），可以看出近井地層存在一個(gè)坍塌區(qū)域（1≤r＜rc），此時(shí) rc=1.005 5，很顯然坍塌區(qū)域邊界為一圓形，無量綱的出砂量V1為0.034 7。

當(dāng) m=0.041，Y=1.1，re=2 000，η=0.5，φ=π/3，C=0.143 9，αB=1；λ=0.5，ξ=100 時(shí)，三種滲流模式作用下的近井地層巖石應(yīng)力狀態(tài)對(duì)比（見圖2和圖3），井壁圍巖應(yīng)力差在Darcy滲流和Darcy-Forchheimer滲流作用下分別為1.044 3和0.609 6，而考慮加速效應(yīng)滲流模型作用下的井壁圍巖應(yīng)力差最大為1.074 0，說明考慮加速效應(yīng)滲流模型對(duì)應(yīng)的井壁圍巖應(yīng)力最先達(dá)到臨界坍塌條件；可以看出同樣質(zhì)量流量下，考慮加速效應(yīng)滲流模型對(duì)應(yīng)的出砂量最大，rc=1.138 7，由式（27）得到無量綱出砂量V1為0.931 9。

4 非均勻地應(yīng)力場(chǎng)氣藏出砂量計(jì)算

假設(shè)地層是均勻各向同性、線彈性多孔材料，并認(rèn)為井壁圍巖處于平面應(yīng)變狀態(tài)，水平最大地應(yīng)力σH，水平最小地應(yīng)力σh。在式（2）的基礎(chǔ)上，根據(jù)彈性力學(xué)理論得到滲流作用下井壁圍巖有效應(yīng)力為：

圖1 Darcy滲流作用下井壁達(dá)到臨界坍塌狀態(tài)時(shí)地層巖石應(yīng)力狀態(tài)

圖2 考慮加速效應(yīng)滲流作用下井壁達(dá)到臨界坍塌狀態(tài)時(shí)不同滲流模型對(duì)應(yīng)的地層巖石應(yīng)力狀態(tài)對(duì)比

圖3 考慮加速效應(yīng)滲流作用下井壁達(dá)到臨界坍塌狀態(tài)時(shí)不同滲流模型對(duì)應(yīng)的地層巖石應(yīng)力狀態(tài)對(duì)比（圖2的放大圖）

當(dāng) 1≤r≤re時(shí)，，則有：

可以看出σ'θ最大水平地應(yīng)力方向上最小，而在最小水平地應(yīng)力方向上最大。

將式（34）代入式（3）中，則式（3）左邊部分（r=1，αB=1）為：

圖4 不計(jì)滲流作用（αB=0）時(shí)的井眼坍塌區(qū)域示意圖

點(diǎn)A和B有效周向應(yīng)力和有效徑向應(yīng)力達(dá)到坍塌臨界狀態(tài)時(shí)，由式（3）得：

聯(lián)立式（39）和（40）可求得b1，則無因次出砂量V2為：

地應(yīng)力非均勻性和考慮加速效應(yīng)滲流的雙重作用時(shí)，坍塌區(qū)域邊界為一個(gè)復(fù)雜的形狀。無因次出砂量V3為：

圖5 不計(jì)滲流作用時(shí)井壁圍巖達(dá)到臨界坍塌狀態(tài)時(shí)最大水平主應(yīng)力方向和最小水平主應(yīng)力方向的應(yīng)力狀態(tài)

當(dāng) m=0.041，A=2.2，B=0.2，re=2 000，φ=2π/9，C=0.227 8，αB=0，λ=0.5，ξ=100 時(shí)，由地應(yīng)力非均勻性和井底壓力共同作用的地層巖石應(yīng)力狀態(tài)（見圖5），可以看出井壁圍巖達(dá)到臨界坍塌條件時(shí)，最小水平主應(yīng)力方向?qū)?yīng)的臨界坍塌半徑rc=1.061 7，坍塌區(qū)域（見圖6），最小水平主應(yīng)力方向上坍塌半徑最大，最大水平方向沒有坍塌。由式（41）得到無因次出砂量V2為0.193 8。

圖5 不計(jì)滲流作用時(shí)井壁圍巖達(dá)到臨界坍塌狀態(tài)時(shí)最大水平主應(yīng)力方向和最小水平主應(yīng)力方向的應(yīng)力狀態(tài)

當(dāng) m=0.041，A=2.2，B=0.2，re=2 000，φ=π/3，C=0.087 5，αB=1，η=0.5，λ=0.5，ξ=100 時(shí)，由地應(yīng)力非均勻性和考慮加速效應(yīng)滲流的共同作用地層巖石應(yīng)力狀態(tài)（見圖7），可以看出井壁圍巖達(dá)到臨界坍塌條件時(shí)最大水平主應(yīng)力方向?qū)?yīng)的臨界坍塌半徑rc1大于最小水平主應(yīng)力方向?qū)?yīng)的臨界坍塌半徑rc2，坍塌區(qū)域（見圖8），與圖6不同此時(shí)最大水平主應(yīng)力方向上存在坍塌并且最大。由式（42）得到無因次出砂量V3為4.981 4。當(dāng)m=0.041，A=3.2，B=0.4，re=2 000，φ=π/6，C=0.246 2，αB=1，η=0.5，λ=0.5，ξ=100 時(shí)，坍塌區(qū)域（見圖 9），由式（42）得到無因次出砂量V3為5.326 2。可見地應(yīng)力非均勻性和考慮加速效應(yīng)滲流的雙重作用下的井眼坍塌區(qū)域不一定在最小水平主應(yīng)力方向上坍塌最大。

圖6 不計(jì)滲流作用時(shí)井壁達(dá)到臨界坍塌狀態(tài)時(shí)的井眼坍塌區(qū)域

圖7 地應(yīng)力非均勻性和考慮加速效應(yīng)滲流的雙重作用下，最大水平主應(yīng)力方向和最小水平主應(yīng)力方向的應(yīng)力狀態(tài)

5 結(jié)論

本文分析了油藏和氣藏在滲流作用下井壁圍巖應(yīng)力狀態(tài)以及出砂量的計(jì)算，重點(diǎn)分析對(duì)比了氣藏在不同滲流模型下的出砂量，得到以下結(jié)論：

（1）均勻地應(yīng)力場(chǎng)油藏徑向滲流作用下，直井有效周向應(yīng)力的導(dǎo)數(shù)為負(fù)值并且有效周向應(yīng)力的導(dǎo)數(shù)與有效徑向應(yīng)力的導(dǎo)數(shù)依舊為負(fù)值；井壁坍塌最先出現(xiàn)在井壁，并且當(dāng)井壁圍巖應(yīng)力達(dá)到坍塌臨界狀態(tài)時(shí)，近井區(qū)域坍塌停止，不再發(fā)展。

圖8 地應(yīng)力非均勻性和考慮加速效應(yīng)滲流的雙重作用下的井眼坍塌區(qū)域

（2）均勻地應(yīng)力場(chǎng)氣藏徑向滲流作用下，當(dāng)井壁圍巖應(yīng)力達(dá)到坍塌臨界狀態(tài)時(shí)，坍塌有可能在近井區(qū)域繼續(xù)發(fā)展，而且考慮加速效應(yīng)滲流模型的坍塌更易在近井區(qū)域發(fā)展，并給出了坍塌能夠在近井區(qū)域繼續(xù)發(fā)展的條件。

（3）任何θ方向上，井壁圍巖發(fā)生剪切破壞時(shí)即使考慮地應(yīng)力非均勻性，考慮加速效應(yīng)滲流模型所需的質(zhì)量流量依然都小于Darcy滲流模型和Darcy-Forchheimer滲流模型對(duì)應(yīng)的質(zhì)量流量。

（4）非均勻地應(yīng)力場(chǎng)中即使考慮滲流作用并且無論哪種滲流模型，井壁圍巖都最先在最小水平主應(yīng)力方向上發(fā)生坍塌。

（5）非均勻地應(yīng)力場(chǎng)中考慮滲流作用的近井區(qū)域可能在最大水平主應(yīng)力方向上發(fā)生坍塌并且有可能最大。