李 虹，劉小娟，李瑞琴

（中北大學 機械與動力工程學院，山西 太原 030051）

1 引言

三自由度平面并聯(lián)機構是并聯(lián)機構的重要分支，其結(jié)構簡單，制造加工成本低，易于實現(xiàn)精確的運動控制[1-2]。近年來許多學者對其進行研究。文獻[3-4]對3-RRP球面并聯(lián)機構利用牛頓-歐拉法建立機構動力學模型，求解動力學方程，進行動力學分析。文獻[5]基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡算法對3-RRP平面并聯(lián)機構建立神經(jīng)網(wǎng)絡模型，求解出該機構的位置正解。文獻[6]對3-PRR并聯(lián)機構采用拉格朗日方程建立機構的修正動力學方程并結(jié)合實例分析，利用仿真驗證模型的正確性。文獻[7]在考慮摩擦和無摩擦的兩種情形下對3-PPR平面并聯(lián)機構進行機構動力學研究。

目前，國內(nèi)外對3-RRP并聯(lián)機構的運動學分析及仿真有一定的研究。對3-RRP平面并聯(lián)機構進行動力學研究，采用虛功原理進行動力學求解。其中虛功原理[8-9]是用旋量表示機構方程中的力和力矩。并采用ADAMS對該機構進行動力學仿真，對精確控制機構運動具有重要意義，為機構的實際應用提供理論依據(jù)。

2 3-RRP平面并聯(lián)機構的構型描述

3-RRP平面并聯(lián)機構簡圖，如圖1所示。3-RRP平面并聯(lián)機構由動平臺和靜平臺以及三條支鏈（兩個轉(zhuǎn)動副與一個移動副聯(lián)接而成）組成，三條支鏈對稱分布。如圖1，動平臺為正三角形D1D2D3，該平臺通過移動副Pi與轉(zhuǎn)動副Ci相連，轉(zhuǎn)動副Bi通過連桿BiCi相連。

圖1 3-RRP平面并聯(lián)機構簡圖Fig.1 Diagram of 3-RRP Planar Parallel Mechanism

采用Kutzbach-Grubler法來計算該并聯(lián)機構自由度公式如下：

式中：M—機構的自由度；

d—機構階數(shù)，d=3；

n—總的構件數(shù)目，n=8；

g—整個機構總的運動副數(shù)，g=9；

由上式（1）可得M=3，即3-RRP平面并聯(lián)機構的自由度數(shù)是3。與機架相連的三個轉(zhuǎn)動副作為機構的驅(qū)動輸入。

3 3-RRP平面并聯(lián)機構奇異性分析

奇異位形[10]定義為：機構在運動過程中，出現(xiàn)一些特殊的位置，如機構處于死點，不能連續(xù)運動、運動不穩(wěn)定，甚至其自由度發(fā)生變化等；且一些機構還出現(xiàn)受力狀態(tài)改變，導致機構的各項運動性能變差，使得機構的傳遞運動和動力能力失常，進而有可能損壞機構。上述情況會將影響機構的正常工作，在對機構進行軌跡規(guī)劃時，應該避開機構的奇異位形。

3.1 3-RRP平面并聯(lián)機構雅克比矩陣求解

當機構在奇異位置時，機構的雅可比矩陣變成奇異矩陣，其判別方法與線性代數(shù)中矩陣判別方法一致，通過計算矩陣是否滿秩或行列式的值是否為0進行判斷。機構的雅可比矩陣對機構運動特性的研究至關重要。

以下進行求解3-RRP平面并聯(lián)機構雅克比矩陣。

如圖1所示，動平臺三角形幾何中心為點p，建立動坐標系p-xy，設轉(zhuǎn)動副初始角為α1，α2，α3，三個轉(zhuǎn)動輸入角參數(shù)為θi（i=1，2，3），動平臺輸出位姿參數(shù)（xp，yp，αp）。

如下為3-RRP平面并聯(lián)機構的運動學方程：

式中：M和O—機構輸入、輸出雅克比矩陣；

θ˙—驅(qū)動角轉(zhuǎn)動輸入速度。

3-RRP并聯(lián)機構雅克比矩陣為：

3.2 3-RRP平面并聯(lián)機構奇異位形求解

并聯(lián)機構的奇異位形分類方式有很多，其中，按照機構運動狀態(tài)分為：位移奇異、死點奇異、剩余自由度奇異、瞬時幾何奇異和自由度瞬時變化奇異。

由機構的一般輸入輸出關系式：

JI—機構輸入雅可比矩陣；

JE—機構輸出雅可比矩陣。

對3-RRP平面并聯(lián)機構采用上式（7）來判斷該機構的奇異位形，故機構奇異位形分為位形奇異、邊界奇異和結(jié)構奇異。將由上述得到 Ei，F(xiàn)i，Gi，Ni代入式（3）可得機構的奇異位形判別式，通過矩陣行列式的判別方法得到機構的奇異位置。

（1）對于該機構的輸入矩陣M，當矩陣M行列式有為0時，此時機構處在邊界奇異，則矩陣M中N1，N2，N3必有一個是0，（即當動平臺位姿角與輸入角相等且為0時，機構發(fā)生邊界奇異）。這種奇異位置通常發(fā)生在運動空間邊界處，容易避免。

（2）對于機構的輸出矩陣O，當其行列式值有為0時，此時機構處在位形奇異（發(fā)生這種情況時，機構剛度性能發(fā)生改變，動平臺將無法承受任何受力，將影響機構的運動性能。）當矩陣O中任意一列為0，則矩陣O的行列式值為0；其中矩陣O的第一列和第二列分別為該機構的三條支鏈在x軸，y軸的投影?？梢耘袛嗑仃嘜不存在行列式為0的情況。即3-RRP平面并聯(lián)機構不存在位形奇異。

（3）由上面的式（6）來判斷該機構的雅克比矩陣J，其不存在行列式為0的情形。

所以由上述分析可得3-RRP平面并聯(lián)機構只存在一個奇異位形，為邊界奇異位形。其情形，如圖2所示。

圖2 3-RRP平面并聯(lián)機構的奇異位形Fig.2 Singular Configuration of 3-RRP Planar Parallel Mechanism

4 3-RRP平面并聯(lián)機構動力學建模

建立如圖3所示的動力學模型簡圖，設BiCi段用向量表示，CiDi段用向量表示，中心點p與三角形三個頂點連線的向量為，三個轉(zhuǎn)動副的輸入為驅(qū)動角θi（其中，i=1，2，3）。

下面采用虛功原理對3-RRP平面并聯(lián)機構進行動力學數(shù)學建模，根據(jù)圖3列出3-RRP。

圖3 3-RRP平面并聯(lián)機構模型簡圖Fig.3 Model Diagram of 3-RRP Planar Parallel Mechanism

對式（8）兩邊對時間t求導可得：

將式（9）兩邊同乘b→i可得：

平面并聯(lián)機構各條支鏈的向量表達形式為：

再將式（12）兩邊同乘a→i得出機構中各連桿的角速度為：

將式（13）化為矩陣如下：

由式（14）和式（15）可求出該機構的速度。對所求得的速度表達式對其求導，得到加速度表達式為：

對式（17）化簡，得各連桿角加速度為：

同時可得出各連桿加速度方程為：

通過以上求得連桿與動平臺的速度、加速度，采用虛功原理求該機構所受到的外力，三個驅(qū)動副的轉(zhuǎn)動驅(qū)動力，連桿的移動慣量，可得出如下方程：

式中：Δw—驅(qū)動副的虛位移；Δr—動平臺的虛位移；Δs—滑塊的虛位移；Δu—連桿的虛位移；wq—驅(qū)動力矩；Fd、Fh、Fi、Fq—各質(zhì)點的慣性矢量。

把式（12）、式（13）代入式（21）中得到機構動力學逆解方程為：

上述為研究3-RRP平面并聯(lián)機構的動力學方程求解。

5 ADAMS動力學仿真

采用Pro/E軟件建立機構模型，機構驅(qū)動桿BiCi段的長度為58mm，CiDi段連桿的長度為160mm，動平臺D1D2D3的外接圓半徑e=75。2mm。將模型導入到ADAMS中，設置仿真環(huán)境，模型的重力方向為-，單位為MMKS，剛體材料為鋼結(jié)構，密度ρ=7800kg/m3。添加運動約束，三驅(qū)動桿上添加驅(qū)動，動平臺的中心為標記點。如下分析動平臺在不受外載荷和受到不同外載荷的作用下，動平臺中心點運動軌跡為8字形，如圖4所示。三個驅(qū)動電機的功率損耗情況。

圖4 動平臺輸出端8字形曲線Fig.4 Output of the Dynamic Platform 8 Curve

動平臺受不同外力載荷分別為：

（1）動平臺不受外載荷；

（2）動平臺受外載荷為80N的力；

（3）動平臺受外載荷為120N的力；

（4）動平臺受外載荷為150N的力。

上述的四種情況下動平臺運行8字形軌跡，在PostProcessor后處理中繪制出三個驅(qū)動電機在不同載荷下的功率損耗，如圖5～圖7所示。

圖5 1號電機功率消耗Fig．5 Motor 1 Power Consumption

圖6 2號電機功率消耗Fig．6 Motor 2 Power Consumption

圖7 3號電機功率消耗Fig．7 Motor 3 Power Consumption

由上圖5～圖7所示，動平臺中心點運動軌跡為8字形時，由于三個驅(qū)動不同對應電機損耗情況不同。三個驅(qū)動電機功率出現(xiàn)峰值的時間相同且功率損耗隨動平臺受到外載荷大小的增加而增加，其中，1號和2號電機隨時間變化功率損耗變化趨勢相同，而3號電機剛好相反。當動平臺外載荷為150N，1號電機最大損耗110N·mm/s，2號電機最大損耗140N·mm/s，3號電機最大損耗180N·mm/s。由對上圖的分析可得動平臺不受載荷和受不同外載荷，3號電機功率損耗最大，1號電機功率損耗最小。

6 結(jié)論

（1）通過求機構的雅克比矩陣和采用虛功原理對3-RRP平面并聯(lián)機構求解出其的動力學逆解方程。

（2）利用ADAMS動力學仿真，動平臺承載不同外載荷下，其末端中心點運動8字形軌跡時，分析三個驅(qū)動電機功率損耗情況；得出隨外載荷的增加，3個電機功率是損耗曲線情況變化規(guī)律相似，功率損耗最大是3號電機，最小是1號電機。為3-RRP平面并聯(lián)機構在實際應用中的電機選擇提供重要的理論依據(jù)。

（3）3-RRP平面并聯(lián)機構是一種3-DOF平面并聯(lián)機構，適用于數(shù)控精密繡花機、微動工作平臺等。因此對該機構動力學的研究，為更加精確的控制機構運動具有重要意義。