楊 健，周 鑫，柳偉兵，趙宏宇

（成都理工大學(xué) 核技術(shù)與自動化工程學(xué)院，四川 成都 610059）

1 引言

少自由度并聯(lián)機構(gòu)憑借其多角度、高靈活性、輸出端誤差累積效應(yīng)小等優(yōu)點在機械加工、航天航空、3D打印、工業(yè)機器人等領(lǐng)域起到串聯(lián)機構(gòu)不可替代的作用。其中3-RRR純轉(zhuǎn)動球面并聯(lián)機構(gòu)作為典型代表，在其運動空間內(nèi)具有定位精度高、運動靈活性較好等特點而被廣泛關(guān)注。

文獻[1-2]分別對這類并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型組合方法、靜力學(xué)問題進行了探討，文獻[3-6]則針對運動學(xué)、空間奇異性等問題進行了研究。但此類3-RRR純轉(zhuǎn)動球面并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)并不唯一，在保證9個運動副的軸線相交于空間內(nèi)一點的基礎(chǔ)上，每個運動桿件的形狀、角度、動靜平臺的空間角度等參數(shù)各不相同，因此工程適應(yīng)性各不相同。國內(nèi)學(xué)者對此研究相對較少，國外有代表性的是：學(xué)者Bai.S利用空間四連桿建立對機構(gòu)的約束，并通過將空間運動方程的正弦形式轉(zhuǎn)化為由輸入角的正切方程所構(gòu)成的二項式形式，然后利用多項式的根值存在定理求解出的機構(gòu)奇異位置，以進一步求解出幾組合理的機構(gòu)幾何參數(shù)，最后利用其對應(yīng)的雅克比矩陣加以驗證[7-8]。但這些利用幾何約束關(guān)系和空間奇異關(guān)系推導(dǎo)出合理結(jié)構(gòu)參數(shù)，然后針對這些參數(shù)對其運動的靈巧性和工作空間進行驗證的方法，存在在工作空間最大化的求解過程中，各待解參數(shù)有陷入局部最優(yōu)解和漏解，甚至無法取得靈巧性最大結(jié)構(gòu)參數(shù)的問題[11-13]。

提出了一種智能遺傳算法，以3-RRR并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，以機構(gòu)中電機輸入角度、各運動部件幾何構(gòu)型、動靜平臺的空間角度等為優(yōu)化參數(shù)，來獲取機構(gòu)最大的工作空間和運動靈巧性。

2 3-RRR球面并聯(lián)機構(gòu)工作原理

2.1 3-RRR球面并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)成模型

建立如圖1所示坐標(biāo)系。取第一條運動學(xué)支鏈A1B1C1為研究對象，即圖中陰影部分，此運動鏈底部靜平臺開始至頂部動平臺之間的三個運動副關(guān)節(jié)的方向矢量描述依次為：u1、w1、v1，每個關(guān)節(jié)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度為θ1、φ1、ψ1，矢量u1與矢量w1之間的夾角記為α1，矢量w1矢量v1之間的夾角記為α2，矢量u1與豎直方向的夾角記為γ，矢量v1矢量n之間的夾角記為β。

圖1 并聯(lián)機構(gòu)模型Fig.1 Parallel Mechanism Model

故有||vi||=1。針對描述輸入端運動副轉(zhuǎn)動軸的方向矢量ui的幾何關(guān)系有：

式中：ηi—三條運動支鏈分配角度關(guān)系的參數(shù)；取 ηi=2（i-1）π/3，標(biāo)志著三條運動支鏈以120°均勻分配在靜平臺的一周，由此：

由于 ηi=2（i-1）π/3，γ、α1、α2為常量，在方程組中就存在 θi、vx、vy、vz四個未知數(shù)，只憑借兩個方程無法求解，故引入正切與余切半角公式，取第一運動學(xué)支鏈為計算目標(biāo)，有η1=0、γ=π/3、α2=π/2，將代入式（3）中進行計算可得：

2.2 3-RRR球面并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)雅可比矩陣

一般來說，運動學(xué)的速度方程可以利用運動學(xué)的位置方程通過對時間的一階偏導(dǎo)數(shù)方程進行描述，首先利用上述并聯(lián)機構(gòu)所建立的數(shù)學(xué)模型：

各個終端繞該軸的角轉(zhuǎn)速可用一向量σ進行表示，如圖2所示。其中，繞著軸σ，速度vi（t）經(jīng)過Δt時間后的速度變?yōu)関i（t+Δt），根據(jù)向量的叉積可表示為：v˙i=σ×vi，按照這種原則，將矢量wi、ui寫成關(guān)于并聯(lián)機構(gòu)三條運動鏈電機輸入角加速度的表達形式為w˙i＝θ˙i·ui×wi。

圖2 角速度向量與線速度向量的叉乘關(guān)系Fig.2 The Relationship Between the Angular Velocity Vector and the Line Velocity Vector

即：若已知并聯(lián)機構(gòu)輸入θ˙i可以對機構(gòu)末端輸出v_i進行求解，即運動學(xué)正解問題；若已知其末端輸出vi的角速度γ可以求解并聯(lián)機構(gòu)的輸入θ˙i，即運動學(xué)反解問題，可進一步驗證關(guān)于并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)正反解一體的特性，進而得出關(guān)于該機構(gòu)的運動學(xué)反解的雅可比矩陣為：

3 基于遺傳算法結(jié)構(gòu)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化目標(biāo)的選擇

為了后續(xù)方便計算，將式（7）記為 Jac=［J1，J2，J3］。

式中：ηi已知，α1、γ、θ、vx、vy、vZ作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化對象，針對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化的基本原則為工作空間最大化，在此引入雅克比矩陣的條件數(shù)，描述方程為式中：J-1—雅可比矩陣的逆；|·|||—矩陣的任意范數(shù)；一般取歐幾里得范數(shù)（Euclid范數(shù)）。

雅可比矩陣的條件數(shù)是一個大于等于1的正數(shù)，其存在的意義在于，當(dāng)kj越接近于1，說明機構(gòu)的靈活性越好，反之靈活性變差，故此處取kj作為優(yōu)化目標(biāo)。鑒于優(yōu)化目標(biāo)中存在較多的待優(yōu)化參數(shù)，為解決傳統(tǒng)算法搜索全局性差，存在漏解，且雅可比矩陣計算量較大，整個流程花費時間較長等問題，在此提出一種遺傳算法針對雅可比矩陣的條件數(shù)方程進行優(yōu)化。

3.2 基于遺傳算法結(jié)構(gòu)優(yōu)化

遺傳算法是一種模仿達爾文生物進化機制，實現(xiàn)計算機并行搜索的數(shù)值優(yōu)化方法，遺傳算法的主要計算流程可以概括為：

（1）編碼：計算之前要將實際數(shù)據(jù)預(yù)處理成為待計算編碼，目前應(yīng)用較多的有一般二進制編碼和實數(shù)編碼；

（2）種群初始化：生成基因編碼的定義區(qū)間，從該區(qū)間內(nèi)隨機產(chǎn)生父代基因，種群POP的規(guī)模越大算法搜索的全局性越好，但對應(yīng)的計算復(fù)雜度也越高；

（3）適應(yīng)度計算：在求解全局最大值的優(yōu)化問題當(dāng)中，適應(yīng)度函數(shù)FitFun（x）通常選擇目標(biāo)函數(shù)F（x）本身，將各編碼值帶入計算適應(yīng)度值。

（4）選擇：一般采用轉(zhuǎn)輪式選擇法，按照所占轉(zhuǎn)輪比例隨機地進行個體基因編碼的選擇和淘汰，被選中的基因進行下一代計算，淘汰的基因則從待解集中刪除；

（5）交叉和變異：以一定概率（交叉概率）挑選一對基因，從指定的編碼位置斷開分別交換另一半編碼鏈組成新的基因。以一固定的概率（變異概率）在新的基因鏈中選取某一個編碼進行變異，實數(shù)編碼變異范圍是（0～9），二進制變異則0、1相互轉(zhuǎn)換，進而生成新一代的基因編碼；

（6）重復(fù)以上步驟（3）～（6），直到目標(biāo)收斂獲得最優(yōu)解或達到其他停機條件。

針對上述并聯(lián)機構(gòu)遺傳優(yōu)化問題的重難點主要集中在適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)建上，因為其中的待優(yōu)化參數(shù)vx、vy、vZ無法直接寫出表達式，且以一定形式與 α1、γ、θi、α2相關(guān)聯(lián)。若直接利用計算機搜索的方式將vx、vy、vZ進行賦值計算難免會強行割裂其與待優(yōu)化參數(shù) α1、γ、θi、α2的關(guān)系，故此處在上文的基礎(chǔ)上，利用 tanθi/2 替換掉sinθi與cosθi，將問題轉(zhuǎn)化為多項式的根值存在問題，將根值存在的判斷式引入，作為適應(yīng)度函數(shù)的判別方程：

由于雅克比矩陣的條件數(shù)kj為一個≥1的正數(shù)，故建立用于遺傳算法優(yōu)化的適應(yīng)度函數(shù)為：

此時適應(yīng)度函數(shù)的返回值為1-kj≤0，在進行適應(yīng)度選擇時kj的值越接近1，函數(shù)的返回值越小，這樣可以按照適應(yīng)度值的大小進行排序和篩選。

改進適應(yīng)度函數(shù)后遺傳算法流程，如圖3所示。

圖3 遺傳算法的流程圖Fig．3 Flow Chart of Genetic Algorithm

對于判斷優(yōu)化結(jié)果是否達到最優(yōu)解，引入以下判別方程：

其中，i、n數(shù)值根據(jù)計算的進程而變動，旨在將一段連續(xù)時間內(nèi)適應(yīng)度函數(shù)差值的總和進行監(jiān)督，監(jiān)督值ε按照適應(yīng)度函數(shù)的變化情況取0．00001。同時將單運動學(xué)支鏈的末端輸出矢量也納入待優(yōu)化的范疇，引入約束：v2x+v2y+v2z=1。

根據(jù)該機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特性和遺傳算法的運算合理性，設(shè)定遺傳算法優(yōu)化并聯(lián)機構(gòu)相關(guān)參數(shù)，如表1所示。

表1 遺傳算法中的各參數(shù)Tab.1 Parameters in the Genetic Algorithm

按參數(shù)對雅可比矩陣條件數(shù)進行優(yōu)化，得到遺傳算法的適應(yīng)度變化，如圖4所示。圖4中虛線代表在優(yōu)化計算過程中各種群適應(yīng)度的平均數(shù)變化曲線，出現(xiàn)波動的原因在于，在子群適應(yīng)度不滿足適應(yīng)度判別方程Fs時，函數(shù)返回值被強行置為-1以便于淘汰該數(shù)據(jù)，實線則代表每代子群中最佳適應(yīng)度的變化曲線，最終在123代達到全局最優(yōu)解。對比文獻[7-8，10]中的各組優(yōu)化結(jié)果，如表2所示，本方法1/kj=0．999992，可見機構(gòu)的運動靈活性得到了顯著提高。此時雅可比矩陣的條件數(shù)kj=1．000008，其余各優(yōu)化目標(biāo)，如表3所示。

圖4 遺傳算法適應(yīng)度變化情況Fig．4 Genetic Algorithm Adaptability Changes

表2 各方法優(yōu)化結(jié)果對比Tab.2 Comparison of Methods to Optimize the Results

表3 各優(yōu)化參數(shù)Tab.3 Optimization Parameters

根據(jù)以上優(yōu)化結(jié)果搭建的物理樣機模型，如圖5所示。通過步進電機驅(qū)動，采集其末端動平臺的運動軌跡離散點，如圖6所示，可見其工作空間近乎一個完整的球面，僅在球面兩端出現(xiàn)很小工作空間空白，達到了優(yōu)化設(shè)計目標(biāo)。

圖5 物理樣機Fig．5 Physical Prototypes Based on Optimization Results

圖6 模擬工作空間分布情況Fig．6 Optimized Simulation of the Work Space Distribution

4 結(jié)論

為提高3-RRR球面并聯(lián)機構(gòu)的運動靈巧性、擴大有效工作空間，提出了一種智能遺傳算法對機構(gòu)中各關(guān)鍵參數(shù)進行優(yōu)化，為保證機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特性，引入了適應(yīng)度函數(shù)的判別方程和約束方程，有效的將并聯(lián)機構(gòu)的雅可比矩陣條件數(shù)控制在1．000008。相比國外學(xué)者對應(yīng)的指標(biāo)參數(shù)具有一定的優(yōu)勢。據(jù)此搭建物理樣機進行實驗驗證，結(jié)果表明優(yōu)化后的3-RRR并聯(lián)機構(gòu)顯示出更強的工程實用性，具有更廣闊的應(yīng)用前景。