吳 霄 ，秦慧斌 ，，付俊帆 ，呂 明

（1.中北大學(xué) 先進(jìn)制造技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051；2.太原理工大學(xué) 精密加工山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024）

1 引言

對(duì)于硬脆難加工材料，超聲加工能顯著降低切削力，改善工件表面質(zhì)量，提高加工效率和刀具壽命，在陶瓷、玻璃、鈦合金、淬火鋼等硬脆材料的車、銑、磨、鉆削加工方面應(yīng)用廣泛[1]。諧振系統(tǒng)是超聲加工工藝系統(tǒng)的核心，其性能直接影響著加工質(zhì)量。超聲振動(dòng)系統(tǒng)一般由超聲波發(fā)生器、換能器、傳振桿、變幅桿和加工工具或工件等組成。通過調(diào)節(jié)超聲波發(fā)生器的頻率使振動(dòng)系統(tǒng)諧振于設(shè)計(jì)頻率，獲得良好的加工工藝效果。功率超聲縱彎諧振變幅器是一種典型的復(fù)合振動(dòng)模式的變幅器，換能器和變幅桿縱向振動(dòng)激勵(lì)環(huán)盤負(fù)載作節(jié)圓型橫向彎曲振動(dòng)，完成兩種不同振動(dòng)類型的耦合。縱彎諧振變幅器具有優(yōu)良的特性，在旋轉(zhuǎn)超聲加工、超聲清洗、金屬疲勞檢測(cè)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[2-4]。

文獻(xiàn)[5]最早提出了由變幅桿與大負(fù)載環(huán)盤組成的縱彎諧振變幅器。文獻(xiàn)[6]對(duì)彎曲振動(dòng)圓盤振動(dòng)特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究。文獻(xiàn)[7]

來稿日期：2018-02-06

基金項(xiàng)目：先進(jìn)制造技術(shù)山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金項(xiàng)目（XJZZ201603）；精密加工山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金（201601）；中北大學(xué)研究生科技基金（20161311）

作者簡介：吳 霄，（1993-）男，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向：超聲振動(dòng)精密加工技術(shù)；

秦慧斌，（1978-）男，山西長治人，博士研究生，副教授，主要研究方向：齒輪超聲振動(dòng)精密加工技術(shù)設(shè)計(jì)了一種縱彎諧振水聲換能器，擴(kuò)大了換能器帶寬。文獻(xiàn)[8]提出了階梯齒輪變幅器縱彎諧振的統(tǒng)一求解模型。文獻(xiàn)[9]利用有限元法，研究了縱振激勵(lì)頻率對(duì)圓盤彎曲振動(dòng)特性的影響。文獻(xiàn)[10]提出了一種新型縱彎轉(zhuǎn)換超聲振動(dòng)霧化系統(tǒng)，研究了由換能器、變幅桿與工具組成的振動(dòng)系統(tǒng)的各種諧振狀態(tài)特性。上述文獻(xiàn)都是對(duì)均質(zhì)材料縱彎諧振變幅器進(jìn)行研究，且負(fù)載較小，很少對(duì)大負(fù)載多材料縱彎諧振變幅器進(jìn)行研究。

以三環(huán)盤與變幅桿組成的變幅器為例，基于Mindlin中厚板理論，建立縱彎諧振變幅器的振動(dòng)模型，推導(dǎo)出頻率方程與振型解析表達(dá)式，通過阻抗分析試驗(yàn)和超聲諧振試驗(yàn)對(duì)變幅器的諧振特性進(jìn)行了對(duì)比研究，為超聲諧振系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供了技術(shù)參考。

2 縱彎諧振超聲變幅器理論模型

功率超聲縱彎諧振變幅器由變幅桿和大負(fù)載環(huán)盤組成，實(shí)驗(yàn)所用變幅器結(jié)構(gòu)，如圖1所示。大負(fù)載環(huán)盤由不同材料的環(huán)盤1、2、3組成，中性面為同一平面。環(huán)盤中心孔與圓錐變幅桿芯軸通過緊固螺母剛性連接。緊固螺母與變幅桿芯軸的尺寸相對(duì)變幅器較小，在理論分析中可以忽略。

以變幅桿大端中心點(diǎn)為原點(diǎn)，以變幅桿中心軸線為z軸，建立圖 1 所示的（r，θ，z）圓柱坐標(biāo)系。R1、R2分別表示圓錐變幅桿大端、小端半徑，L 表示變幅桿長度。R3、R4、R5分別表示環(huán)盤 1、2、3的內(nèi)徑，R6表示環(huán)盤 3 的外徑。t1、t2、t3分別表示環(huán)盤 1、2、3 的厚度。由于變幅桿和各個(gè)環(huán)盤的材料不同，故分別以ρ1、ρ2、ρ3和ρ4表示環(huán)盤 1、2、3 和變幅桿的密度，E1、E2、E3和 E4表示環(huán)盤 1、2、3和變幅桿的彈性模量，μ1、μ2、μ3表示環(huán)盤 1、2、3 的泊松比。

圖1 縱彎諧振變幅器結(jié)構(gòu)示意圖Fig．1 Structure of Longitudinal-Flexural Resonance Transducer

當(dāng)變幅器作縱彎諧振時(shí)，變幅桿縱向振動(dòng)，其縱向位移ξ的解析表達(dá)式為：

式中：圓波數(shù)k=ω/c，圓頻率ω=2πf，變幅桿的縱波波速c=（E4/ρ4）1/2；C1、C2—待定常數(shù)。

基于Mindlin理論，單個(gè)環(huán)盤的徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的解析表達(dá)式為：

式中：Aji、Bji（j=1，2；i=1，2，3）為待定常數(shù)；Jn（·）、Yn（·）—第一類、第二類貝塞爾函數(shù)。當(dāng)環(huán)盤負(fù)載作節(jié)圓型橫向彎曲振動(dòng)時(shí)，節(jié)徑數(shù)為零（即n=0）。

將式（3）帶入式（2），可得徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的表達(dá)式為：

當(dāng)變幅器作縱彎諧振時(shí)，變幅桿大端縱向振動(dòng)，應(yīng)力為零，故有自由邊界條件

變幅桿小端與環(huán)盤接觸面上存在有沿z軸方向的力與位移的連續(xù)條件；由于環(huán)盤無徑向轉(zhuǎn)動(dòng)，故在r=R3處，環(huán)盤1的徑向轉(zhuǎn)角 βr1為 0，即：

環(huán)盤2分別與環(huán)盤1在r=R4處，和環(huán)盤3在r=R5處滿足橫向位移wi、徑向轉(zhuǎn)角βri、徑向彎矩分量Mri和徑向剪力分量Qri的連續(xù)條件：

將式（1）和式（4）～式（5）帶入式（6）～式（8）并整理，可得齊次方程組：Δ14×14ξ14×1=014×1，當(dāng)待定常數(shù)不全為 0 時(shí)，其充要條件：

式（9）即為縱彎諧振變幅器的頻率方程。

變幅桿大端振幅與換能器的輸出振幅ξ0相等，即有縱向位移的邊界條件聯(lián)立此邊界條件與齊次方程組可得一個(gè)超靜定方程組。通過求解該超靜定方程，可求得ζ14×1的一組特解。將該特解帶入式（4），可得：

式（10）即為縱彎諧振變幅器的振型解析表達(dá)式。

3 縱彎諧振變幅器阻抗分析試驗(yàn)

根據(jù)縱彎諧振變幅器頻率方程，設(shè)計(jì)了兩個(gè)縱彎諧振變幅器。變幅器1由45鋼變幅桿與黃銅H62階梯環(huán)盤組成，設(shè)計(jì)頻率為20kHz；變幅器2由45鋼變幅桿和灰鑄鐵HT200階梯環(huán)盤組成，設(shè)計(jì)頻率為20kHz。變幅桿和三環(huán)盤的材料性能參數(shù)，如表1所示。變幅桿桿長L為未知尺寸，變幅器其他尺寸由加工工藝和設(shè)備決定，如表2所示。采用Matlab進(jìn)行編程求解，結(jié)果為L1=114.6mm，L2=189.4mm。

表1 材料性能參數(shù)Tab.1 Material Mechanical Properties

表2 縱彎諧振變幅器尺寸參數(shù)與設(shè)計(jì)頻率Tab.2 Parameters and Design Frequencies of Longitudinal-Flexural Resonance Transducers

變幅桿大端與YP-5520-4Z柱型換能器相連，換能器最大振幅為6μm，因此變幅桿大端振幅ξ0=6μm。將其帶入式（10）并求解，可得 ζ10×1的解，將其代入式（3），求解可得三環(huán)盤的振幅：黃銅H62階梯環(huán)盤在半徑r=28.58mm、r=54.18mm和r=74.64mm處為零振幅，灰鑄鐵HT200的階梯環(huán)盤在半徑r=48.86mm和r=72.96mm處為零振幅，即此處為三環(huán)盤的振動(dòng)節(jié)圓位置。

將變幅器和換能器分別與傳振桿的上下端相連，并在連接面上涂抹凡士林填充兩者之間的微小間隙，減小超聲波在連接面的反射損失。用導(dǎo)線將阻抗分析儀PV70A與超聲換能器相連接，如圖2所示。利用相應(yīng)軟件測(cè)量變幅器的縱彎諧振頻率，測(cè)量結(jié)果如表3中fE行所示。

圖2 變幅器阻抗分析試驗(yàn)Fig.2 Impedance Analysis Experiment of Transducers

表3 不同方法求得的縱彎諧振頻率的比較Tab.3 Comparison of Longitudinal-Flexural Resonance Frequency Obtained by Different Means

由表3可知，試驗(yàn)頻率的最大誤差為2.75%。因此阻抗分析試驗(yàn)得到的縱彎諧振頻率結(jié)果與設(shè)計(jì)頻率基本一致，證明了上述的縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)方法對(duì)工程設(shè)計(jì)具有一定的參考意義。

4 縱彎諧振變幅器諧振試驗(yàn)

將變幅器與換能器安裝在試驗(yàn)臺(tái)上，換能器與ZJS-2000型超聲波發(fā)生器相連，組成超聲諧振試驗(yàn)裝置，如圖3所示。在環(huán)盤表面上撒上碳化硅顆粒，打開超聲發(fā)生器并調(diào)節(jié)調(diào)頻螺母，當(dāng)超聲發(fā)生器的頻率分別為20990Hz和20640Hz時(shí)，碳化硅顆粒聚集為圓環(huán)，如圖4所示。表明三環(huán)盤在變幅桿縱向振動(dòng)的激勵(lì)下作節(jié)圓型橫向彎曲振動(dòng)，即變幅器作縱彎諧振。變幅器1與變幅器2諧振頻率與設(shè)計(jì)頻率之間的誤差分別為4.95%和3.20%。

圖3 超聲諧振試驗(yàn)裝置Fig.3 Experiment Equipment of Ultrasonic Resonance

圖4 變幅器縱彎諧振試驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Test Results of Longitudinal-Flexural Resonance of Transducers

利用PDV100型激光測(cè)振儀對(duì)環(huán)盤振幅進(jìn)行測(cè)量，得到三環(huán)盤端面振幅曲線，如圖5所示。理論計(jì)算和試驗(yàn)得到兩種環(huán)盤振幅曲線的對(duì)比，如圖6所示。兩種方法得到的三環(huán)盤振幅曲線的整體形態(tài)基本一致。對(duì)于振幅曲線的零振幅位置，黃銅H62階梯環(huán)盤實(shí)驗(yàn)振幅曲線與理論計(jì)算最大偏差為6.51%，灰鑄鐵HT200階梯環(huán)盤實(shí)驗(yàn)振幅曲線與理論計(jì)算最大偏差為3.56%。

圖5 試驗(yàn)測(cè)量的三環(huán)盤振幅曲線Fig.5 Amplitude Curves of 3-Annular Plate of Experimental Measurements

圖6 三環(huán)盤端面振幅曲線對(duì)比Fig.6 Comparison of Amplitude Curve of Head Face of 3-Annular Plate

理論計(jì)算、有限元仿真和諧振試驗(yàn)之間的誤差產(chǎn)生的因素可能有以下幾點(diǎn)：

（1）試驗(yàn)時(shí)螺母對(duì)變幅器的剛度與質(zhì)量具有影響，另外，螺母預(yù)緊力可能不足，從而產(chǎn)生誤差；

（2）Matlab中對(duì)矩陣方程默認(rèn)采用廣義逆矩陣求解，因而會(huì)導(dǎo)致一定的求解誤差；

（3）諧振試驗(yàn)時(shí)，測(cè)振幅直線不完全過圓心、測(cè)量點(diǎn)間隔不完全相等會(huì)影響測(cè)量精度；

（4）諧振試驗(yàn)中變幅器和試驗(yàn)臺(tái)組成的整體發(fā)生諧振，從而產(chǎn)生誤差。

5 結(jié)論

（1）基于Mindlin理論，建立了由變幅桿和階梯環(huán)盤組成的縱彎諧振變幅器的頻率方程，并求出了相應(yīng)的三環(huán)盤振型解析表達(dá)，設(shè)計(jì)了大負(fù)載功率超聲縱彎諧振變幅器。

（2）完成了縱彎諧振變幅器阻抗分析試驗(yàn)和諧振試驗(yàn)，變幅器的設(shè)計(jì)頻率與阻抗分析結(jié)果和諧振試驗(yàn)結(jié)果相比最大誤差為4.95%，理論計(jì)算與諧振試驗(yàn)得到的三環(huán)盤振幅曲線的整體形態(tài)基本一致，零振幅位置最大偏差為6.51%。

（3）為大負(fù)載功率超聲縱彎諧振變幅器的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)，下一步將基于縱彎諧振變幅器設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)超聲加工工具，為進(jìn)一步開展大負(fù)載功率超聲加工研究奠定實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)。