張繁昌 何晉越 桑凱恒* 秦廣勝 張佳佳

(①中國石油大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島 266580； ②中國石化中原油田分公司，河南濮陽 457099)

1 引言

隨著油氣資源勘探程度的不斷加深，對勘探精度的要求也越來越高，即對地震資料的分辨率提出了越來越高的要求。由于受調諧效應的影響，應用常規(guī)地震資料及傳統(tǒng)處理方法無法識別厚度小于調諧厚度的薄層和小尺度地質構造，難以提供高精度的解釋成果。識別調諧厚度以下的信息，突破常規(guī)地震分辨率的極限是近年來地震領域資料處理研究的重點之一[1]。Portniaguine等[2，3]提出了譜反演方法，它不依賴測井資料等先驗信息，只需利用地震數(shù)據(jù)本身的頻譜信息就能反演地層稀疏反射系數(shù)； Chopra等[4，5]對譜反演方法進行了詳細的論證、推導； Castagna等[6]提出奇偶分解理論； Puryear等[7]對奇偶分解理論進行詳細闡述，把稀疏脈沖反射系數(shù)分解成奇、偶脈沖分量，進一步提高了譜反演對小于調諧厚度的薄層的分辨能力； Yuan等[8]給出了一種奇偶分解譜反演的等價矩陣形式； 劉萬金等[9]、陳祖慶等[10]、張華等[11]及劉潔等[12]應用譜反演理論并結合不同反演算法對實際地震資料進行處理，均取得不錯的效果。

在時間域對反射系數(shù)進行奇偶分解，需給定奇偶脈沖分量的時間厚度，該參數(shù)對反演結果的影響很大且不易確定。研究發(fā)現(xiàn)，在時間域將反射系數(shù)序列分解成奇、偶脈沖分量，與在頻率域將反射系數(shù)序列的頻譜分解成正、余弦分量是等價的。基于此等價關系，本文提出一種直接在頻率域利用地震數(shù)據(jù)譜的正、余弦分量進行協(xié)同反演的方法，推導出反演目標函數(shù)。對反演目標函數(shù)的求解有多種方法[13-16]，為了獲得稀疏反射系數(shù)序列，本文根據(jù)壓縮感知理論，采用梯度投影稀疏重構(Gradient Projection for Sparse Reconstruction，GPSR)基追蹤算法[17，18]對目標函數(shù)進行求解。通過一維稀疏脈沖反射系數(shù)模型和實際地震資料反演，對頻率域正、余弦分量協(xié)同反演結果與稀疏脈沖反演結果進行對比，證明頻率域正、余弦分量協(xié)同反演方法能取得高分辨率反射系數(shù)序列，有助于識別原始地震剖面上無法分辨的薄層，且反演剖面的信噪比得到提高。

2 方法原理

2.1 正、余弦分量協(xié)同反演基本原理

正弦和余弦信號的傅里葉變換為

F[sin(ω0t)]=jπ[δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)]

(1)

F[cos(ω0t)]=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]

(2)

由傅里葉變換的對稱性質，即已知F(ω)=F[f(t)]，則F[F(t)]=2πf(-ω)，可得到

F[δ(t+t0)-δ(t-t0)]=2jsin(t0ω)

(3)

F[δ(t+t0)+δ(t-t0)]=2cos(t0ω)

(4)

其對應波形及頻譜如圖1所示。

由此可知，時間間隔為2t0的奇脈沖分量在頻率域表現(xiàn)為以t0為周期的正弦分量，時間間隔為2t0的偶脈沖分量在頻率域表現(xiàn)為以t0為周期的余弦分量。根據(jù)Puryear的奇偶分解理論，假設反射系數(shù)是稀疏脈沖的，任意反射系數(shù)序列都可以分解成奇、偶脈沖分量，因此，對應于頻率域，任意反射系數(shù)的頻譜可以分解成正、余弦分量。 因此將反射系數(shù)頻譜分解成正、余弦分量，構建用正、余弦分量表示的目標函數(shù)，在頻率域進行正、余弦分量協(xié)同反演。

圖1 奇脈沖分量(a)、偶脈沖分量(c)及其對應頻譜(b，d)

反射系數(shù)序列r(t)可表示為

(5)

式中：rn和tn分別為第n個采樣點上的反射系數(shù)值和對應的時間位置；N為采樣點個數(shù)。

根據(jù)褶積模型[19]，地震信號s(t)可表示為

(6)

式中：w(t)為地震子波； “*”表示褶積運算。對式(6)做傅里葉變換，即得褶積模型在頻率域表達式

(7)

式中：f為頻率；S(f)、W(f)和R(f)分別為地震信號s(t)、地震子波w(t)和反射系數(shù)序列r(t)的頻譜。因此反射系數(shù)序列r(t)的頻譜可表示為

(8)

對式(8)分別取實部和虛部得到

(9)

(10)

式中aWmax為白噪因子，可防止分母出現(xiàn)零值。其中：Wmax為地震子波頻譜W(f)的最大振幅值；a是一個很小的系數(shù)(一般取0.01)。將式(4)、式(3)分別代入式(9)、式(10)，得到

(11)

(12)

由此可見，反射系數(shù)頻譜實部是不同系數(shù)、不同頻率的余弦分量的疊加，這里的系數(shù)就是各采樣點的反射系數(shù)值rn，頻率即為該反射系數(shù)值對應的時間位置tn，同時，這一系列余弦分量對應于時間域一系列偶脈沖分量。同理，反射系數(shù)頻譜虛部是正弦分量的疊加，在時間域對應于一系列奇脈沖分量。

地震信號頻帶寬度都是有限的，即地震信號都是帶限信號。以M區(qū)一道地震記錄為例，其振幅譜如圖2所示，可知其只在5～85Hz范圍內有明顯的振幅值(紅框內部分)。設選取的地震信號頻率范圍是[fmin，fmax]，頻率采樣間隔為Δf，有

fm=(m-1)×Δf+f1m=1,2,…,M

(13)

圖2 M區(qū)一道地震記錄的振幅譜

在[fmin，fmax]內對式(9)、式(10)進行離散，建立反射系數(shù)離散譜方程

(14)

將式(14)改寫成矩陣形式

(15)

其中

Cmn=cos(2πtnfm)

Smn=sin(2πtnfm)

r=[r1,r2,…,rn]T

式中：C即余弦分量矩陣；S即正弦分量矩陣；r為反射系數(shù)序列組成的向量。式(15)即正、余弦分量協(xié)同反演目標函數(shù)表達式。

2.2 GPSR算法

為了求解稀疏的反射系數(shù)序列，應使用稀疏約束的基追蹤算法對目標函數(shù)進行求解。目前有大量文獻提供了各種基追蹤求解算法[20]，本文選用梯度投影稀疏重構(GPSR)算法對式(15)進行求解。

將目標函數(shù)式(式(15))改寫為基追蹤的標準形式

(16)

將待反演的反射系數(shù)序列r分解為正數(shù)序列u和負數(shù)序列-v，則r可寫成r=u-v(u≥0,v>0)，因此r的L1范數(shù)可寫成

(17)

式中l(wèi)n=[1,1,…,1]1×n。將式(17)代入式(16)，則求解式(16)轉為求解目標函數(shù)

(18)

進一步進行下列變換

(19)

即得到新的目標函數(shù)表達形式

(20)

通過以下步驟的迭代，最終求得式(20)的解。

(1)初始化， 給定z(0)，λ=0.01， 選擇參數(shù)β∈(0,1)，μ∈(0,0.5)，令k=0；

(2)利用式(21)和式(22)計算α0， 并用mid(αmin,α0,αmax) 代替α0；

(21)

(22)

(23)

(4)進行收斂判定，并在結果滿足精度要求時終止迭代;如果不滿足精度要求，則令k=k+1，返回步驟(2)。

3 模型和實際數(shù)據(jù)測試

3.1 理論模型試驗

為了體現(xiàn)正余弦分量協(xié)同反演的優(yōu)勢，將時域褶積模型直接作為目標函數(shù)，并采用業(yè)內常用的稀疏脈沖反演方法[24，25]進行反演，將其結果作為對比。稀疏脈沖反演目標函數(shù)為

(24)

式中：W為子波矩陣；s為觀測得到的地震信號組成的向量。

本模型的稀疏脈沖反演結果如圖3e所示，它與25Hz的Ricker子波合成的地震記錄如圖3f所示。觀察圖3d和圖3f可發(fā)現(xiàn)，兩種方法得到的反射系數(shù)恢復出的合成地震記錄與模型正演地震記錄匹配較好，但對比圖3c與圖3e可看到，基于GPSR的正余弦分量協(xié)同反演結果與模型匹配得很好， 反射系數(shù)的位置、幅值都能較為精確地匹配，而稀疏脈沖反演結果中，大部分反射系數(shù)值恢復不到位，第2、6組不能將兩個脈沖信號完全分開，而第4、8組反演結果時間間隔偏大，且在相反極性對兩側出現(xiàn)模型不存在的脈沖。試驗說明，基于GPSR的正余弦分量協(xié)同反演能夠識別時間間隔小于分辨率極限的反射界面，且反演結果穩(wěn)定而精準。

圖3 一維理論模型試驗結果

3.2 實際資料應用

為了進一步分析正余弦分量協(xié)同反演的實際應用效果，將其應用于中國東部E區(qū)一過井測線的實際地震資料(圖4a)?；贕PSR的正余弦分量協(xié)同反演過程中采用的地震子波由譜模擬法[26]估計得到，同時根據(jù)地震頻譜選取5～70Hz為地震有效頻帶，反演獲得的反射系數(shù)剖面如圖4b所示。作為對比，稀疏脈沖反演獲得的反射系數(shù)剖面如圖4c所示。 對比圖4a與圖4b可見，相比原始地震剖面基于GPSR的正余弦分量協(xié)同反演獲得的反射系數(shù)剖面明顯具有更高的分辨率，能將由于相干形成的復波同相軸分離開來，識別原始地震剖面上無法分辨的、厚度小于調諧厚度的薄層和小尺度地質體，反映地層真實的接觸關系，刻畫地層真實的尖滅位置，提供高分辨率的、更加豐富的地質信息。對比圖4b與圖4c可見，基于GPSR的正余弦分量協(xié)同反演結果相較于稀疏脈沖反演結果在保持良好信噪比的同時分辨率有明顯提升，能識別出更小厚度的薄層，且橫向連續(xù)性更好，有助于薄互層、小尺度地質體的精細識別。觀察三張圖黑色虛線框內的部分，圖4b的基于GPSR的正余弦分量協(xié)同反演結果能精細刻畫小尺度地質體和薄層以及它們之間的接觸關系，而在圖4c的稀疏脈沖反演結果中薄層反射軸無法分開，有效信息被淹沒，不能反映地質構造的真實樣式。

圖4 實際資料應用結果

4 結束語

研究發(fā)現(xiàn)，時間域的奇偶脈沖分量與頻率域的正余弦分量是彼此等價的。在時間域對反射系數(shù)進行奇偶分解，需要給定奇偶脈沖分量的時間厚度，該參數(shù)對反演結果影響很大而且不易確定。而以此等價關系為基礎，直接在頻率域利用地震數(shù)據(jù)譜的正余弦分量進行協(xié)同反演可避免此問題。從反演算法看出，本文反演方法不依賴于測井資料等先驗信息，只需要地震數(shù)據(jù)本身的頻譜信息就能反演得到地層稀疏反射系數(shù)。

從模型測試和實際數(shù)據(jù)應用結果看，相比于時域褶積模型反演結果，正余弦分量協(xié)同反演在保持良好信噪比的同時，分辨率明顯提升，能夠識別原始地震剖面上分辨不出的、小于調諧厚度的薄層和小尺度地質體，更有利于地震沉積學研究。