喻羅嬌 彭云飛

摘 要：本文引進(jìn)算子微分方程，得到不依賴于狀態(tài)關(guān)于控制的變分的一類最優(yōu)控制問(wèn)題的二階必要條件。該結(jié)果有助于揭示最優(yōu)控制問(wèn)題與變分問(wèn)題、甚至函數(shù)極值問(wèn)題的本質(zhì)異同，也有助于尋求最優(yōu)控制的計(jì)算方法和最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：最優(yōu)控制問(wèn)題；算子方程；二階必要條件

中圖分類號(hào)：O232

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

1948年N.Wiener出版的《控制論——關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中控制和通訊的科學(xué)》，標(biāo)志著控制論誕生。最優(yōu)控制理論是控制論中的核心內(nèi)容之一，而最優(yōu)控制論的核心是最優(yōu)控制的必要條件，必要條件本質(zhì)是不變量。

最優(yōu)控制問(wèn)題是條件泛函極值問(wèn)題，是函數(shù)極值問(wèn)題、變分問(wèn)題的推廣。關(guān)于函數(shù)極值問(wèn)題，其經(jīng)典結(jié)果是函數(shù)f的極值點(diǎn)x-滿足Euler方程。后來(lái)，Euler和Lagrange得到了變分的一階必要條件，即Euler-Lagrange方程[1]。這實(shí)質(zhì)上給出了極值點(diǎn)的一階不變量。關(guān)于最優(yōu)控制問(wèn)題，Pontryagin引進(jìn)伴隨方程，獲得了最優(yōu)控制的一階必要條件，即Pontryagin極大值原理[2]，本質(zhì)上獲得了最優(yōu)控制的一階不變量。

為了尋求極值點(diǎn)的充分條件及其極值點(diǎn)的計(jì)算，人們研究二階必要條件。一方面函數(shù)f極小值點(diǎn)的二階必要條件是相應(yīng)的Hesse矩陣半正定，另一方面，滿足Hesse矩陣正定的穩(wěn)定點(diǎn)（或駐點(diǎn)）必是f的極小值點(diǎn)。對(duì)于變分問(wèn)題，也有類似結(jié)果。由此，Hesse矩陣半正定是極小值點(diǎn)的二階不變量，它刻畫(huà)了極值點(diǎn)的本質(zhì)特征。一個(gè)自然的問(wèn)題是：如何刻畫(huà)最優(yōu)控制問(wèn)題的二階不變量？這是本文的研究動(dòng)機(jī)。

1 主要結(jié)果

本文主要目標(biāo)是討論線性常微分方程支配的最優(yōu)控制問(wèn)題的二階不變量。首先陳述問(wèn)題：受控系統(tǒng)為如下線性常微分方程

該結(jié)果的形式類似于Pontryagin極大值原理，與其不相同的是：Pontryagin極大值原理中引進(jìn)向量值函數(shù)方程消掉狀態(tài)關(guān)于控制的變分，而本文通過(guò)引進(jìn)算子微分方程來(lái)消掉狀態(tài)關(guān)于控制的變分。該結(jié)果也從二階必要條件的角度揭示了最優(yōu)控制問(wèn)題與變分問(wèn)題、函數(shù)極值問(wèn)題的本質(zhì)差異。

參考文獻(xiàn)：

[1]L Euler. Methodus Inveniendi Curvas Lineas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes： Sive Solution Problematic Isoperimetrici LatissimoSensuAccepti[J]. Eprint Arxiv 2013（1）：421-423.

[2]L S Pontryagin. The Mathematical Theory of Optimal Processes[M]. Hoboken，New Jersey： John Wiley &Sons，Inc， 1962.

[3]Zhang H S， Z Xu. Some results on pointwise second-order necessary conditions for stochastic optimal controls[J]. Science China Mathematics， 2016（2）：1-12.

[4]Zhang H， Zhang X. Pointwise second-order necessary conditions for stochastic optimalcontrols， Part I：The case of convex control constraint[J]. Siam Journal on Control & Optimization，2014（53）：1-28.

[5]H Frankowska， N P Osmolovskii. Second-Order Necessary Optimality Conditions for the Mayer Problem Subject to a General Control Constraint[J]. Optimization & Control， 2015（11）：171-207.

[6]H Frankowska， D Tonon. Pointwise second-order necessary optimality conditions for the Mayer problem with control constraints[J]. Siam Journal on Control &Optimization， 2013（51）：3814-3843.

[7]D Hoehener. Second-order optimality conditions for a Bolza problem with mixed constraints[J]. IFAC Proceedings Volumes， 2011， 44（1）：2594-2599.

[8]A Arutyunov， V Jacimovic， F Pereira. Second Order Necessary Conditions for Optimal Impulsive Control Problems[J]. Journal of Dynamical & Control Systems， 2003， 9（1）：131-153.

[9]Lou， Hongwei. Second-Order Necessary/Sufficient Conditions for Optimal Control Problems in the Absence of Linear Structure[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B， 2010（14）：1445-1464.

（責(zé)任編輯：曾 晶）