辛鋒先 劉學(xué)偉 伍曉紅 吳瑩

摘? 要：多孔介質(zhì)中的聲波傳播是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的重要研究方向之一，在力學(xué)研究生課程《聲學(xué)理論與工程應(yīng)用》中引入COMSOL多物理場有限元軟件，進(jìn)行可視化的數(shù)值仿真課程教學(xué)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了學(xué)生對聲波在多孔介質(zhì)中傳播與耗散機(jī)理的理解，取得了良好的教學(xué)效果。在課程教學(xué)中，應(yīng)用COMSOL軟件中構(gòu)建了多孔吸聲材料的聲傳播有限元模型;結(jié)合數(shù)值計算設(shè)置過程，講解了聲壓、粒子振速、聲強(qiáng)和能量耗散等聲學(xué)概念;開展數(shù)值計算，根據(jù)計算結(jié)果講解了如何在軟件中求解表面聲阻抗、聲壓反射系數(shù)和吸聲系數(shù)等聲學(xué)參量，并進(jìn)一步分析討論了聲波在多孔材料中的傳播規(guī)律與能量耗散機(jī)理。通過以上教學(xué)，促進(jìn)了學(xué)生的理論知識學(xué)習(xí)和軟件仿真學(xué)習(xí)，開拓了學(xué)生創(chuàng)新性思維，增強(qiáng)其自主學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：多孔介質(zhì);聲傳播;COMSOL軟件;有限元建模;課程教學(xué)

中圖分類號：G642 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-000X（2018）24-0001-04

Abstract： Acoustic wave propagation in porous media is one of the most important researches of continuous medium mechanics. In the course of Acoustic Theory and Engineering Application， the COMSOL multi-physics finite element software is introduced into the course teaching. The visualization simulations based on COMSOL are carried out to improve the students' learning interest and to help further understand the acoustic wave propagation and dissipation in porous materials. Specifically， a finite element model for acoustic wave propagation in porous material is developed in COMSOL software. Meanwhile， the concepts of acoustic pressure， particle velocity， sound intensity and energy dissipation are explained in the process of numerical calculation. Numerical calculations are conducted to explain how to solve the surface acoustic impedance， reflection coefficient and absorption coefficient in the software. Moreover， the propagation and energy dissipation mechanism of acoustic waves in porous materials are discussed. The above teaching method promotes the students' theoretical learning and software simulation， and remarkably enhances the students' innovative thinking and autonomous learning ability.

Keywords： porous media; acoustic wave propagation; COMSOL software; finite element modeling; course teaching

引言

聲學(xué)理論是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個重要分支學(xué)科，主要研究聲波在連續(xù)介質(zhì)（包括固體介質(zhì)、流體介質(zhì)、固液或固氣兩相介質(zhì)）中的傳播與衰減規(guī)律。聲學(xué)理論課程主要講解聲波的波動方程、聲波在管中的傳播、聲波的輻射、聲波的散射和聲波的吸收等方面的知識[1，2]。為了使理論聯(lián)系實(shí)際，作者在聲學(xué)理論課程教學(xué)過程中穿插講解工程應(yīng)用方面的知識，從而形成面向力學(xué)研究生的《聲學(xué)理論與工程應(yīng)用》課程。該研究生課程對拓展學(xué)生學(xué)術(shù)視野，啟發(fā)創(chuàng)造性思想，及理論聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用方面，起到了較好的促進(jìn)作用。

具體而言，聲學(xué)是建立在振動力學(xué)基礎(chǔ)上的一門學(xué)科。在傳統(tǒng)教學(xué)中，聲學(xué)理論通常是從振動力學(xué)開始講起，在講解了單自由度質(zhì)點(diǎn)振動、連續(xù)體振動以及電-力-聲類比后，才進(jìn)入真正的聲學(xué)理論學(xué)習(xí)。雖然聲學(xué)和振動力學(xué)有非常大的關(guān)聯(lián)性，但是學(xué)生在結(jié)束振動力學(xué)基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)，剛進(jìn)入聲學(xué)理論學(xué)習(xí)階段時，陌生的聲學(xué)理論知識并不容易被學(xué)生理解與接受。這主要在于兩者的日常可視性不同：在日常生活中，很多結(jié)構(gòu)振動可以通過肉眼觀察到，甚至振動位移的大小和方向、振動速度的快慢和方向都可以較為直觀的觀察到，這較為容易理解;而對于聲學(xué)，以與我們生活最為相關(guān)的空氣聲傳播為例，由于空氣是透明的，聲波在空氣中的傳播無法被直接觀察，這在相當(dāng)程度上加大了理解難度。因此，尋找一種可視化的教學(xué)手段，將有利于學(xué)生對聲學(xué)理論學(xué)習(xí)和理解。

目前，COMSOL是廣泛使用的一種多物理場仿真軟件，其內(nèi)嵌的聲學(xué)模塊可以方便地進(jìn)行多孔聲學(xué)和粘熱聲學(xué)的模擬仿真。軟件數(shù)值計算得到的云圖，可以將聲壓、速度、聲強(qiáng)以及聲能耗散等結(jié)果可視化，十分有利于學(xué)生對聲學(xué)的學(xué)習(xí)和理解。同時，COMSOL軟件被廣泛地應(yīng)用于學(xué)術(shù)研究和工業(yè)仿真中，所以應(yīng)用COMSOL軟件開展聲學(xué)教學(xué)，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的科研能力。此外，在課程教學(xué)中，應(yīng)用COMSOL軟件能夠展示最新的科研成果，使學(xué)生接觸更多的學(xué)科前沿知識，開闊學(xué)術(shù)視野。

綜上所述，本文將應(yīng)用基于COMSOL軟件模擬多孔材料中聲傳播的案例，來說明作者在聲學(xué)理論課程教學(xué)過程中應(yīng)用可視化教學(xué)手段的具體實(shí)踐。首先，構(gòu)造多孔吸聲材料圓管模型，模擬一維聲波在多孔材料中的傳播;其次，計算并繪制圓管中的聲壓云圖、粒子振動速度云圖、聲強(qiáng)流動云圖及聲能耗散云圖，通過這些云圖來講解多孔材料中一維聲波的傳播與吸收規(guī)律;最后，給出多孔材料表面聲阻抗、反射系數(shù)和吸聲系數(shù)等聲學(xué)表征參量在軟件中的計算方法，通過這些參量來評價多孔材料的吸聲性能。

一、模型描述

如圖1所示，考慮聲波在末端含有多孔吸聲材料的圓管中傳播。圖1（a）為聲傳播模型的三維示意圖，其中厚度為50mm、直徑為100mm的多孔吸聲材料放置于相同直徑的圓管中，聲波垂直向下入射多孔材料。圖1（b）為COMSOL有限元建模圖，在軟件中應(yīng)用壓力聲學(xué)模塊建模得到。因?yàn)槿S模型為軸對稱模型，為了減少計算用時，在軟件中建立r-z坐標(biāo)系下的軸對稱有限元模型。模型中含有三個域：（1）充當(dāng)背景聲壓場的空氣域，背景聲壓場模擬聲壓垂直向下入射，入射聲壓幅值為1Pa，域內(nèi)流體介質(zhì)為空氣，COMSOL材料庫中有空氣材料，可以直接調(diào)用，其密度和聲速分別設(shè)置為？籽0=1.2kg/m3和c0=343m/s;（2）模擬多孔材料的多孔聲學(xué)域，采用半唯象的J-C-A模型[3，4]，即認(rèn)為多孔材料骨架為剛性，聲波入射時不會產(chǎn)生振動，所選用的多孔材料[5]參數(shù)為孔隙率0.95、曲折度1.42、流阻率8900N·s/m4、粘性特征長度180μm及熱特征長度360μm，其中多孔材料內(nèi)部流體設(shè)置為空氣;（3）完美匹配層（PML），用以模擬無反射邊界。對于邊界條件的設(shè)置：因?yàn)槎嗫撞牧戏胖迷趧傂员骋r上，所以模型底部邊界設(shè)置為硬聲場邊界，即聲波全發(fā)射;另外，因?yàn)槭强紤]聲波正入射，模型右側(cè)邊界也設(shè)置為硬聲場邊界。

二、仿真云圖分析

（一）聲壓

聲壓是聲學(xué)中的重要概念，其描述的是空間中某點(diǎn)真實(shí)壓力的波動值，沒有方向，是一個標(biāo)量。圖2中繪制了2000Hz頻率時在空氣域和多孔材料域中的總聲壓幅值云圖、入射聲壓幅值云圖以及散射聲壓幅值云圖。圖2中結(jié)果是通過對圖1（b）軸對稱半截面上的結(jié)果旋轉(zhuǎn)180度得到。圖2（a）中的總聲壓幅值云圖，描述了聲場達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時各處的聲壓分布;圖2（b）中為入射聲壓幅值云圖，入射聲壓場即為背景聲壓場;圖2（c）中為散射聲壓幅值云圖，描述了入射聲壓經(jīng)反射和透射后產(chǎn)生的聲壓場。從圖2（b）中可以看到，入射聲壓在空氣域內(nèi)的幅值為1Pa，與我們的設(shè)置相一致，而其在多孔材料域內(nèi)為0，即無初始聲壓。從圖2（c）中的散射聲壓場可以看到，其在空氣域與多孔材料域的界面處并不連續(xù)。這是因?yàn)楫?dāng)聲波入射至多孔材料表面時，一部分聲壓會發(fā)生反射，返回到空氣域中，此界面以上的散射聲壓為反射聲壓，而另一部分會發(fā)生透射，進(jìn)入多孔材料域，此界面以下的散射聲壓為透射聲壓，反射聲壓和透射聲壓在截面處不連續(xù)。最后，對比圖2中的3幅子圖，我們可以發(fā)現(xiàn)總聲壓場實(shí)際為入射聲壓場和散射聲壓場的疊加。

（二）粒子振速

粒子的振動速度描述了空氣中質(zhì)點(diǎn)振動速度，有大小有方向，其為矢量。在柱坐標(biāo)系下，法向振速和徑向振速的名稱分別為vz和vr，相對應(yīng)的幅值分別為|vz|和|vr|。粒子振速與聲速易混淆，在教學(xué)時需要給學(xué)生特別強(qiáng)調(diào)并加以區(qū)分。粒子振速的英文表達(dá)為“particle vibration velocity”，而聲速的英文表達(dá)為“sound speed”。前者描述的是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)在當(dāng)?shù)氐恼駝铀俣?，而后者描述的是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振動向前擾動的傳播速度，即整個聲壓波向前傳播的速度，為波的相速度。以室溫條件下，人大聲說話產(chǎn)生的聲傳播為例，空氣質(zhì)點(diǎn)的振速大約為0.25mm/s，而空氣中聲速大約為340m/s，兩者有顯著的差別。圖3給出了2000Hz頻率時空氣域和多孔材料域中的粒子法向振速和徑向振速。可以發(fā)現(xiàn)，圖3（b）中的徑向振速比圖3（a）中法向振速低了3個數(shù)量級，即徑向振速可以忽略不計。在理論上，一維聲波傳播不會產(chǎn)生徑向振速，但是在實(shí)際數(shù)值模擬過程中有限元網(wǎng)格尺寸不可能無限小，這造成徑向振速計算上的極小的誤差。此外，圖3（a）中多孔材料底部的振速接近于零，這是因?yàn)槲覀冊O(shè)置了剛性背襯的邊界條件，在此邊界上的質(zhì)點(diǎn)不會產(chǎn)生振動，其振速應(yīng)該為0，之所以圖3（a）中不為零，仍然是因?yàn)榫W(wǎng)格不可能無限小而造成的數(shù)值誤差。

（三）聲強(qiáng)與聲能耗散

聲強(qiáng)是單位時間內(nèi)通過一定面積的聲波能量，又稱為聲功率，有大小有方向，為矢量，其大小為總聲壓幅值的平方除以2倍的空氣特性阻抗;聲能耗散在COMSOL中可以用平面波總功率耗散密度來表示，與傳播介質(zhì)波數(shù)的虛部有關(guān)，為標(biāo)量。圖4為2000Hz頻率時空氣域和多孔材料域中的聲強(qiáng)矢線圖和能量耗散密度云圖，其中（a）圖為三維圖示意圖，（b）圖為軸對稱半截面示意圖。由圖4可以發(fā)現(xiàn)，在空氣域沒有發(fā)生能量耗散，能量耗散均發(fā)生在多孔材料內(nèi)部。與之相對應(yīng)的是，聲強(qiáng)幅值在空氣中保持不變，而隨著聲波進(jìn)入多孔材料而逐漸減小。同時，聲強(qiáng)的方向始終保持豎直向下方向。此外，通過與圖3（a）進(jìn)行比較可以發(fā)現(xiàn)，最大振速和最大能量耗散都位于多孔材料表層。這是因?yàn)槎嗫撞牧弦蕾嚳諝庠谖⒖字姓駝訒r產(chǎn)生的粘性耗散和熱耗散進(jìn)行聲能吸收，一般而言，振速越大，空氣與多孔材料骨架摩擦產(chǎn)生的粘性耗散越強(qiáng)，而粘性耗散在聲能耗散中占據(jù)主導(dǎo)地位，所以圖4中的能量耗散主要集中于多孔材料表層。

三、多孔材料聲學(xué)描述

通過以上對聲壓、粒子振速、聲強(qiáng)和聲能耗散云圖的描述和分析，可以讓學(xué)生更好的理解一維聲波在多孔材料中的傳播與耗能現(xiàn)象。而在實(shí)際分析問題中，我們還需要定義一些新的物理量來進(jìn)一步評價多孔材料的聲學(xué)特性和吸聲能力。這其中，表面聲阻抗、反射系數(shù)和吸聲系數(shù)是最為重要的聲學(xué)參量。本部分首先求得表面聲阻抗，進(jìn)而通過它求得吸聲材料的聲反射系數(shù)和吸聲系數(shù)。

表面聲阻抗的定義為材料表面的聲壓除以粒子振速，在一維聲波傳播過程中，粒子振速即為質(zhì)點(diǎn)法向振速，在有限元中可以表述為：

其中表面聲阻抗Zs中的下標(biāo)“s”表示“surface”，這里為吸聲材料表面;p表示某點(diǎn)的總聲壓，uz表示質(zhì)點(diǎn)的法向振速，符號〈·〉為平均算子，表示參量在某條線上、某個面內(nèi)或者某個體積內(nèi)的平均值。這里〈·〉s的下標(biāo)為“s”，表示對吸聲材料表面進(jìn)行物理量的面積平均計算。

圖5（a）分別畫出了多孔材料無量綱化的表面聲阻抗實(shí)部和虛部，其中無量綱化的基準(zhǔn)Z0=？籽0c0為空氣的特性阻抗。依據(jù)電-聲類比的相似性：表面聲阻抗的實(shí)部類似于電阻，代表材料消耗聲能的能力;表面聲阻抗的虛部類似于電抗，代表材料儲存聲能的能力。

從上式可以看出材料的吸聲系數(shù)與聲壓反射系數(shù)的平方有關(guān)，表示的是聲波能量的吸收情況。圖5（b）分別描繪了反射系數(shù)絕對值和吸聲系數(shù)曲線圖，兩者此消彼長。再結(jié)合圖5（a）中的聲阻抗圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無量綱化的聲阻抗實(shí)部接近于1，同時虛部接近于0時，對應(yīng)的材料吸聲系數(shù)最大。這就是聲阻抗匹配：當(dāng)吸聲材料的表面聲阻抗越接近于空氣特性阻抗，聲波越容易進(jìn)入多孔材料內(nèi)部，進(jìn)而越多的聲波能量被多孔材料吸收，因而這通常對應(yīng)于更強(qiáng)的吸聲能力。在數(shù)學(xué)上，這一推論也可以從公式（3）和（4）得到。

四、結(jié)束語

計算機(jī)仿真和可視化技術(shù)的發(fā)展使得傳統(tǒng)理論更容易被人們學(xué)習(xí)和理解，特別是對于無法直接觀看的多孔介質(zhì)聲傳播現(xiàn)象，而應(yīng)用有限元數(shù)值模擬則可以形象地展示聲傳播過程與現(xiàn)象。面向力學(xué)專業(yè)研究生教學(xué)過程中，針對聲學(xué)理論較為抽象、不易被學(xué)生理解與掌握的問題，作者開展了COMSOL可視化仿真在聲學(xué)理論課程中的應(yīng)用與實(shí)踐，取得了積極地課題反響和良好的教學(xué)效果。本文以多孔材料中聲傳播有限元建模案例作為典型代表，展示了作者如何在聲學(xué)理論課堂教學(xué)過程中應(yīng)用COMSOL可視化仿真技術(shù)進(jìn)行聲學(xué)理論教學(xué)。通過建立聲波在多孔材料中傳播的有限元模型，結(jié)合聲壓、粒子振速、聲強(qiáng)和聲能耗散等結(jié)果云圖，并進(jìn)一步應(yīng)用多孔材料表面聲阻抗、反射系數(shù)和吸聲系數(shù)的計算結(jié)果，具體講解分析了聲波在多孔介質(zhì)中的傳播與耗散行為。這種聲學(xué)理論知識講解結(jié)合有限元可視化仿真的教學(xué)手段，使得學(xué)生可以更快更好地理解聲學(xué)基本概念和掌握基礎(chǔ)理論知識。另外，通過有限元建模，可以教會學(xué)生如何將聲學(xué)條件在有限元建模中合理表達(dá)，方便學(xué)生進(jìn)行新的實(shí)例學(xué)習(xí)和自主建模。總之，在基礎(chǔ)理論知識教學(xué)中引入COMSOL可視化仿真技術(shù)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，顯著增強(qiáng)了課堂教學(xué)效果。具體而言，這種課程教學(xué)方式，一方面有助于學(xué)生對基礎(chǔ)概念和理論知識的理解與學(xué)習(xí)，另一方面教會了學(xué)生如何利用有限元仿真軟件進(jìn)行數(shù)值建模。這兩方面作用促進(jìn)了學(xué)生自主結(jié)合基礎(chǔ)理論和有限元仿真進(jìn)行前沿知識的學(xué)習(xí)，顯著增強(qiáng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和科研能力。

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