許華南, 張連剛, 湯小偉, 王永輝

(1.龍巖學院資源工程學院, 福建 龍巖　364000; 2.北京科林斯幕墻工程咨詢有限公司, 北京　100020; 3.上海龐源機械租賃有限公司, 上?！?00030; 4.哈爾濱工業(yè)大學土木工程學院, 黑龍江 哈爾濱　150090)

0　引言

地下復雜結(jié)構(gòu)與裂紋復合缺陷對彈性波的散射解答對于爆炸力學、 地球物理學及材料力學性能的研究具有重大的工程實踐意義, 在地下勘測和探索、 石油開采、 采礦工程、 地下隧道工程等領(lǐng)域有著廣泛的應用.近20年以來, 對地下結(jié)構(gòu)與復雜裂紋缺陷的解答已經(jīng)有了大量的成果, 文獻[1-8]采用復變函數(shù)法、 Green函數(shù)法和裂紋“切割”技術(shù)研究了孔洞、 夾雜和裂紋的散射問題； 而文獻[9-13]則運用數(shù)值分析的方法、 基于邊界積分方程法中的非超奇異牽引法等方法解答了孔洞、 夾雜與裂紋的相互作用問題.在已有的研究成果中, 選取的結(jié)構(gòu)大都具有較為規(guī)則的幾何形狀邊界, 而在實際工程中, 地下結(jié)構(gòu)往往具有復雜的不規(guī)則的幾何形狀, 如橢圓形、 三角形等.研究地下不規(guī)則的橢圓形狀結(jié)構(gòu)對彈性波的散射問題具有重大的工程意義.

研究彈性波入射作用下地下具有復雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)與裂紋缺陷的動力學問題, 建立Green函數(shù)為首要問題.給定一定邊界條件及初始條件, 點源入射作用下產(chǎn)生的位移場定義為Green函數(shù), 本研究選取的地下結(jié)構(gòu)為橢圓形夾雜, 具有不規(guī)則形狀邊界, Green函數(shù)不易建立.該問題模型的不規(guī)則邊界可采用復變函數(shù)法中的“保角映射”方法將其映射為圓形邊界, 再進一步推導彈性半空間內(nèi)和表面上任意一點分別作用出平面線源載荷時產(chǎn)生的位移場的基本解, 即Green函數(shù), 所得結(jié)果可為SH波入射下地下復雜結(jié)構(gòu)和裂紋缺陷的動態(tài)響應問題開拓新的途徑, 并進一步服務于全空間問題的解答.

1　問題描述

如圖1所示為含橢圓形夾雜的彈性半空間模型, 圖1(a)～(b)分別為時間諧和的出平面線源荷載作用在水平表面和半空間內(nèi)任意一點的情形.介質(zhì)Ⅰ和介質(zhì)Ⅱ分別為基體和橢圓形夾雜, 具有不同的材料常數(shù)(ρ1,μ1;ρ2,μ2).ρi和μi(i=1, 2)分別為介質(zhì)的質(zhì)量密度和剪切模量.假設(shè)橢圓的半長軸和半短軸長分別為al和bl, 橢圓夾雜中心與水平地表的垂直距離為h.圖中有兩個坐標系：XOY和X′O′Y′, 它們之間的關(guān)系為：

x′=xy′=y-h

(1)

圖1　出平面線源載荷作用在含橢圓形夾雜的彈性半空間模型Fig.1　Half-space model of elliptical inclusion impacted by an out-plane source load

2　控制方程

(2)

(3)

(4)

則式子(3)變成

(5)

3　彈性半空間內(nèi)的位移場

在出平面線源荷載的作用下, 由于橢圓夾雜的存在會激發(fā)產(chǎn)生一個散射場, 夾雜內(nèi)會產(chǎn)生一個駐波場, 具體表述如下.

3.1　基體內(nèi)的散射波

在出平面線源荷載的作用下, 橢圓夾雜激發(fā)產(chǎn)生的散射場, 在水平表面上的應力應為零, 并滿足無窮遠處的Sommerfeld輻射條件, 同時還要滿足控制方程(4), 則該散射場的表達式可構(gòu)造為

(6)

3.2　橢圓夾雜內(nèi)的駐波

(7)

4　Green函數(shù)的導出

4.1　Green函數(shù)G1

本研究所求解的第一個Green函數(shù)為出平面荷載作用在含橢圓夾雜的半空間表面任意一點時的基本解, 用G1表示, 如圖1(a)所示.

邊界條件為：

(8)

在夾雜邊界的法向方向, 即η=eiθ時(R=1).

(9)

至此, 便得到了介質(zhì)Ⅰ的總波場, 即第一個Green函數(shù)G1, 具體表達式如下：

(10)

總應力場為：

(11)

將相關(guān)位移場和應力場的表達式代入邊界條件(8), 可推導出

(12)

其中：

用e-imθ乘以方程組(12)兩邊, 并在區(qū)間(-π, π)上積分, 則得

(13)

其中：

式子(13)為求解未知系數(shù)An和Bn的復系數(shù)代數(shù)方程組, 通過控制邊界精度對其截斷有限項進行求解.

4.2　Green函數(shù)G2

如圖1(b)所示, 本研究的第二個Green函數(shù)為出平面線源荷載作用于含橢圓夾雜的彈性半空間內(nèi)任意一點產(chǎn)生的位移場的基本解, 用G2來表示, 且滿足控制方程(2).邊界條件表示為式子(8).

(14)

(15)

至此, 同樣也得到了區(qū)域Ⅰ內(nèi)的總位移場, 即本研究的第二個Green函數(shù)G2, 表達式如下：

(16)

總應力場為：

(17)

Green函數(shù)G2中未知系數(shù)的求解與4.1節(jié)一樣, 不再贅述.

5　動應力集中系數(shù)(DSCF)

根據(jù)已求出的兩個Green函數(shù), 分析出平面荷載作用下彈性夾雜周邊的動應力分布問題, 從而進一步驗證本研究所推導出的Green函數(shù)的準確性.

(18)

6　算例分析

選取具體算例分別得出在兩個Green函數(shù)情況下彈性橢圓夾雜邊緣的動應力集中系數(shù)的數(shù)據(jù)圖, 分析入射波數(shù)k1, 基體與夾雜的波數(shù)比k*=k1/k2, 剪切模量比μ*=μ2/μ1, 橢圓夾雜中心到水平表面的距離h, 點源作用位置以及入射方向等參數(shù)對夾雜邊緣動態(tài)響應的力學規(guī)律.動應力集中系數(shù)公式由式子(18)定義.通過驗算, 當方程組(13)中m和n取7時, 邊界處的計算精度達10-8, 極大滿足了精度的要求, 所以本研究建立的Green函數(shù)是精確的.文獻[11]基于Green函數(shù)解, 研究了彈性半空間中單個橢圓夾雜與單個裂紋的問題, 將問題模型退化為單個圓形夾雜與裂紋的情形, 并給出了同一算例下與文獻[6]的數(shù)據(jù)比較結(jié)果, 通過對比得出兩者的數(shù)據(jù)結(jié)果近似一致的結(jié)論, 驗證了采用Green函數(shù)法解決該問題的準確性.

本研究分別考慮三種情況： 1)μ*=0.25,k*=0.5; 2)μ*=4.0,k*=2.0; 3)μ*=16.0,k*=4.0.分別表示夾雜與基體相比較硬、 較軟、 更軟.

1) 圖2～4為出平面荷載作用在彈性半空間表面即Green函數(shù)G1情況下的數(shù)據(jù)結(jié)果.

圖2　DSCF隨k1的變化Fig.2　Variation of DSCF with k1

圖3　θ=0°處DSCF隨h的變化Fig.3　Variation of DSCF with h at θ=0°

圖4　θ=0°處DSCF隨點源位置的變化Fig.4　Variation of DSCF with the location of the load at θ=0°

2) 圖5～6給出了出平面荷載作用在半空間內(nèi)即Green函數(shù)G2情況下的數(shù)據(jù)結(jié)果.

圖5　DSCF的分布Fig.5　Distribution of DSCF

圖6　θ=0°處DSCF隨h、 h1的變化Fig.6　Variation of DSCF with h and h1 at θ=0°

3) 圖7給出了點源荷載作用在彈性半空間內(nèi)水平地表位移|G2|隨入射波數(shù)k1變化的反應結(jié)果.點源荷載分兩個方向(h=2.0,h1=3.0;h=15.0,h1=15.0)入射.由圖7可直觀地看出, 隨著入射波數(shù)k1的增大, 水平地表位移|G2|的變化曲線呈現(xiàn)出越來越明顯的振蕩的動力學特征.通過圖7(a)～(b)比較可知, 點源荷載作用于同一方向時, 與基體夾雜比為μ*=0.25和k*=0.5的情況相比,μ*=4.0和k*=2.0情況下的|G2|幅值要小的多.點源荷載作用位置的不同也會導致水平地標位移|G2|變化曲線的差異.圖7(a)～(b)分別為點源荷載作用兩個方向時|G2|的變化曲線, 通過比較發(fā)現(xiàn), 點源荷載入射的位置越遠, |G2|的變化曲線就越平緩, 且數(shù)值也越小.

圖7　地表位移|G2|隨k1的變化Fig.7　Variation of|G2| with k1

7　結(jié)論

本研究選取了大量的具體算例, 給出兩個Green函數(shù)情況下橢圓夾雜周邊動應力集中系數(shù)、 水平地表位移的數(shù)據(jù)結(jié)果, 探討了不同參數(shù)下彈性夾雜周邊的動應力集中、 水平地表震動的力學規(guī)律, 得出以下結(jié)論.

3) 本研究所得計算結(jié)果可為地下橢圓夾雜的彈性波動問題提供參考, 以所建立的Green函數(shù)為理論基礎(chǔ), 可進一步研究解決地下復雜結(jié)構(gòu)和裂紋缺陷的動態(tài)響應問題, 拓展至全空間問題模型的研究, 為地下復雜結(jié)構(gòu)的勘探、 無損檢測等領(lǐng)域提供理論參考.