楊樹林

(中國石油大學(xué)勝利學(xué)院 教學(xué)科研處，山東 東營 257061)

斜拉橋在橋梁工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,越來越多地出現(xiàn)在江河之上,但仍有許多問題有待進(jìn)一步探索。例如,斜拉橋常用張緊的鋼索來進(jìn)行承載、運(yùn)輸和牽引等作業(yè),而鋼索在運(yùn)營過程中張力會發(fā)生改變,導(dǎo)致受力不均,從而影響整個斜拉橋的質(zhì)量。因此,對斜拉橋鋼索模型進(jìn)行模擬,確定其主要影響因素,對于工程設(shè)施運(yùn)行的安全和行人的人身安全至關(guān)重要。較之前人對斜拉橋鋼索模型進(jìn)行的研究,筆者從弦振動的基本理論出發(fā)通過建立相應(yīng)的雙曲型偏微分方程初邊值問題的新模型對斜拉橋鋼索問題進(jìn)行深入探討。

1　模型假設(shè)

(1)假設(shè)斜拉橋鋼索的質(zhì)量均勻分布;

(2)假設(shè)斜拉橋鋼索上每一小段只有“橫振動”,即振動發(fā)生在一個平面內(nèi),且各點(diǎn)的運(yùn)動方向垂直于平衡位置;

(3)假設(shè)斜拉橋鋼索振動的幅度及任意點(diǎn)切線的傾角都很小;

(4)假設(shè)斜拉橋鋼索的初始位移方程接近懸鏈線方程[1]。

2　模型建立

考慮到斜拉橋鋼索平衡時沿直線拉緊,除受不隨時間變化的張力和弦本身的重力作用外,不受其它外力影響[2],可得定解問題為

(1)

式中，弦上橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)在時刻t的振動位移為u,斜拉橋鋼索兩端分別固定在x=0及x=l處,q=H/ρg為懸鏈系數(shù),與斜拉橋本身的特質(zhì)有關(guān),H為斜拉橋每一點(diǎn)處張力的水平分量[3]。

3　模型求解

用第n-1層,n層,n+1層的中心差商的加權(quán)平均去逼近uxx,得到逼近微分方程(1)的差分格式如下:

(2)

其中0≤θ≤1為參數(shù)[4]。

(3)

移項(xiàng)整理得

(4)

這是一個三層格式,先將其轉(zhuǎn)化成兩層差分方程組:

(5)

寫成矩陣形式:

(6)

(7)

即

(8)

整理得

(9)

過渡矩陣為

(10)

特征方程為

(11)

方程ρ2-2bρ+1=0的根按模不大于1的充要條件為|b|≤1。

將θ=0代入式(2),則

(12)

該式為顯式格式。此格式具有二階精度,截?cái)嗾`差為:

(13)

階為O(τ2+h2),在時間步長τ和空間步長h都趨于零時,差分方程的截?cái)嗾`差也趨于零, 差分格式(12)是相容的。

通過對穩(wěn)定性、相容性的討論知,差分格式(4)是收斂的,能夠通過該差分格式求得偏微分方程(1)的近似解,對式(4)結(jié)合相應(yīng)的離散化的初邊值條件

(14)

可形成三對角方程組,采用追趕法求解[5]。

4　結(jié)果分析

利用Matlab語言對不同條件下的數(shù)值解進(jìn)行求解[6],令q=100,通過對兩種方案——θ變化,網(wǎng)格比不變;θ不變,網(wǎng)格比改變的運(yùn)行結(jié)果進(jìn)行分析得出在一定范圍內(nèi),當(dāng)網(wǎng)格比不變時,θ越小圖形越平緩,數(shù)值解誤差越小,模擬程度越好;當(dāng)θ不變(即對于同一種差分格式),網(wǎng)格比增大時,數(shù)值解誤差增大,誤差階也增大,模擬度越低。如圖1和2的試驗(yàn)結(jié)果所示。

圖1　θ變化,網(wǎng)格比不變的運(yùn)行結(jié)果

圖2　θ不變,網(wǎng)格比改變的運(yùn)行結(jié)果

5　結(jié)束語

從弦振動的基本理論出發(fā),研究了斜拉橋鋼索問題,在對斜拉橋鋼索進(jìn)行適當(dāng)假設(shè)的基礎(chǔ)上,導(dǎo)出了其不受外力作用時的振動方程,并用分離變量法求出了其滿足定解條件的精確解,討論了固有值λ<0、λ=0和λ>0三種情況下,固有值常微分方程問題的通解。對弦振動方程而言,當(dāng)方程與邊界條件均為齊次時,不管初始條件如何,可直接用分離變量法求解,并運(yùn)用matlab語言對差分方程的數(shù)值解進(jìn)行分析,最后通過將不同條件下的數(shù)值解進(jìn)行比較確定該模型的模擬程度。在一定范圍內(nèi)當(dāng)網(wǎng)格比不變時,θ減小時,數(shù)值解誤差減小;當(dāng)θ不變(即對于同一種差分格式),網(wǎng)格比增大時,數(shù)值解誤差增大,誤差階也增大。該模型為模擬斜拉橋鋼索模型提供了一種較為合理的方法,能夠廣泛應(yīng)用于實(shí)際生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域,如彈性桿的縱振動、管道中氣體小擾動的傳播、空中纜車鋼索問題等,借助于matlab軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合,繪出的圖像能夠更好地驗(yàn)證數(shù)值求解結(jié)果的正確性。