程愛芳， 陸 斌

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

0 引 言

Hirota-Satsuma方程或耦合Korteweg-de Varies方程的形式是：

(1)

方程組式(1)在1981年由Hirota和Satsuma首次提出，用來描述有不同色散關(guān)系的兩個(gè)長波的相互作用。關(guān)于方程組式(1)，已經(jīng)做了大量的研究。變系數(shù)非線性偏微分方程可以被用來描述一些復(fù)雜的現(xiàn)象，因此主要研究廣義變系數(shù)Hirota-Satsuma方程組：

(2)

其中，pi(t)(i=1，2，3)，α(t)和β(t)是關(guān)于t的解析函數(shù)。當(dāng)p1(t)=3，p2(t)=-6，方程組式(2)可以轉(zhuǎn)化成方程組式(1)。

1 等價(jià)變換

主要研究了方程組式(2)的等價(jià)變換。方程組式(2)的等價(jià)變換是增廣空間(t，x，u，v，α，β，p1，p2，p3)上一個(gè)非退化點(diǎn)變換。應(yīng)用微分方程李不變性準(zhǔn)則[1]求解方程組式(2)的等價(jià)變換。在無窮小準(zhǔn)則下，要求延拓方程組不變，其方程組為

ut-p1(t)uux-p2(t)vvx-α(t)uxxx=0

vt-p3(t)uvx-β(t)vxxx=0

(3)

考慮增廣空間(t，x，u，v，α，β，p1，p2，p3)上無窮小生成元的單參數(shù)群的等價(jià)變換：

連續(xù)性等價(jià)變換群的生成元的形式是：

(4)

通過在延拓方程組上應(yīng)用無窮小生成元的三階延拓，可以得到關(guān)于ξ1，ξ2，η1，η2，μ1，μ2，μ3，μ4和μ5的多因素決定的線性微分方程組，通過求解這個(gè)方程組，可知方程組式(2)的等價(jià)代數(shù)Lε是4維李代數(shù)，且有下列一組基：

(5)

2 偏微分方程的李對稱分析

廣義Hirota-Satsuma方程組的對稱群由下列形式的向量生成：

(6)

通過經(jīng)典的李群方法[2，3-5]，在方程組式(2)中應(yīng)用三階延拓，可以得到一個(gè)關(guān)于ξt，ξx，ηu和ηv多因素決定的線性微分方程組。求解這個(gè)微分方程組，得到無窮小元素ξt，ξx，ηu和ηv：

ξt=f(t)=

ξx=c1x+c2

ηu=c4u

ηv=c5v

(7)

其中ci(i=1，…，5)是任意的常數(shù)，且p3(t)是任意的函數(shù)。函數(shù)pi(t)(i=1，2)，α(t)和β(t)有下列關(guān)系：

p1(t)=k1p3(t)

其中k1是任意的常數(shù)。

既然南海問題已經(jīng)成為某些國家視野中的國際議題，那么中國有必要適時(shí)推出中國話語體系下的南海敘事框架，包括歷史背景、現(xiàn)狀、穩(wěn)定機(jī)制和解決方案等。在這方面，中國歷史上的“鄭和模式”就是替代和超越上述意象的重要選項(xiàng)之一。

由于式(7)包含5個(gè)任意的常數(shù)，因此方程組式(2)的無窮小對稱形成了五維李代數(shù)，由下列線性無關(guān)的算子生成：

3 非線性伴隨

守恒定律是非線性科學(xué)中的一個(gè)重要概念，有研究偏微分方程的重要性質(zhì)，例如數(shù)值解法，可積性和線性化，特別是解的存在性，唯一性和穩(wěn)定性分析。微分方程非線性伴隨的性質(zhì)在參考文獻(xiàn)[6-7]中已經(jīng)說明了能夠構(gòu)造大量不同的守恒定律。

考慮廣義變系數(shù)Hirota-Satsuma方程組：

(8)

規(guī)范的拉格朗日形式為

(9)

(10)

其中

而Dt和Dx分別是關(guān)于t和x的全微分。

考慮方程式(9)，關(guān)于方程組式(8)的伴隨方程是：

(11)

(12)

與λi1F1+λi2F2(i=1，2)相同，其中φ(x，t，u，v)≠0或ψ(x，t，u，v)≠0，則方程式(10)是非線性伴隨的。換句話說，如果伴隨方程組滿足下列條件：

(13)

其中λij是未確定的系數(shù)，則方程組式(11)是非線性伴隨的。

λ11=-φu，λ12=-φv，λ21=-ψu(yù)，λ22=-ψv，其中，φ和ψ滿足下列方程組：

解上述方程組，有下列4種情形：

(1) 當(dāng)p3≠0和α(t)≠β(t)時(shí)，

(14)

其中，ci(i=1，2，3)和k是任意的常數(shù)，方程組式(8)滿足p1=-p3，p2=kp3。

(2) 當(dāng)p3≠0和α(t)=β(t)時(shí)，

(15)

其中，ci(i=1，2，3)和k是任意的常數(shù)，方程組式(8)滿足p1=2p3，p2=kp3。

(3) 當(dāng)p3=0和p2≠0時(shí)，

(16)

其中，bi(i=1，2，3)和a是任意的常數(shù)。

(4) 當(dāng)p3=0和p2=0時(shí)，

(17)

4 守恒定律

研究了廣義變系Hirota-Satsuma方程組的守恒定律，用到以下定理。

定理1[6-7]有n個(gè)自變x=(x1，x2，…，xn)和m個(gè)因變量u=(u1，…，um)的s個(gè)方程方程組

Fα(x，u，u1，…，uN)=0，α=1，2，…，s

(18)

的任意無窮小對稱(局部和非局部)有守恒定律Di(Ci)=0，這個(gè)守恒定律公式是：

定理2 根據(jù)方程組式(8)的對稱算子和它規(guī)范的拉格朗日形式，則方程組式(8)的一般的守恒定律DtCt+DxCx=0由下列公式給出：

(19)

其中

Wu=ηu-ξtut-ξxux
Wv=ηv-ξtvt-ξxvx

通過對稱分析的結(jié)果和定理2來計(jì)算方程組式(8)的守恒定律。

根據(jù)經(jīng)典李群的理論[3]，方程組式(8)的對稱可以寫成下列形式：

根據(jù)定理2，有下列情形：

(1) 對于生成元

李的特征函數(shù)是：

可以從式(19)得到方程組式(8)的守恒向量：

α(2c1uxx+c1xuxxx)]+

β(2c1vxx+c1xvxxx)]+

(2) 對于生成元

李的特征函數(shù)是：

Wu=-c2ux
Wv=-c2vx

可以從式(19)得到方程組式(8)的守恒向量：

(3) 對于生成元

李的特征函數(shù)是：

可以從式(19)得到方程組式(8)的守恒向量：

(4) 對于生成元

李的特征函數(shù)是：

可以從式(19)得到方程組式(8)的守恒向量：

(5) 對于生成元

李的特征函數(shù)是：

Wu=0
Wv=c5v

可以從式(19)得到方程組式(8)的守恒向量：

6 結(jié) 論

基于廣義變系數(shù)Hirota-Satsuma方程組的研究，對于理解非線性偏微分方程有了很大幫助。Hirota-Satsuma方程組的等價(jià)變換是增廣空間上的一個(gè)非退化點(diǎn)變換，通過計(jì)算求解出方程組的等價(jià)代數(shù)。利用李經(jīng)典對稱分析法求出Hirota-Satsuma方程組的對稱，并利用Ibragimov相關(guān)理論證明了這個(gè)方程組是非線性伴隨的。最后利用方程組的伴隨方程和Lie對稱求出了方程組的無窮多個(gè)守恒定律，求出的守恒定律對于研究非線性偏微分方程的可積性具有重要意義。

參考文獻(xiàn)(References)：

[1] DE L R，GANDARIAS M L. Equivalence Transformations and Conservation Laws for a Generalized Variable-coefficient Gardner Equation[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2016，40：71-79

[2] SINGH K，GUPTA R.Lie Symmetries and Exact Solutions of A New Generalized Hirota-Satsuma Coupled KdV System with Variable Coefficients[J].International Journal of Engineering Science，2006， 44：241-255

[3] OLVER P J.Application of Lie Group to Differential Equation[M].New York：Sprin-ger，1986

[4] BLUMAN G W，ANCO S C.Symmetry and Integration Methods for Differential Equations[M]. New York：Springer，2002

[5] MALEK M，AMIN A M.Lie Group Method for Solving Generalized Hirota-Satsuma Coupled Korteweg-de Vries(KdV) Equations[J].Applied Mathematics and Computation，2013， 24：501-516

[6] IBRAGIMOV N H.A New Conservation Theorem[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，33：311-328

[7] IBRAGIMOV N H.Nonlinear Self-adjointness and Conservation Laws[J].Journal of Physics A Mathematical & Theoretical，2011，44：4109-4112