吳長(zhǎng)青， 張志田

(湖南大學(xué)土木工程學(xué)院風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心， 湖南 長(zhǎng)沙 410082)

引 言

至今為止，大跨度橋梁的顫振穩(wěn)定性仍以顫振臨界風(fēng)速是否大于顫振檢驗(yàn)風(fēng)速這一標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)，即當(dāng)風(fēng)速大于顫振臨界值時(shí)，橋梁結(jié)構(gòu)的響應(yīng)將會(huì)快速發(fā)展并直至失穩(wěn)破壞。受到這一標(biāo)準(zhǔn)的束縛，橋梁顫振后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與強(qiáng)健性問(wèn)題一直未得到抗風(fēng)設(shè)計(jì)者的廣泛關(guān)注。1940年11月7日，原Tacoma橋在8級(jí)風(fēng)的作用下，發(fā)生了劇烈的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，并在持續(xù)近70 min的大幅振動(dòng)后因部分吊桿被拉斷而最終導(dǎo)致橋面斷裂墜入海灣。顯然，原Tacoma橋經(jīng)歷了顫振失穩(wěn)的過(guò)程，然而當(dāng)前的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)與橋梁抗風(fēng)理論無(wú)法對(duì)此給出合理的解釋。從20世紀(jì)70年代未開(kāi)始，針對(duì)飛機(jī)機(jī)翼斷面的非線性氣彈問(wèn)題展開(kāi)了大量的研究，結(jié)果表明機(jī)翼的顫振失穩(wěn)特征并非發(fā)散，而是表現(xiàn)為明顯的極限環(huán)振動(dòng)(LCO)，且這種特征的振動(dòng)狀態(tài)強(qiáng)烈地依賴于結(jié)構(gòu)的非線性與氣彈非線性[1]。與機(jī)翼類似，橋梁的后顫振也是呈非線性特性的極限環(huán)振動(dòng)問(wèn)題，當(dāng)風(fēng)速超過(guò)顫振臨界值時(shí)，結(jié)構(gòu)的非線性特性與斷面的非線性氣彈特性共同決定了振幅的演變規(guī)律與LCO幅值。因此，要準(zhǔn)確地評(píng)估橋梁的后顫振性能，必須建立一套非線性氣彈穩(wěn)定分析理論。

橋梁的后顫振問(wèn)題是一類非線性氣彈問(wèn)題，涉及結(jié)構(gòu)的幾何非線性、材料非線性以及氣動(dòng)力非線性等，此外，顫振失穩(wěn)是由非定常的氣動(dòng)自激力決定的，因此建立可靠的非線性非定常氣動(dòng)力模型是準(zhǔn)確評(píng)估橋梁結(jié)構(gòu)后顫振性能的關(guān)鍵所在。迄今已有的非線性氣動(dòng)力模型主要是針對(duì)于航空領(lǐng)域中的流線型斷面。描述此類斷面的非線性氣動(dòng)力特性主要有兩大類方法，第一類是直接采用計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的方法，讓氣流與結(jié)構(gòu)的振動(dòng)相耦合[2-4]。這一類方法不引入任何經(jīng)驗(yàn)或者半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其可靠性取決于CFD 算法及湍流模型的可靠性，而且計(jì)算時(shí)間成本巨大。第二類方法是引入半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)描述非線性氣彈效應(yīng)，比較典型的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀蠺ran和Petot提出的ONERA模型[5]，該模型已在直升機(jī)機(jī)翼、風(fēng)力機(jī)葉片的動(dòng)態(tài)失速問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用[6-8]；Leishman和Beddoes也針對(duì)動(dòng)態(tài)失速問(wèn)題提出了一種半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚9]；此外，丹麥Larsen等又提出了另一種專門用于描述大型風(fēng)力機(jī)葉片的非線性氣動(dòng)力問(wèn)題的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚10]。引入半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菫榱丝焖儆行У孛枋鰯嗝娴臍鈩?dòng)力性能，它們強(qiáng)調(diào)的是準(zhǔn)確描述某一具體時(shí)候氣動(dòng)力的變化規(guī)律。流線型斷面在動(dòng)態(tài)失速狀態(tài)下其前后緣渦的形成、發(fā)散、到分離均有良好的規(guī)律，然而橋梁斷面具有明顯的鈍體特性，很難采用機(jī)翼理論中的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)描述其非線性氣彈效應(yīng)。

到目前為止，有關(guān)橋梁非線性氣彈問(wèn)題的研究還處于起步階段。Diana等提出了一個(gè)非線性模型，它是以動(dòng)態(tài)風(fēng)攻角為變量的多項(xiàng)式函數(shù)，該模型可以描述頻率與振幅相關(guān)的非線性效應(yīng)[11]。Wu與Kareem提出了一種基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非參數(shù)模型來(lái)捕捉氣動(dòng)系統(tǒng)的遲滯非線性行為[12]。后來(lái)，Wu與Kareem又提出了采用Volterra理論來(lái)描述非線性氣動(dòng)力效應(yīng)[13]。上述提出的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ途敲枋鼋o定振幅下一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)瞬時(shí)氣動(dòng)力的變化規(guī)律，它們不處理隨運(yùn)動(dòng)振幅演變的氣動(dòng)力特性，然而在后顫振模擬中，準(zhǔn)確地描述隨振幅演變的氣動(dòng)力特性是至關(guān)重要的。

王騎等采用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法提出了一種由不同諧波分量疊加的非線性氣動(dòng)力模型[14]，該模型描述的也是瞬時(shí)氣動(dòng)力隨動(dòng)態(tài)風(fēng)攻角變化的非線性，并不能描述隨振幅演變的氣彈非線性。朱樂(lè)東與高廣中[15]、Zhang與Xu[16]引入非線性顫振導(dǎo)數(shù)來(lái)描述結(jié)構(gòu)后顫振幅值隨時(shí)間的演變規(guī)律，該方法能描述氣動(dòng)自激力隨振幅演變的非線性特性，但前提是要已知結(jié)構(gòu)顫振后的響應(yīng)時(shí)程。劉十一與葛耀君提出了采用附加的非線性微分方程組與附加的氣動(dòng)力自由度的方法來(lái)模擬氣動(dòng)力隨振幅演變的非線性特性以及氣動(dòng)力的記憶效應(yīng)[17]，這種方法不再采用動(dòng)態(tài)攻角的概念，單獨(dú)處理扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的影響，但該法是對(duì)已知結(jié)果進(jìn)行擬合且擬合參數(shù)數(shù)目很多。

在大跨度橋梁抗風(fēng)分析中，通常將平均風(fēng)效應(yīng)、準(zhǔn)定常氣動(dòng)效應(yīng)、非定常氣彈效應(yīng)獨(dú)立求解后再線性疊加[18-19]。然而，各類風(fēng)荷載效應(yīng)隨著風(fēng)速及結(jié)構(gòu)姿態(tài)的變化均呈現(xiàn)出一種非線性性質(zhì)[20-21]。當(dāng)各種非線性效應(yīng)比較顯著時(shí)，疊加原理不再成立，從而需要一體化考慮平均風(fēng)荷載、抖振力荷載及自激力荷載。與頻域法相比，時(shí)域方法可綜合考慮結(jié)構(gòu)的幾何、材料以及部分氣動(dòng)力非線性，因此時(shí)域法是模擬橋梁后顫振性能的必然選擇。然而，在時(shí)域分析中將多種荷載一體化考慮后，會(huì)出現(xiàn)氣動(dòng)彈性模型與平均風(fēng)荷載模型之間的不相容問(wèn)題。

本文采用多階段階躍函數(shù)法來(lái)描述隨振幅演變的非線性氣動(dòng)自激力。每個(gè)階段的階躍函數(shù)均是針對(duì)某一特定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(以振幅表征)下識(shí)別的顫振導(dǎo)數(shù)擬合得到，它可以用來(lái)描述斷面在這一特定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的氣彈特性，如果一系列離散運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的階躍函數(shù)都可獲取，那么隨振幅演變的氣動(dòng)力非線性特性也可近似地確定。運(yùn)動(dòng)幅值的發(fā)展必然存在不同階段階躍函數(shù)間的切換問(wèn)題，然而這種切換可能會(huì)引起結(jié)構(gòu)的非物理瞬態(tài)響應(yīng)，因此，筆者引入平行激勵(lì)的求解策略來(lái)處理這一問(wèn)題。此外，本文提出偽穩(wěn)態(tài)(Pseudo-steady)效應(yīng)分離法來(lái)解決氣動(dòng)自激力模型與平均風(fēng)荷載模型之間不相容的問(wèn)題。

1 線性單階段自激力時(shí)域模型

橋梁斷面的氣動(dòng)自激力通常采用Scanlan提出的時(shí)頻混合模型來(lái)描述，正弦運(yùn)動(dòng)下單位長(zhǎng)度主梁的氣動(dòng)自激升力與升力矩表達(dá)式如下[22]：

(1)

(2)

由于Scanlan自激力模型不能直接用于顫振時(shí)域分析，因此采用階躍函數(shù)法擬合出與Scanlan模型等價(jià)的時(shí)域自激力模型。階躍函數(shù)的概念源于經(jīng)典機(jī)翼理論，用來(lái)描述風(fēng)速或者風(fēng)攻角突然改變時(shí)氣動(dòng)升力的瞬態(tài)演變過(guò)程，其表達(dá)式如下：

(3)

(4)

對(duì)于連續(xù)、任意的結(jié)構(gòu)姿態(tài)變化過(guò)程，單位長(zhǎng)度主梁的氣動(dòng)自激力可寫成如下卷積形式(IF氣動(dòng)自激力模型)：

Lse(s)=Lsea(s)+Lseh(s)=

(5)

Mse(s)=Msea(s)+Mseh(s)=

(6)

(7)

式中axyi與dxyi(x=L，M；y=h，α；i=1，2，3，…)為待識(shí)別的參數(shù)。

分別對(duì)公式(1),(2)與(5),(6)進(jìn)行傅里葉變換，再根據(jù)頻譜相等的原則可以得到顫振導(dǎo)數(shù)與階躍函數(shù)之間的一些等式[23]，比如

(8)

(9)

根據(jù)公式(9)建立的關(guān)系，通過(guò)求解以下函數(shù)的極小值來(lái)獲取階躍函數(shù)的參數(shù)值。

(10)

其余階躍函數(shù)的參數(shù)值也可仿照上述的過(guò)程求得。

2 非線性多階段自激力時(shí)域模型

公式(5)與(6)中涉及的階躍函數(shù)(即公式(7)所示)是基于線性理論提出來(lái)的，它與結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)幅值無(wú)關(guān)，不能體現(xiàn)氣動(dòng)自激力隨振幅演變的非線性特性。對(duì)于后顫振的非線性氣彈問(wèn)題，必須建立非線性的氣動(dòng)自激力模型。為了考慮氣動(dòng)力非線性，本文引入多階段階躍函數(shù)，它不僅是無(wú)量綱時(shí)間的函數(shù)，也是振幅的函數(shù)，表達(dá)式為

(11)

式中Ak(k=1，2，3，…)為第k階振幅(豎向振幅hk或扭轉(zhuǎn)振幅αk)；φxy(s,Ak)(x=L，M；y=h，α)為第k階振幅對(duì)應(yīng)的階躍函數(shù)；其他符號(hào)的意義同前。如果足夠多的離散振幅狀態(tài)對(duì)應(yīng)的階躍函數(shù)均獲得了，那么斷面的非線性氣彈特性也可確定。

在時(shí)域分析中，主梁不同部位的振幅不同，因而其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的階躍函數(shù)也不同。在橋梁某個(gè)斷面達(dá)到LCO狀態(tài)之前，其振幅是不斷演變的，任意時(shí)刻t的振幅可用一組中間振幅狀態(tài)來(lái)表示，如扭轉(zhuǎn)振幅h*或扭轉(zhuǎn)振幅α*

αk≤α*≤αk+1；hm≤h*≤hm+1

(12)

其中：k和k+1分別表示扭轉(zhuǎn)振幅的第k和k+1階，m和m+1表示扭轉(zhuǎn)振幅的第m和m+1階，對(duì)于這樣的中間狀態(tài)，其階躍函數(shù)可通過(guò)線性插值得到:

ηα,kφLα(s,αk)+ηα,k+1φLα(s,αk+1)

(13)

ηα,kφMα(s,αk)+ηα,k+1φMα(s,αk+1)

(14)

ηh,mφLh(s,hm)+ηh,m+1φLh(s,hm+1)

(15)

ηh,mφMh(s,hm)+ηh,m+1φMh(s,hm+1)

(16)

中間狀態(tài)對(duì)應(yīng)的氣動(dòng)自激力表達(dá)式如下：

Lse(s,α*,h*)=ηα,kLseα(s,αk)+

ηα,k+1Lseα(s,αk+1)+ηh,mLseh(s,hm)+

ηh,m+1Lseh(s,hm+1)

(17)

Mse(s,α*,h*)=ηα,kMseα(s,αk)+

ηα,k+1Mseα(s,αk+1)+ηh,mMseh(s,hm)+ηh,m+1Mseh(s,hm+1)

(18)

在時(shí)域分析中，突然切換一組新的階躍函數(shù)參與計(jì)算時(shí)可能會(huì)引起非物理的瞬態(tài)響應(yīng)，如圖1所示。這種瞬態(tài)現(xiàn)象取決于識(shí)別的階躍函數(shù)，如采用階躍函數(shù)描述正弦運(yùn)動(dòng)引起的自激力時(shí)程時(shí)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)的正弦形式的自激力之前，往往需要經(jīng)過(guò)一個(gè)瞬態(tài)演變的過(guò)程，如圖2所示。然而這一瞬態(tài)過(guò)程只是階躍函數(shù)的擬合過(guò)程所引起的附帶現(xiàn)象，并沒(méi)有明顯的物理意義[24]。

圖1 不同階段階躍函數(shù)之間突然切換時(shí)引起的非物理的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.1 Non-physical transient responses induced by sudden switching to a new group of indicial functions

圖2 單位正弦豎向運(yùn)動(dòng)引起的自激升力LsehFig.2 An example of lift Lseh due to unit sinusoidal vertical motion

為了避免上述可能出現(xiàn)的非物理瞬態(tài)響應(yīng)，本文引入平行激勵(lì)的求解策略，具體思路如下：對(duì)于時(shí)域分析的任意時(shí)刻，同時(shí)采用所有階段的階躍函數(shù)分別獨(dú)立地計(jì)算它們對(duì)應(yīng)的每個(gè)斷面的自激力作為備用；然后根據(jù)公式(12)確定每個(gè)斷面所處的中間振幅狀態(tài)；最后，每個(gè)斷面的自激力可通過(guò)對(duì)某相鄰的兩組自激力進(jìn)行線性插值確定，如公式(17)與(18)所示。這種平滑處理的方法成功地消除了非物理的瞬態(tài)響應(yīng)現(xiàn)象。圖3直觀地展示了此求解思路的具體過(guò)程。

圖3 采用多階段階躍函數(shù)確定各斷面的非線性氣動(dòng)自激力的流程圖Fig.3 Flow chart for determination of nonlinear aerodynamic self-excited loads by multi-stage indicial functions

3 氣動(dòng)力的一體化與兼容性

3.1 平均風(fēng)荷載

一般地，單位長(zhǎng)度主梁的平均阻力、升力與升力矩采用靜力三分力系數(shù)來(lái)表達(dá)：

(19)

(20)

(21)

(22)

平均風(fēng)荷載是風(fēng)攻角的非線性函數(shù)。借助泰勒展開(kāi)式將三分力在初始風(fēng)攻角位置展開(kāi)成如下表達(dá)式：

(23)

(24)

(25)

3.2 時(shí)域氣動(dòng)自激力的平均特性

若結(jié)構(gòu)處于一個(gè)穩(wěn)態(tài)的隨機(jī)振動(dòng)過(guò)程，它的總響應(yīng)可以寫成平均響應(yīng)與脈動(dòng)響應(yīng)兩部分之和：

(26)

(27)

(28)

IF氣動(dòng)自激力模型的平均值可通過(guò)對(duì)公式(5)和(6)所示的自激力時(shí)域表達(dá)式求數(shù)學(xué)期望獲得，過(guò)程如下：

(29)

(30)

(31)

(32)

式中 E表示求數(shù)學(xué)期望。上述的4個(gè)數(shù)學(xué)期望具有明顯的物理意義，它們分別代表平均扭轉(zhuǎn)響應(yīng)與平均豎向響應(yīng)引起的氣動(dòng)自激力部分。由公式(29)至(32)發(fā)現(xiàn)，IF自激力模型平均值正好與公式(24)與(25)等號(hào)右邊的第二項(xiàng)即斷面扭轉(zhuǎn)引起的平均風(fēng)荷載的一階項(xiàng)完全相等。因此，在時(shí)域分析中，當(dāng)平均風(fēng)荷載與氣動(dòng)自激力同時(shí)考慮時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)部分風(fēng)荷載的重復(fù)計(jì)算。下節(jié)將引入偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法解決這一問(wèn)題。

3.3 偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法

由于IF自激力模型不能反映平均風(fēng)荷載的非線性特性，因此可從IF自激力模型中扣除其平均值來(lái)解決了部分氣動(dòng)力被重復(fù)考慮的問(wèn)題，再單獨(dú)處理平均風(fēng)荷載的非線性，即利用公式(19)～(21)逐步計(jì)算平均風(fēng)荷載，且在每一時(shí)間步，根據(jù)斷面扭轉(zhuǎn)角來(lái)修正其值[25]。

然而從IF自激力模型中扣除其平均值面臨兩大困難：一方面，結(jié)構(gòu)的平均響應(yīng)事先未知；另一方面，即便結(jié)構(gòu)的平均響應(yīng)已知，但從自激力模型中突然扣除結(jié)構(gòu)平均響應(yīng)引起的氣動(dòng)力將會(huì)導(dǎo)致強(qiáng)烈的瞬態(tài)響應(yīng)。鑒此，本文引入偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的概念，定義如下：

(33)

(34)

(35)

由此可見(jiàn)，偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨著時(shí)間的推移最終收斂于結(jié)構(gòu)的平均穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

根據(jù)其極限特性，可以得到如下等式：

(36)

(37)

(38)

(39)

式中

(40)

(41)

其中

(42)

式中Lb(x,s)與Mb(x,s)分別為隨時(shí)間變化的抖振升力與升力矩，其表達(dá)式如下：

(43)

(44)

式中u(x,t)與w(x,t)分別為順風(fēng)向與豎風(fēng)向脈動(dòng)風(fēng)速。公式(40)與(41)右邊的第三項(xiàng)即為扣除的偽穩(wěn)態(tài)氣動(dòng)自激力。需要說(shuō)明的是，本文暫不考慮抖振力的作用。

為了驗(yàn)證偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法的可行性與正確性，以某大跨懸索橋?yàn)槔捎萌N荷載模式來(lái)考察主梁中點(diǎn)的階躍響應(yīng)。三種荷載工況具體描述如表1所示，其中模式M2與模式M3的唯一差異在于后者從IF自激力模型中扣除了偽穩(wěn)態(tài)自激力而前者未扣除。

表1 荷載模式描述

需要強(qiáng)調(diào)的是，無(wú)論氣彈效應(yīng)考慮與否，結(jié)構(gòu)的階躍響應(yīng)都應(yīng)該逐漸收斂于一個(gè)相同的穩(wěn)態(tài)值。換言之，氣彈效應(yīng)不會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)最終的靜力平衡位置或者平均結(jié)構(gòu)響應(yīng)產(chǎn)生任何影響。圖4給出了三種荷載模式下主梁中點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)程。由圖可知，荷載模式M1與和荷載模式M3所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)逐漸收斂于真實(shí)的靜平衡位置，而荷載模式M2最終收斂于一個(gè)錯(cuò)誤的平衡位置，由此證明了偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法可以有效的解決部分氣動(dòng)荷載被重復(fù)考慮的問(wèn)題。

圖4 平均風(fēng)荷載的階躍響應(yīng)Fig.4 Step response to mean wind loads

4 數(shù)值算例

4.1 有限元模型與氣動(dòng)參數(shù)

為了驗(yàn)證本文提出的后顫振時(shí)域分析方法與求解策略的可行性，以一薄平板結(jié)構(gòu)為數(shù)值算例。模型的參數(shù)如下：平板長(zhǎng)度為4 m，寬度為0.30 m，每延米的質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩分別為11.25 kg/m和0.2828 kg·m2/m，模型具有豎向與扭轉(zhuǎn)雙自由度。采用ANSYS有限元軟件建模，其中平板與橫梁采用beam4單元模擬，彈簧支架采用link8單元模擬，質(zhì)量慣性矩采用mass21單元模擬，有限元模型如圖5所示。

顫振導(dǎo)數(shù)采用Noda等學(xué)者所做的寬厚比B/D等于150的矩形斷面的風(fēng)洞試驗(yàn)成果[26]?；陬澱駥?dǎo)數(shù)，按照第1節(jié)的方法分別識(shí)別得到不同階段振幅狀態(tài)對(duì)應(yīng)的階躍函數(shù)，擬合參數(shù)di(i=1～3)的取值范圍設(shè)定為區(qū)間(0,2.1]。表2給出了不同振幅對(duì)應(yīng)的階躍函數(shù)參數(shù)值，圖6則為根據(jù)階躍函數(shù)反算的顫振導(dǎo)數(shù)值。

圖5 薄平板有限元模型Fig.5 FE model of a thin plate

在顫振時(shí)域分析中，結(jié)構(gòu)的阻尼效應(yīng)采用瑞利阻尼模型模擬，即將結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣表達(dá)成質(zhì)量矩陣與剛度矩陣的線性組合，其表達(dá)式為

C=aM+bK

(45)

式中C，M與K分別為結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣、質(zhì)量矩陣與剛度矩陣；a與b分別為瑞利阻尼系數(shù)。

因結(jié)構(gòu)變形引起結(jié)構(gòu)剛度改變的一類問(wèn)題都屬于幾何非線性問(wèn)題。已有研究表明風(fēng)洞試驗(yàn)中的彈性懸掛節(jié)段模型體系具有明顯的非線性剛度特性[27]。

表2 不同振幅對(duì)應(yīng)的階躍函數(shù)參數(shù)值

圖6 根據(jù)識(shí)別的階躍函數(shù)反算的顫振導(dǎo)數(shù)Fig.6 Flutter derivatives re-obtained from the identified indicial functions

在ANSYS瞬態(tài)分析中，可通過(guò)打開(kāi)大變形開(kāi)關(guān)(即設(shè)置NLGEOM,ON)來(lái)考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性效應(yīng)。表3與4分別列出了顫振時(shí)域分析的主要計(jì)算參數(shù)與工況描述。

表3 顫振時(shí)域分析的計(jì)算參數(shù)

Tab.3 Calculation parameters of flutter time-domain analysis

參數(shù)數(shù)值結(jié)構(gòu)阻尼模型瑞利阻尼瑞利阻尼系數(shù)a=0.01177,b=0.00202積分方法Newmark-β法正對(duì)稱豎彎、扭轉(zhuǎn)基頻/Hz1.9274,3.0249 豎彎、扭轉(zhuǎn)振型阻尼比均取0.005時(shí)間步長(zhǎng)/s0.01 風(fēng)速攻角/(°)0

表4 時(shí)域分析的工況描述

Tab.4 Descriptions of calculation cases of time-domain analysis

工況幾何非線性氣彈非線性平均風(fēng)效應(yīng)L-L-EX不包含不包含不包含N-L-EX包含不包含不包含N-N-EX包含包含不包含N-L-IN包含不包括包含N-N-IN包含包含包含

4.2 顫振時(shí)域分析與結(jié)果討論

4.2.1 顫振臨界風(fēng)速

采用ANSYS軟件分別求解了表4所列的5種工況對(duì)應(yīng)的平板顫振臨界風(fēng)速值，如圖7所示。由此得出兩點(diǎn)結(jié)論：(1)對(duì)比L-L-EX，N-L-EX與N-N-EX三種工況可知，結(jié)構(gòu)的幾何非線性幾乎不影響線性模型對(duì)應(yīng)的顫振臨界風(fēng)速，然而氣彈非線性效應(yīng)在一定程度上降低了顫振臨界風(fēng)速，這表明在顫振臨界狀態(tài)下，雖然平板振動(dòng)體系的幾何非線性微乎其微，但已呈現(xiàn)出了一定的氣彈非線性效應(yīng)。(2)對(duì)比N-L-EX工況與N-L-IN工況可知，在氣彈模型中計(jì)入平均風(fēng)效應(yīng)后，顫振臨界風(fēng)速?gòu)?.392 m/s降至6.75 m/s，由此可見(jiàn)，在顫振分析中不考慮平均風(fēng)荷載將會(huì)明顯高估結(jié)構(gòu)的顫振穩(wěn)定性能。因此，一體化考慮平均風(fēng)效應(yīng)與氣彈效應(yīng)是顫振及后顫振時(shí)域分析的必然趨勢(shì)。

圖7 顫振臨界風(fēng)速Fig.7 Critical wind speeds of flutter

4.2.2 后顫振LCO特性

圖8給出了5種工況對(duì)應(yīng)的顫振扭轉(zhuǎn)響應(yīng)時(shí)程曲線。由圖可得到如下結(jié)論：對(duì)于線性模型(工況L-L-EX)，當(dāng)風(fēng)速超過(guò)臨界值時(shí)，扭轉(zhuǎn)響應(yīng)呈指數(shù)式增長(zhǎng)，即線性理論揭示的典型顫振發(fā)散現(xiàn)象，如圖8(a)所示，這種現(xiàn)象顯然是不符合工程實(shí)際的；當(dāng)僅考慮幾何非線性時(shí)(工況N-L-EX)，后顫振響應(yīng)最終演變成具有穩(wěn)定幅值的LCO狀態(tài)，如圖8(b)所示，這與航空領(lǐng)域揭示的平板幾何非線性可導(dǎo)致LCO的結(jié)論是一致的[6]。當(dāng)同時(shí)考慮幾何與氣彈非線性時(shí)(工況N-N-EX)，后顫振LCO的幅值相比同風(fēng)速下工況N-L-EX對(duì)應(yīng)的幅值大得多，而且達(dá)到LCO狀態(tài)所需的時(shí)間大大縮短，如圖8(c)所示，即表明氣彈非線性效應(yīng)可顯著地影響后顫振極限環(huán)特性(如LCO幅值、演變過(guò)程等)。當(dāng)一體化考慮平均與氣彈風(fēng)效應(yīng)時(shí)(工況N-L-IN與N-N-IN)，平板在較低風(fēng)速時(shí)就呈現(xiàn)了穩(wěn)定幅值的LCO現(xiàn)象，且LCO的發(fā)展速度很快，如圖8(d)及(e)所示。圖9表明了平板達(dá)到LCO狀態(tài)所需的時(shí)間隨著風(fēng)速的增加而減少；此外，在同一風(fēng)速下，工況N-N-IN所需的時(shí)間比工況N-L-IN的有所縮短。

圖8 平板的扭轉(zhuǎn)響應(yīng)時(shí)程曲線Fig.8 Time histories of rotation of the plate

圖9 結(jié)構(gòu)達(dá)到LCO狀態(tài)所需的時(shí)間Fig.9 The time required for the plate reaching LCO

圖10 LCO幅值隨風(fēng)速的變化曲線Fig.10 LCO amplitudes versus wind speeds

綜上可知，當(dāng)考慮非線性效應(yīng)后，結(jié)構(gòu)的后顫振響應(yīng)表現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)的LCO狀態(tài)，且LCO的幅值與演變規(guī)律與振動(dòng)體系的非線性強(qiáng)弱緊密相關(guān)，此外平均風(fēng)效應(yīng)可顯著地降低結(jié)構(gòu)的顫振臨界風(fēng)速，使結(jié)構(gòu)提前且更為快速地進(jìn)入后顫振LCO狀態(tài)。

圖10給出了平板的后顫振LCO幅值隨風(fēng)速的變化曲線。由圖可知，豎向與扭轉(zhuǎn)LCO的幅值均隨著風(fēng)速的增加而增加,但幅值遞增的規(guī)律與振動(dòng)體系的非線性特性及是否考慮平均風(fēng)效應(yīng)緊密相關(guān)。由圖10得出了如下兩點(diǎn)結(jié)論：(1)在同一風(fēng)速下，對(duì)于同時(shí)考慮幾何及氣彈非線性的情形(如工況N-N-EX或N-N-IN)，其對(duì)應(yīng)的LCO幅值比只考慮幾何非線性的情形(如工況N-L-EX或N-L-IN)要大；(2)對(duì)于考慮平均風(fēng)效應(yīng)的情形(工況N-L-IN與N-N-IN)，雖然顫振臨界風(fēng)速有所降低，然而后顫振LCO幅值隨風(fēng)速的增長(zhǎng)速率相比未考慮平均風(fēng)效應(yīng)的情形(工況N-L-EX與N-N-EX)要緩一些，且呈現(xiàn)近似線性增長(zhǎng)的趨勢(shì)。

斷面的非線性氣彈效應(yīng)與結(jié)構(gòu)的非線性特性決定了后顫振振幅的演變過(guò)程與LCO的幅值，因此不同的氣動(dòng)外形與結(jié)構(gòu)體系，其表現(xiàn)的后顫振性能也不同。結(jié)構(gòu)的后顫振LCO幅值確定后，可以得到各構(gòu)件的內(nèi)力與應(yīng)力幅值，再結(jié)合材料非線性及疲勞特性，可判斷各構(gòu)件是否出現(xiàn)強(qiáng)度破壞或者達(dá)到疲勞破壞的振動(dòng)持續(xù)時(shí)間，從而找到結(jié)構(gòu)在后顫振過(guò)程中的薄弱環(huán)節(jié)，為從設(shè)計(jì)角度上提高結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)強(qiáng)健性提供依據(jù)。

5 結(jié) 論

本文實(shí)現(xiàn)了一體化考慮平均風(fēng)與氣彈效應(yīng)的非線性后顫振時(shí)域算法，通過(guò)理論分析與數(shù)值計(jì)算，得出以下結(jié)論：

(1)多階段階躍函數(shù)(Multi-stage IFs)可以描述結(jié)構(gòu)斷面的氣彈非線性特性。通過(guò)對(duì)離散的多階段階躍函數(shù)進(jìn)行線性插值可以模擬連續(xù)的幅值相關(guān)的非線性氣彈特性。

(2)采用偽穩(wěn)態(tài)自激力分離法從IF氣動(dòng)自激力模型中扣除了平均扭轉(zhuǎn)響應(yīng)引起的自激力部分，解決了一體化考慮平均風(fēng)荷載與氣動(dòng)自激力所引起的部分氣動(dòng)力被重復(fù)計(jì)入的問(wèn)題，同時(shí)也保留了平均風(fēng)荷載的非線性特性。

(3)數(shù)值計(jì)算表明，后顫振LCO特性與振動(dòng)體系的非線性特性密切相關(guān)。與只考慮幾何非線性的情形相比，氣彈非線性顯著地改變了后顫振幅值演變過(guò)程與LCO的幅值；此外，在顫振分析中，平均風(fēng)荷載的計(jì)入明顯地降低了結(jié)構(gòu)的顫振臨界風(fēng)速值，也顯著地改變了結(jié)構(gòu)的后顫振LCO特性。

(4)與線性理論揭示的顫振發(fā)散相比，非線性分析揭示的后顫振LCO幅值受限，可以通過(guò)選取良好的氣動(dòng)外形來(lái)降低結(jié)構(gòu)的LCO的幅值以及提高結(jié)構(gòu)的抗疲勞性能，從而增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)健性，以此來(lái)保證結(jié)構(gòu)在有限的振動(dòng)時(shí)間內(nèi)不發(fā)生致命的破壞。

本文為大跨度橋梁結(jié)構(gòu)的非線性后顫振分析提供了理論基礎(chǔ)與求解思路。如果橋梁斷面在一系列由小到大的離散振幅下的顫振導(dǎo)數(shù)均得到了，那么可采取本文方法進(jìn)行后顫振分析，確定其后顫振極限環(huán)特性，并可進(jìn)一步考慮結(jié)構(gòu)的材料非線性、疲勞特性以及構(gòu)件的薄弱環(huán)節(jié)等強(qiáng)健性因素來(lái)評(píng)估LCO狀態(tài)下橋梁結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性。

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