朱霖龍，劉雅文

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710021)

0 引言

齒輪傳動是工程建筑機(jī)械中普遍采用的傳動方式，它具有效率高，結(jié)構(gòu)緊湊，工作可靠，壽命長，承載能力大，傳動比穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)[1]，因此在一些重載機(jī)械上廣泛使用。但是齒輪傳動也具有一些缺點(diǎn)，例如質(zhì)量過大，使得機(jī)械傳動部分顯得笨重[2-3]。為了解決齒輪傳動質(zhì)量過大的問題，不能僅在齒輪材料和處理工藝上改進(jìn)，還應(yīng)從設(shè)計(jì)方法上進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)出更合理的齒輪。

輕量化是對零部件在滿足使用要求的情況下，盡可能地輕[4]。輕量化是先進(jìn)機(jī)械裝置的特點(diǎn)之一。輕量化可以提高傳動效率，減小傳動慣性，加速性能和制動性能好。

傳統(tǒng)齒輪設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)是將輪齒假設(shè)為一懸臂梁。以懸臂梁的強(qiáng)度代替齒輪的輪齒強(qiáng)度。這種方法計(jì)算較為簡單，可以滿足精度要求以及強(qiáng)度要求。但是設(shè)計(jì)得到齒輪強(qiáng)度過于富足，導(dǎo)致齒輪的質(zhì)量偏大，不利于設(shè)備輕量化[5]。

還有設(shè)計(jì)方法采用全生命周期三維建模分析完成，基于大量的正交試驗(yàn)和高精度有限元分析。這種方法設(shè)計(jì)精度高，可以兼顧強(qiáng)度和輕量化。但是這種方法設(shè)計(jì)周期長，需要大量人員和大型計(jì)算設(shè)備完成，成本過高，推廣難度大[6]。

本文從實(shí)際案例出發(fā)，探討利用三維有限元分析軟件與傳統(tǒng)計(jì)算方法結(jié)合，以計(jì)算結(jié)果為藍(lán)本，保證設(shè)計(jì)參數(shù)滿足工況。利用有限元分析軟件重復(fù)校驗(yàn)，修正齒輪齒寬，以達(dá)到滿足傳動要求下的設(shè)備輕量化。

1 傳動齒輪設(shè)計(jì)

齒輪設(shè)計(jì)時(shí)通常只按保證齒根彎曲疲勞強(qiáng)度及保證齒面接觸疲勞強(qiáng)度兩準(zhǔn)則進(jìn)行計(jì)算，對其他失效形式不進(jìn)行計(jì)算，但應(yīng)采取相應(yīng)措施避免這些失效的發(fā)生[3]。

1.1 實(shí)例傳動參數(shù)

有一二級減速傳動，第一級為直聯(lián)電機(jī)擺線減速器，第二級為齒輪減速，由大齒輪輸出。傳動參數(shù)如表1。

表1 減速傳動參數(shù)表

1.2 齒輪計(jì)算結(jié)果

計(jì)算齒輪參數(shù)如表2。計(jì)算過程本文不作探討，詳細(xì)可以參考《機(jī)械設(shè)計(jì)》和《機(jī)械設(shè)計(jì)手冊》。

表2 傳統(tǒng)計(jì)算方法設(shè)計(jì)的齒輪參數(shù)

對于模數(shù)和齒數(shù)一定的齒輪，齒寬只影響輪齒的齒面面積和齒根截面面積。

對于重載低速齒輪，齒根的強(qiáng)度是決定齒輪壽命的最重要參數(shù)，而模數(shù)和齒寬直接影響著齒根的強(qiáng)度。本文將通過一個(gè)實(shí)例分析齒寬對于低速重載齒輪的影響，并對齒寬進(jìn)行優(yōu)化。

2 齒輪單個(gè)輪齒受力分析

電機(jī)輸出的轉(zhuǎn)矩通過減速器減速增扭，然后作用到傳動齒輪的齒輪副接觸線上，從而對齒輪加載。轉(zhuǎn)矩?fù)Q算成作用力作用在齒輪副的接觸線位置，其極限情況是力作用在齒頂位置，如圖1。

圖1 單個(gè)輪齒受力極限情況

計(jì)算力單齒受力F：

(1)

T=FD÷2

(2)

式中：T表示作用在齒輪上的力矩；P表示輸入功率；n表示電機(jī)轉(zhuǎn)速；D表示齒輪分度圓直徑。

(3)

為了保證分析具有可靠性，選取安全系數(shù)S=1.25。

FS=F×S=99 148.6 N≈100 000N

(4)

式中：FS表示安全放大后作用力；S表示安全系數(shù)。

3 齒根抗彎強(qiáng)度有限元分析

3.1 根據(jù)幾何參數(shù)建立Pro/E模型

對齒輪進(jìn)行有限元分析，首先需要建立齒輪的三維模型。ANSYS和Pro/E都具有建模與分析功能，但是相比之下，Pro/E的齒輪參數(shù)化建模步驟更簡單，模型更精準(zhǔn)，尤其是漸開線的繪制更為準(zhǔn)確[7-8]。故這里采用Pro/E建模，Pro/E和ANSYS共同分析、相互驗(yàn)證的方法。

為了提高計(jì)算效率，對于單個(gè)輪齒的齒根抗彎強(qiáng)度有限元分析而言，應(yīng)將齒輪模型進(jìn)行簡化[9]，取3個(gè)相鄰的輪齒進(jìn)行分析即可。

3.2 利用ANSYS對齒輪模型進(jìn)行齒根抗彎強(qiáng)度分析

將模型導(dǎo)入ANSYS并進(jìn)行預(yù)處理及網(wǎng)格劃分。模型采用solid 20node95結(jié)構(gòu)，材料選用40 Cr，楊氏模量為2.06E11Pa，泊松比為0.3[10]。

對劃分網(wǎng)格后的模型進(jìn)行自由度的限制與載荷的施加。由于只分析齒根抗彎強(qiáng)度，可以認(rèn)為是對輪齒根部強(qiáng)度的靜強(qiáng)度分析，這里對輪齒的位移進(jìn)行了限制。加載方式如圖2，采用在齒頂節(jié)點(diǎn)加載的方式。

圖2 ANSYS輪齒加載

載荷及約束定義完成后，進(jìn)行齒根抗彎強(qiáng)度分析。應(yīng)力分析輸出結(jié)果如圖3。

圖3 ANSYS分析應(yīng)力分布圖

通過圖3可以看出，齒根受到的應(yīng)力在色譜上為第二級，約為165 MPa，這個(gè)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于40 Cr的抗彎強(qiáng)度極限(抗彎強(qiáng)度實(shí)際為材料的抗拉壓強(qiáng)度，彎曲內(nèi)側(cè)的抗壓強(qiáng)度與彎曲外側(cè)的抗拉強(qiáng)度決定試件的抗彎強(qiáng)度，40 Cr的抗拉強(qiáng)度為980 MPa，抗壓強(qiáng)度要高于抗拉強(qiáng)度)，說明輪齒抗彎強(qiáng)度富足。圖4為模型形變圖譜。

圖4 ANSYS分析形變分布圖

3.3 利用Pro/E的Mechanica對模型進(jìn)行齒根抗彎強(qiáng)度分析

為了檢驗(yàn)上述ANSYS仿真結(jié)果的可靠性，利用Pro/E的Mechanica有限元仿真分析功能，對該模型再次進(jìn)行仿真分析。Pro/E的仿真過程中施加力的載荷，可以像ANSYS中采用一排節(jié)點(diǎn)受力模擬線載荷，也可以采用其他載荷方式。為了更有效驗(yàn)證分析結(jié)果，Pro/E仿真采用與ANSYS線加載不同，改為在齒面施加壓強(qiáng)的加載模式。載荷和加載如圖5，分析結(jié)果如圖6。

圖5 Pro/E中對于模型的約束與加載

圖6 Pro/E分析應(yīng)力分布圖

從圖6可以看出，齒根處受到的應(yīng)力最大，約為168.9MPa，與ANSYS分析的結(jié)果相仿。說明分析結(jié)果具有一定可信度。

4 齒根彎曲疲勞有限元分析

4.1 利用ANSYS對模型進(jìn)行齒根彎曲疲勞分析

對于重載低速的齒輪設(shè)計(jì)，既要考慮齒根抗彎強(qiáng)度，還應(yīng)該考慮齒根彎曲疲勞強(qiáng)度問題。

根據(jù)上述對于齒根抗彎強(qiáng)度分析的結(jié)果，將該齒輪的齒寬尺寸減小到120mm(材料用量減小15%以上)，在新的模型基礎(chǔ)上利用ANSYS的再處理對齒寬尺寸優(yōu)化后的齒輪進(jìn)行疲勞強(qiáng)度分析。利用ANSYS分析單個(gè)輪齒的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度，最終輸出結(jié)果以安全系數(shù)的倒數(shù)形式輸出，即設(shè)計(jì)循環(huán)次數(shù)與許可循環(huán)次數(shù)的比值形式輸出。

對單個(gè)輪齒的齒根彎曲疲勞強(qiáng)度進(jìn)行分析，可以將模型再次簡化為一個(gè)簡單懸臂梁的形式，如圖7。

圖7 利用ANSYS分析齒根疲勞強(qiáng)度新輪齒模型/特征節(jié)點(diǎn)所在位置

預(yù)計(jì)使用壽命定位5年，一年按照300個(gè)工作日，一個(gè)工作日8h?？梢杂?jì)算出齒輪單個(gè)輪齒的受力次數(shù)為：

N=5×300×8×60×12=8 640 000次

(5)

單個(gè)輪齒加載方式與前文分析齒根抗彎強(qiáng)度無異，僅在后處理中增加對疲勞強(qiáng)度的分析。再處理的時(shí)候需要知道齒輪材料40 Cr的疲勞曲線(S-N曲線)，利用40 Cr的S-N曲線圖選取數(shù)組特征循環(huán)-應(yīng)力值在ANSYS中建立S-N表[11]。

在齒根處選取一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為特征點(diǎn)進(jìn)行疲勞分析。所選取的節(jié)點(diǎn)位置如圖7，圖示節(jié)點(diǎn)所在位置位于齒根彎曲應(yīng)力最大處(參考圖6)。ANSYS分析結(jié)果如圖8。

圖8 ANSYS齒根疲勞強(qiáng)度分析結(jié)果

從ANSYS的分析結(jié)果可以看出，許用循環(huán)次數(shù)高達(dá)一兆次，遠(yuǎn)大于設(shè)計(jì)壽命，安全系數(shù)極大，說明齒寬優(yōu)化后的齒輪仍可以保證良好的抗齒根彎曲疲勞強(qiáng)度的特性。

4.2 利用Pro/E的Mechanica對模型進(jìn)行疲勞分析

在Pro/E的疲勞強(qiáng)度有限元分析中，需要指出的是，因?yàn)樵谑┘虞d荷的時(shí)候已經(jīng)將載荷作安全放大，并且單個(gè)齒輪輪齒并非受到高速循環(huán)載荷，故這里的失效強(qiáng)度衰弱因子取1.2即可滿足分析要求。材料的失效準(zhǔn)則按照最大剪應(yīng)力失效準(zhǔn)則(Tresca)，疲勞按照材料統(tǒng)一法則(UML)，表面光潔度按照氮化處理級別。

Pro/E-Mechanica功能的疲勞分析結(jié)果可以有多種形式的輸出，以下給出2種不同的分析結(jié)果輸出形式。

分析結(jié)果按照日志破壞輸出如圖9。

圖9 模型齒輪日志破壞

日志破壞表示循環(huán)了相應(yīng)次數(shù)后，對于不同圖譜區(qū)域的破壞程度，以百分?jǐn)?shù)的指數(shù)形式輸出，破壞最嚴(yán)重的區(qū)域?yàn)榈谝患壣钌珗D譜區(qū)，破壞比例也僅有不到1%。

分析結(jié)果按照壽命置信度輸出如圖10。

圖10 模型齒輪的壽命置信度

置信度輸出就是該區(qū)域的所能經(jīng)受設(shè)計(jì)循環(huán)次數(shù)的能力的置信度。置信度值越大表示對應(yīng)圖譜區(qū)域在循環(huán)設(shè)計(jì)循環(huán)次數(shù)后依然安全的可能性越大。從結(jié)果可以看出，即使按照極限加載情況循環(huán)8 640 000次后，齒根處仍然處于安全工作狀態(tài)的可靠性約為2，即是安全的。

從分析結(jié)果可以看出，齒根處疲勞壽命高于設(shè)計(jì)應(yīng)力循環(huán)次數(shù)8 640 000次，實(shí)際齒根疲勞強(qiáng)度高于預(yù)計(jì)的疲勞強(qiáng)度，說明齒根的彎曲疲勞強(qiáng)度滿足使用年限要求。

5 結(jié)語

根據(jù)以上分析可知，傳統(tǒng)的齒輪設(shè)計(jì)方法雖然在設(shè)計(jì)過程中計(jì)算較為簡單，但是設(shè)計(jì)出的齒輪可靠性過高，尤其對于重載低速齒輪，傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)出的齒輪的整體強(qiáng)度過于富足，不僅浪費(fèi)了材料，增加了傳動系統(tǒng)所占空間及質(zhì)量，也增加了啟動慣性能耗。就本文中的重載低速齒輪實(shí)例可以看出齒輪齒寬優(yōu)化后齒輪材料至少可以減去原所需材料的15%，意味著齒寬的減小可以使傳動整體的總質(zhì)量和所占空間均減小，可以使得整體傳動機(jī)構(gòu)的軸向尺寸縮小，以減小傳動部分所占用空間，減輕傳動裝置的總質(zhì)量以及殼體質(zhì)量，不僅可以節(jié)約制造成本還可以有效減少傳動機(jī)構(gòu)的慣性能量消耗。

從設(shè)計(jì)方法而言，計(jì)算流程和仿真流程容易實(shí)現(xiàn)。按照傳統(tǒng)方法計(jì)算出強(qiáng)度富足的齒輪，在齒寬尺寸基礎(chǔ)上利用ANSYS或者Pro/E等仿真軟件進(jìn)行齒輪參數(shù)的再優(yōu)化設(shè)計(jì)，削減齒寬降低質(zhì)量，同時(shí)兼顧設(shè)計(jì)強(qiáng)度需求，保證正常工作和充足使用壽命的基礎(chǔ)上達(dá)到結(jié)構(gòu)小型化、輕量化，實(shí)現(xiàn)節(jié)約成本和能源的要求。

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