宋煜陽

【摘 要】三角形的面積公式推導(dǎo)是化歸思想的深化。教學(xué)中，基于學(xué)生前測中三類三角形面積公式自我探索經(jīng)驗(yàn)水平，采用“在直角三角形中梳理發(fā)現(xiàn)，提煉方法，形成推導(dǎo)路徑”“在銳角三角形中自主遷移，整體推進(jìn)，解釋說明公式”“在鈍角三角形中想象類推，主導(dǎo)倍拼，補(bǔ)充說明剪拼”的探索路徑，實(shí)現(xiàn)面積公式起于直角三角形、成于銳角（鈍角）三角形的良好格局。同時(shí)，著力于推理想象和表象回應(yīng)，合理選取方格圖、箭頭圖、實(shí)物操作等學(xué)習(xí)材料，深入理解公式的含義。

【關(guān)鍵詞】化歸思想；公式推導(dǎo)；三角形面積

一、問題思考

（一）剪拼法與倍拼法有無主次之分？

在小學(xué)教材里，三角形的面積公式推導(dǎo)路徑主要有兩種：一是在面積不變前提下通過三角形的底或高折半、剪拼，轉(zhuǎn)化為長方形或平行四邊形（以下簡稱剪拼法）；二是通過構(gòu)造全等三角形，與原三角形拼組轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長方形，使得新圖形面積是原圖形的兩倍后再折半（以下簡稱倍拼法）。

剪拼法和倍拼法在各版本教材中編排的比重存在一定差異。以人教版、北師大版、蘇教版、浙教版、西師版、青島版六個(gè)版本為例，每個(gè)版本均安排了倍拼法的例題，而剪拼法只在浙教版中有例題安排，人教版只是在“你知道嗎”欄目里進(jìn)行了補(bǔ)充。多個(gè)版本教材重視倍拼法、淡化剪拼法的編排，導(dǎo)致較多的教師認(rèn)為“三角形的面積公式推導(dǎo)中，倍拼法比剪拼法更好、更重要”。

那么，在三角形的面積公式推導(dǎo)中，剪拼法和倍拼法究竟有沒有主次之分呢？筆者認(rèn)為，從公式推導(dǎo)的思維要求來說，剪拼法比倍拼法更為復(fù)雜多變，兩者有難易之別，但并沒有主次之分。

第一，對具體轉(zhuǎn)化方法的地位需要從整個(gè)方法序列來認(rèn)識(shí)。在教材面積公式推導(dǎo)中，轉(zhuǎn)化方法的學(xué)習(xí)依次經(jīng)歷了平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、多邊形的面積、圓形的面積等多個(gè)階段。僅以轉(zhuǎn)化方法的適用性而言，剪拼法比倍拼法應(yīng)用更為廣泛，如多邊形的面積、圓形的面積采用剪拼法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。而在中國臺(tái)灣地區(qū)教材和韓國教材中，平面圖形面積公式推導(dǎo)的轉(zhuǎn)化方法序列并非從平行四邊形開始的，而是先得出三角形的面積公式，然后研究平行四邊形的面積公式?？梢姡矫鎴D形面積公式推導(dǎo)的轉(zhuǎn)化方法序列是沒有“固定”的，自然也不存在轉(zhuǎn)化方法的主次之分。

第二，對具體轉(zhuǎn)化方法的地位需要從學(xué)段目標(biāo)來理解。課程標(biāo)準(zhǔn)第二學(xué)段目標(biāo)中指出，“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式”“探索并掌握圓的面積公式”。在整個(gè)面積公式探索的化歸思想進(jìn)程中，平行四邊形的面積公式推導(dǎo)是化歸思想的啟蒙，三角形的面積公式推導(dǎo)是化歸思想的深化。主要表現(xiàn)為在剪拼法、倍拼法等多種轉(zhuǎn)化方式的探索活動(dòng)中落實(shí)化歸的思想，提高推理、空間觀念等核心素養(yǎng)。

（二）需要給學(xué)生提供怎樣的學(xué)習(xí)材料？

在本課教學(xué)中，我們總會(huì)圍繞“需要提供方格圖嗎”“需要提供三角形操作嗎”“需要提供怎樣的三角形”等關(guān)于學(xué)習(xí)材料的問題展開討論。本質(zhì)上這些問題的討論都是在思辨、考量學(xué)生自主探索的空間與可行性。

1.方格圖問題。

在三角形面積的獨(dú)立探索中，是否提供方格圖是當(dāng)前教學(xué)設(shè)計(jì)走向的分水嶺。

持不介入方格圖觀點(diǎn)的典型教學(xué)設(shè)計(jì)路徑為：

（1）分組提供等腰三角形和不等邊三角形，供學(xué)生自主探究。

（2）交流反饋，梳理得出等腰三角形能剪拼轉(zhuǎn)化為長方形，得出剪拼的兩個(gè)三角形形狀一樣才可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

（3）討論思考如何讓不等邊三角形也能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，學(xué)生提出倍拼法，組織學(xué)生用倍拼法推導(dǎo)面積公式。

（4）補(bǔ)充介紹剪拼法，說明用剪拼法也能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

在整個(gè)面積公式推導(dǎo)中，沒有介入方格圖，表面上探索空間很大，實(shí)際上從剪拼法到倍拼法的轉(zhuǎn)身，多數(shù)學(xué)生是缺乏心理準(zhǔn)備和方法準(zhǔn)備的。在短短的1分鐘內(nèi)能夠想到倍拼法的只是個(gè)別優(yōu)秀學(xué)生（不排除課前了解倍拼法），并沒有給多數(shù)學(xué)生提供真正的探索空間與方向。

當(dāng)有了方格圖，學(xué)生又有怎樣的探索水平呢？筆者對寧波市奉化城區(qū)72名五年級學(xué)生進(jìn)行了前測，要求通過多種方法分別求出方格圖中（邊長為1厘米）直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積。前測情況統(tǒng)計(jì)如下表。

上表數(shù)據(jù)可以反映出兩方面的基本學(xué)情。一方面，在方格圖支持下近半學(xué)生能夠在直角三角形內(nèi)完成剪拼法到倍拼法的自我轉(zhuǎn)身。另一方面，學(xué)生對銳角三角形、鈍角三角形的剪拼法存在較大困難，對已有的經(jīng)驗(yàn)方法不善于提煉和遷移運(yùn)用，如倍拼法沒能從直角三角形的運(yùn)用遷移到鈍角三角形和銳角三角形。

2.三角形操作問題。

關(guān)于三角形操作問題的討論，分為兩種情形。情形一，學(xué)生已經(jīng)在方格圖內(nèi)完成三角形倍拼法的面積公式轉(zhuǎn)化后，是否還需要提供三角形實(shí)物進(jìn)行操作；情形二，在明確三角形操作活動(dòng)后，該提供幾個(gè)三角形實(shí)物進(jìn)行操作。

在三角形實(shí)物操作問題上，很容易走入指令性實(shí)物操作和去實(shí)物操作兩個(gè)極端。實(shí)際教學(xué)顯示，較多學(xué)生盡管能夠在方格圖內(nèi)完成倍拼法的圖示解說，但在兩個(gè)全等銳角三角形、鈍角三角形的實(shí)物拼組中出現(xiàn)困難，典型錯(cuò)誤主要為“將兩個(gè)全等三角形的底重合拼組成平行四邊形”（見圖1），主要原因有兩個(gè)：一是學(xué)生只顧著拼組成平行四邊形，并未進(jìn)入轉(zhuǎn)化前后圖形內(nèi)部聯(lián)系的思考，找不到對應(yīng)的底和高；二是學(xué)生離開方格圖，將另一個(gè)全等三角形翻轉(zhuǎn)拼組存在困難（見圖2）。

至于需要提供幾個(gè)三角形進(jìn)行操作，關(guān)鍵取決于學(xué)生對三角形面積公式的已知程度。一旦學(xué)生知道了三角形的面積公式，操作活動(dòng)的性質(zhì)就從發(fā)現(xiàn)公式轉(zhuǎn)向解釋公式。學(xué)生在問題“長方形、平行四邊形面積公式?jīng)]有除以2，為什么三角形的面積公式要除以2”的驅(qū)動(dòng)下，對“底×高”“底×高÷2”兩者加強(qiáng)關(guān)聯(lián)性思考，也就不難用倍拼法進(jìn)行解釋。而當(dāng)學(xué)生形成倍拼法的操作思路，對于三角形的數(shù)量與形狀也就不存在困難。

（三）面積公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)中的著力點(diǎn)是什么？

三角形面積公式推導(dǎo)的整個(gè)流程主要包括圖形轉(zhuǎn)化、尋找聯(lián)系、推導(dǎo)公式三個(gè)環(huán)節(jié)，哪個(gè)環(huán)節(jié)是學(xué)生最為困難的呢？無論是前測還是課堂探索都顯示，學(xué)生對尋找轉(zhuǎn)化前后圖形內(nèi)部聯(lián)系的意識(shí)與能力都非常弱，是面積公式推導(dǎo)的著力點(diǎn)。

以圖3的銳角三角形面積公式推導(dǎo)為例，學(xué)生能在方格圖中借助剪拼法將銳角三角形轉(zhuǎn)化為長方形，列式計(jì)算出“3×4=12（平方厘米）”，但在長方形的長、寬與三角形的底、高之間建立對應(yīng)聯(lián)系缺乏思考。簡單地說，在具體三角形面積探索時(shí)，學(xué)生關(guān)注點(diǎn)是算式，而從算式走向公式的推理意識(shí)較為薄弱，推理的環(huán)節(jié)成為面積公式推導(dǎo)過程的重點(diǎn)和難點(diǎn)。實(shí)際教學(xué)中，多數(shù)教師把探索公式的重心放在了圖形轉(zhuǎn)化上，推理過程只采用了集體問答、教師演示講解的方式，一帶而過，削弱了學(xué)生對尋找聯(lián)系、推理分析的獨(dú)立思考與交流的時(shí)空。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）直角三角形的面積公式推導(dǎo)

1.回憶三角形按角分類，指出對三角形的面積研究可以從直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三類進(jìn)行研究。

2.直角三角形的前測作品分析交流。

整體呈現(xiàn)前測五幅作品（見圖4），組織觀察討論：在直角三角形面積計(jì)算方法的探索中，同學(xué)們想到了這五種方法，你能看懂嗎？哪些方法是類似的？

生：1、2、3為一類，都是剪下一部分移過去的；4、5為一類，都是用一個(gè)相同的三角形拼成了長方形或平行四邊形，面積是原來的2倍。

結(jié)合學(xué)生的回答提煉“剪拼法”“倍拼法”等方法名稱，對同屬倍拼法的方法圖4-4、圖4-5進(jìn)行討論：通過倍拼法三角形轉(zhuǎn)化為長方形，長方形的面積公式是“長×寬”，直角三角形的面積公式是什么？

生1：長×寬÷2。

生2：應(yīng)該是底×高÷2，長是底，寬是高。

結(jié)合生2回答在圖上標(biāo)注出“底”“高”，并出示箭頭圖，點(diǎn)撥推導(dǎo)過程：長方形的長相當(dāng)于直角三角形的底，長方形的寬相當(dāng)于直角三角形的高，因?yàn)殚L方形面積是直角三角形面積的2倍，所以直角三角形的面積公式是底×高÷2。

學(xué)生集體完成圖4-5倍拼為平行四邊形的公式推導(dǎo)梳理，得出“直角三角形的面積=底×高÷2”。

組織學(xué)生對圖4-1、圖4-2中轉(zhuǎn)化為長方形的方法進(jìn)行推導(dǎo)，分別得出“直角三角形的面積=底×高÷2”“直角三角形的面積=底÷2×高”，觀察比較：這兩種方法都轉(zhuǎn)化為長方形，有什么不同？

生：第一幅（圖4-1）是沿著高的一半剪，第2幅（圖4-2）是沿著底的一半剪。

結(jié)合學(xué)生的回答，課件演示高折半、底折半所在的中位線。

再次整體呈現(xiàn)圖4的五幅作品，討論：通過倍拼法和剪拼法都把新學(xué)的圖形轉(zhuǎn)化為原來學(xué)過的圖形，發(fā)現(xiàn)直角三角形的面積公式為“底×高÷2”。這里的“÷2”意思一樣嗎？

生：不一樣，有的是高÷2，有的是底÷2，有的是面積÷2。

小結(jié)：采用剪拼法，轉(zhuǎn)化前后的圖形面積不變；而倍拼法轉(zhuǎn)化后的圖形面積是原來的2倍。

（二）銳角三角形、鈍角三角形的面積公式推導(dǎo)

1.猜測銳角三角形面積公式，明確探究任務(wù)。

通過猜測得出銳角三角形面積公式后，提供學(xué)習(xí)單，明確探究任務(wù)：同桌合作分別采用倍拼法、剪拼法，通過算一算、寫一寫，說明銳角三角形的面積公式是“底×高÷2”。

2.小組合作探究銳角三角形面積公式，全班交流反饋。

選取學(xué)生作品（見圖5），學(xué)生上臺(tái)展示交流，側(cè)重介紹轉(zhuǎn)化方法和公式推導(dǎo)過程。交流中臺(tái)上、臺(tái)下同學(xué)互動(dòng)提問點(diǎn)評。

3.銳角三角形倍拼法操作活動(dòng)。

每人提供2個(gè)全等的銳角三角形（標(biāo)注出底），采用倍拼法將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，同桌互相介紹、指認(rèn)轉(zhuǎn)化前后圖形的底和高。

呈現(xiàn)將兩個(gè)三角形的底重合拼成的平行四邊形錯(cuò)例（見圖1），組織討論發(fā)現(xiàn)，只有將三角形翻轉(zhuǎn)、底倒著倍拼成的平行四邊形，底和高才是和原來的三角形對應(yīng)的，才能解釋“底×高÷2”的含義。

4.鈍角三角形倍拼法操作演示推導(dǎo)面積公式。

猜測得出鈍角三角形的面積公式后，教師板貼三個(gè)相同的鈍角三角形（不同底邊），組織學(xué)生觀察想象：如果把鈍角三角形通過倍拼法研究面積公式，會(huì)轉(zhuǎn)化為什么圖形？另一個(gè)鈍角三角形可以怎樣倍拼？

指名學(xué)生上臺(tái)倍拼另一個(gè)鈍角三角形，并比畫平行四邊形和鈍角三角形的底和高，介紹公式推導(dǎo)過程。

5.小結(jié)三角形面積公式和字母公式。

（三）三角形面積公式應(yīng)用與解釋

列式計(jì)算鈍角三角形的面積。

反饋算式“10×3÷2”中的“10×3”算的是什么圖形的面積？請你畫出這個(gè)平行四邊形。

討論：如果算的是“10×（3÷2）”，你猜采用了哪種轉(zhuǎn)化方法？你能想象這個(gè)轉(zhuǎn)化過程嗎？

學(xué)生結(jié)合圖比畫轉(zhuǎn)化思路，課件演示跟進(jìn)鈍角三角形剪拼為平行四邊形和長方形的推導(dǎo)過程。

三、教學(xué)反思

本課在城鄉(xiāng)多個(gè)不同班級進(jìn)行教學(xué)，盡管在面積公式推導(dǎo)的語言表達(dá)上存在一定差異，但都表現(xiàn)出很高的探索熱情和探索水平。這一課堂教學(xué)效果，充分證實(shí)了只要基于學(xué)情，探索活動(dòng)是能真正落地的。

（一）基于學(xué)情，扶放結(jié)合，探索活動(dòng)有序充分

讓學(xué)生充分經(jīng)歷三角形面積計(jì)算方法的探索過程，是本節(jié)課的核心目標(biāo)。而要讓學(xué)生充分經(jīng)歷多樣化的剪拼、倍拼方法思考過程與方法提煉，既需要充分保障學(xué)生的探索時(shí)間與空間，又需要教師適度的點(diǎn)撥指導(dǎo)。這就需要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理取舍，學(xué)習(xí)任務(wù)不宜過多、探索思維跨度不宜過大。

教學(xué)中，只保留了基本練習(xí)，把大量的時(shí)間用于三角形面積公式的探索。面積公式推導(dǎo)也沒有平均用力，而是基于學(xué)生前測中三類三角形面積公式自我探索經(jīng)驗(yàn)水平，采用了“在直角三角形中梳理發(fā)現(xiàn)，提煉方法，形成推導(dǎo)路徑”“在銳角三角形中自主遷移，整體推進(jìn)，解釋說明公式”“在鈍角三角形中想象類推，主導(dǎo)倍拼，補(bǔ)充說明剪拼”的總體探索框架進(jìn)行側(cè)重，實(shí)現(xiàn)了面積公式起于直角三角形、成于銳角（鈍角）三角形的良好格局。

具體地說，先利用直角三角形面積計(jì)算前測作品進(jìn)行梳理提煉，幫助學(xué)生明確面積公式探索的路徑、方法與要求；接著將銳角三角形面積公式作為探索活動(dòng)的主體環(huán)節(jié)，放手讓學(xué)生對倍拼法、剪拼法兩種方法進(jìn)行自主嘗試、內(nèi)化遷移；而鈍角三角形面積公式考慮到剪拼法自主探索難度過大，教學(xué)中先完成倍拼法的面積公式解釋，然后在練習(xí)中進(jìn)行剪拼法的補(bǔ)充說明。綜觀整個(gè)探索過程，目標(biāo)明確，過程充分，扶放結(jié)合，循序漸進(jìn)。

（二）基于學(xué)情，化解難點(diǎn)，學(xué)習(xí)材料適切有度

在三角形面積公式探索中，主要困難有兩個(gè)。一是學(xué)生一時(shí)無法自發(fā)從剪拼法想到倍拼法，二是面積公式推導(dǎo)中不大關(guān)注轉(zhuǎn)化圖形間的內(nèi)部聯(lián)系。

針對第一個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)中選取了格子圖中探索直角三角形、銳角三角形的面積計(jì)算方法，在直觀的格子圖中，學(xué)生能“看到”倍拼后的圖形，自覺產(chǎn)生采用倍拼法的想法。通過直角三角形面積計(jì)算方法的交流梳理，進(jìn)一步明確了兩種轉(zhuǎn)化方法。在銳角三角形面積公式推導(dǎo)中，采用了剪拼法、倍拼法整體推進(jìn)的方式，學(xué)生對格子圖表現(xiàn)出較強(qiáng)的探索能力。

針對第二個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)中主要以公式推導(dǎo)的箭頭圖為依托進(jìn)行提煉、說理。在直角三角形面積計(jì)算方法梳理中，重點(diǎn)介入箭頭圖進(jìn)行推理，并形成面積公式，為銳角三角形面積公式推導(dǎo)提供范例。在銳角三角形面積公式自主探索中，采用了列式計(jì)算、公式推導(dǎo)箭頭圖填充兩種形式，列式計(jì)算相對具體，為較為抽象的公式推導(dǎo)箭頭圖提供了支持。實(shí)際教學(xué)顯示，在方格圖中列式計(jì)算、填寫箭頭圖能夠讓較多的學(xué)生從算式走向公式。

（三）基于學(xué)情，注重回應(yīng)，面積公式理解深刻

三角形面積計(jì)算公式含義豐富，學(xué)生要深刻理解公式，除了探索過程充分、體驗(yàn)到位，還需要加強(qiáng)對轉(zhuǎn)化過程的想象以及轉(zhuǎn)化后圖形表象的回應(yīng)。如直角三角形面積公式整體梳理中，組織討論“同樣都是‘底×高÷2，除以2的意思一樣嗎”，強(qiáng)化了轉(zhuǎn)化過程的想象。又如，在鈍角三角形倍拼法面積公式推導(dǎo)中，先讓學(xué)生想一想“如果把鈍角三角形通過倍拼法研究面積公式，會(huì)轉(zhuǎn)化為什么圖形？另一個(gè)鈍角三角形可以怎樣倍拼”。另外，在練習(xí)中對“10×3”“3÷2”的追問、補(bǔ)畫和比畫，都有助于學(xué)生對轉(zhuǎn)化后圖形表象的調(diào)用，再次回顧了轉(zhuǎn)化的過程，從而加深了對三角形面積公式的探索印象。

（浙江省寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 315500）