池劍善

[摘 要] 筆者查閱資料，發(fā)現(xiàn)沒有人研究從初中數(shù)學(xué)的角度證明以大數(shù)學(xué)家“歐拉”命名的歐拉線和歐拉圓. 本文所給的證明方法以初中數(shù)學(xué)課本知識為基礎(chǔ)，并進行稍微拓展，該方法對初中生競賽培優(yōu)教學(xué)有一定的參考價值.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；歐拉線；歐拉圓

在競賽輔導(dǎo)中，歷史上的經(jīng)典名題、定理的證明是我們繞不開的路. 比如，學(xué)習(xí)平面幾何時，選擇歐拉線和歐拉圓的證明教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生推理能力和演繹思維的一個不錯選擇. 首先，我們來熟悉一下歐拉線和歐拉圓.

歐拉線：萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出的定理——三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.

歐拉圓：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連接三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓. 通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），或歐拉圓、費爾巴哈圓.

歐拉線是過三角形的垂心、外心、重心和歐拉圓圓心的一條直線.

一般的定理教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生一起“探究”，然后牽著學(xué)生的思維一起把別人走過的路再走一遍. 而本文是筆者的另外一種實踐. 筆者研究了這兩個經(jīng)典定理歷史上的證明方法，發(fā)現(xiàn)很多都超過了初中生的知識儲備，于是篩選了一些適合的方法，重新整理思路，把兩個有關(guān)聯(lián)的定理關(guān)聯(lián)起來，然后分不同的階段，為學(xué)生鋪好臺階，走到終點.

引理及其證明

引理？搖 三角形的外心到一邊的距離等于垂心到該邊相對的頂點距離的一半.

如圖1，在△ABC中，O，H為其外心和垂心，D為BC的中點，連接OD，AH. 求證：OD=AH.

證明？搖 如圖1，連接OB，OC，連接CH并延長交AB于點R，延長AH交BC于點P，因為點O為△ABC的外心，所以∠BAC=∠BOC. 因為D為BC的中點，所以∠COD=∠BOC=∠BAC，OD⊥BC. 因為CR⊥AB，所以∠ARC=∠ODC=90°. 所以△ARC∽△ODC. 所以=①. 因為AP⊥BC，所以∠ARC=∠APC=90°. 所以A，R，P，C四點共圓. 所以∠RAH=∠BCR. 所以△ARH∽△CRB. 所以=，即=②. ①×②得=，所以O(shè)D=AH.

上述證明是在銳角三角形中進行的，同理可證鈍角三角形也成立. 直角三角形比較特殊，很容易證明成立.

歐拉線定理及其證明

如圖2，在△ABC中，O，G，H分別為其外心、重心、垂心，D為BC的中點，求證：O，G，H三點共線，且OG=GH.

證明 ？搖設(shè)AD交OH于點G′，因為OD⊥BC，AH⊥BC，所以O(shè)D∥AH. 所以△ODG′∽△HAG′. 因為OD=AH，所以O(shè)G′=G′H，DG′=AG′. 因為G為△ABC的重心，所以DG=AG. 所以G與G′重合. 所以O(shè)，G，H三點共線，且OG=GH.

上述證明是在銳角三角形中進行的，同理可證鈍角三角形也成立. 直角三角形比較特殊，很容易證明成立.

九點圓（歐拉圓）及其證明

1. 證三高的垂足和三個歐拉點（連接三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）共圓

如圖3，在△ABC中，H為其垂心，設(shè)AH，BH，CH的中點分別為M，L，N，過M，L，N三點的圓記為⊙J，P，Q，R分別是三條高在BC，AC，AB上的垂足. 求證：P，Q，R均在⊙J上.

證明？搖 連接MN，LN，LM，QM，QN. 因為L，N分別為BH，CH的中點，所以LN∥BC且LN=BC. 同理，LM∥AB且LM=AB，MN∥AC且MN=AC. 因為H為△ABC的垂心，所以H為△MLN的垂心. 所以P，Q，R分別為H關(guān)于LN，MN，ML對稱的點. 所以∠MQN=∠MHN，∠MHN+∠MLN =∠MQN+∠MLN=180°. 所以Q在△MLN的外接圓上.同理，P，R也在△MLN的外接圓上，所以P，Q，R在⊙J上.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

2. 證三邊中點和三個歐拉點共圓

如圖4，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點，AP⊥BC，BQ⊥AC，CR⊥AB，垂足分別為P，Q，R，H為△ABC的垂心，設(shè)AH，BH，CH的中點分別為M，L，N，過M，L，N三點的圓記為⊙J. 求證：D，E，F(xiàn)均在⊙J上.

證明？搖 連接MN，DN，則DN∥BQ，MN∥AC. 因為BQ⊥AC，所以DN⊥MN. 又因為AP⊥BC，所以D，P，N，M四點共圓. 所以點D在⊙J上. 同理，E，F(xiàn)也在⊙J上.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

歐拉圓心和歐拉線之間的位置

及其證明

1. 證明歐拉圓圓心在歐拉線上

如圖5，O，H，J分別是△ABC的外心、垂心和歐拉圓圓心. 求證：O，J，H三點共線，且OJ=HJ.

證明？搖 連接AH并延長交BC于點P，分別取AH和BC的中點M，D，連接DM，OH交于點J′. 因為OD⊥BC，MH⊥BC，所以O(shè)D∥MH. 所以∠ODJ′=∠HMJ′. 所以∠DOJ′=∠MHJ′. 又因為OD=AH=MH，所以△ODJ′≌△HMJ′. 所以O(shè)J′= HJ′，DJ′=MJ′. 因為∠APB=90°，所以DM為⊙J的直徑. 所以J為DM的中點. 所以點J與點J′重合. 所以O(shè)，J，H三點共線，且OJ=HJ.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

2. 證明三角形的歐拉圓半徑等于外接圓半徑的一半

如圖6，已知⊙J和⊙O分別是△ABC的歐拉圓和外接圓，求證：⊙J的半徑為⊙O半徑的.

證明？搖 設(shè)H為△ABC的垂心，連接AH，分別取AH和BC的中點M，D，連接OA，OD，DM，則OA為⊙O的半徑，DM為⊙J的直徑. 因為OD∥AM且OD=AM，所以四邊形AODM是平行四邊形. 所以O(shè)A=DM. 所以⊙J的半徑為⊙O半徑的.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

利用歐拉圓心和歐拉線可證一

些四點共圓的問題

如圖7，H為△ABC的垂心，L為BC邊的中點，P為AH的中點，過點L作PL的垂線交AB于點G，交AC的延長線于點K，求證：G，B，K，C四點共圓.

證明？搖 如圖8，設(shè)△ABC的外心為O，連接OH，取OH的中點E，則E為歐拉圓圓心. 連接AO，則AO∥PE，從而AO⊥GK. 設(shè)N為AB的中點，連接ON，則ON⊥AG. 于是∠AON=∠AGL. 又因為∠ACL=∠AON，所以∠ACL=∠AGL. 所以∠BGK=∠KCB. 所以B，K，C，G四點共圓.

幾何名題內(nèi)容豐富，是數(shù)學(xué)競賽教學(xué)的一大寶貴資源，只要我們多挖掘，多思考，換種角度從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)進行啟發(fā)教學(xué)，再配合可以利用所學(xué)定理解決問題的實例讓學(xué)生操練，應(yīng)該能起到事半功倍之效.