邵長興，孫 玄，張 迪，劉 慧，張佳梁

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引言

隨著現(xiàn)代導(dǎo)彈技術(shù)的發(fā)展，導(dǎo)彈的突防能力已越來越強。任何一次攔截失誤都有可能帶來毀滅性的打擊，這就對防空導(dǎo)彈和攔截器提出了更高要求。為提升攔截器的殺傷力并降低成本，可利用主輔攔截器同時對目標進行攔截。主攔截器與輔攔截器采用時間協(xié)同的制導(dǎo)律，進行協(xié)同制導(dǎo)，在同一時刻實現(xiàn)對目標的攔截摧毀，以增強殺傷力[1]。

目前，國內(nèi)外對協(xié)同控制的研究較多，但主要集中在無人機(UAV)和機器人領(lǐng)域[2-7]。隨著現(xiàn)代防御技術(shù)的發(fā)展，為增強導(dǎo)彈的殺傷力和突防能力，導(dǎo)彈的協(xié)同制導(dǎo)和飽和攻擊也逐漸成為研究熱點。文獻[8]針對反艦導(dǎo)彈在面對艦艇配備的近程防御武器系統(tǒng)(CIWS)時突防能力較弱的問題，提出了一種利用多角度、同時刻飽和式攻擊進行突防的策略，通過控制導(dǎo)彈依次經(jīng)過預(yù)先設(shè)定的期望通過的位置點，使導(dǎo)彈按預(yù)設(shè)軌道命中目標，最終實現(xiàn)一種同時具有攻擊角度和攻擊時間約束的協(xié)同制導(dǎo)律。文獻[9-12]以反艦導(dǎo)彈為研究對象，基于最優(yōu)控制理論，設(shè)計了可對導(dǎo)彈攻擊時間進行控制的制導(dǎo)律。該制導(dǎo)律通過設(shè)定期望攻擊時間，引入1個時間誤差反饋，控制彈道軌跡彎曲以實現(xiàn)協(xié)同攻擊。但文獻未給出設(shè)定期望攻擊時間的具體方法和工程可用的時間誤差計算方法。文獻[13-15]介紹了一種基于協(xié)調(diào)變量的協(xié)同控制方法，針對需進行協(xié)同控制的多彈協(xié)同，提出了協(xié)調(diào)變量和協(xié)調(diào)函數(shù)的概念，協(xié)同控制的單位間需實現(xiàn)信息的共享與交換，但此法對飛行器間的通信提出了較高要求，在工程應(yīng)用中尚有一定困難。綜合上述文獻可以發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)外對多攔截器攔截高速目標的協(xié)同制導(dǎo)方法的研究較為缺乏，相關(guān)研究多針對UAV和反艦導(dǎo)彈，此類攔截器按照預(yù)設(shè)的彈道軌跡飛行，僅能攻擊固定目標或艦船類低速目標。高速飛行的攔截器一般采用固體發(fā)動機，速度不可任意調(diào)節(jié)，不能停止、盤旋和倒退，且目標多為高速飛行器，無法采用類似反艦導(dǎo)彈預(yù)設(shè)彈道軌跡的方法進行協(xié)同攻擊。

本文針對上述攔截器的特點，通過預(yù)先設(shè)定期望命中時間，將時間協(xié)同問題轉(zhuǎn)換為時變系統(tǒng)、末值型性能指標和末端受約束(即命中時間約束)的最優(yōu)控制問題，可采用極小值原理進行求解，同時采用基于比例導(dǎo)引律的時間協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計，使導(dǎo)彈無需按照預(yù)設(shè)的彈道軌跡飛行，具備自主飛行攔截高速目標的能力。

1 攔截器-目標相對運動模型

設(shè)計協(xié)同制導(dǎo)律前，需先建立攔截器與目標的相對運動模型，本文以1枚攔截器為例。為便于分析，設(shè)攔截器I與目標T在同一平面內(nèi)，所建模型如圖1所示。

圖1 攔截器與目標初始位置關(guān)系Fig.1 Initial relationship between interceptor and target

其中：目標T靜止于點(Xf,Yf)；v為攔截器速度且速率保持恒定；θ為攔截器速度向量與基準線間的夾角；攔截器法向加速度指令a由2個不同的指令組成，一個是用于減小脫靶量的反饋指令aB，另一個是用于調(diào)節(jié)攔截時間的附加指令aF。則攔截器的運動學方程可表示為

(1)

式中：X，Y分別為攔截器的橫、縱向坐標；t為攔截器飛行時間。初始和終端條件分別為

(2)

由建立的運動模型可知，時間協(xié)同制導(dǎo)實質(zhì)為具有終端時間(tp)限制條件的導(dǎo)引問題，該問題可轉(zhuǎn)為線性化系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。其狀態(tài)方程為

(3)

(4)

式中：θ為小量；x為獨立參數(shù)。

線性化模型建立后，在此模型上可用最優(yōu)控制理論中的極小值原理設(shè)計制導(dǎo)律。

2 攔截時間可控的協(xié)同制導(dǎo)律

根據(jù)研究對象的特點，可設(shè)計一種攔截時間可控的協(xié)同制導(dǎo)律(ITCG)。

根據(jù)最優(yōu)控制原理中的極小值原理，由式(4)可寫出代價函數(shù)

(5)

式中：x0，xf分別為獨立參數(shù)x的初值和終值?？紤]攔截器平均速度v不可控，取其為常數(shù)，攔截時間約束可表示為關(guān)于攔截器飛行航程的約束，即

(6)

同樣可轉(zhuǎn)化為

(7)

該線性最優(yōu)化問題可用極小值法解析求解。該問題的哈密爾頓函數(shù)為

(8)

式中：λy，λθ為協(xié)狀態(tài)。針對本文控制無約束的情況，哈密爾頓函數(shù)H對最優(yōu)控制解取駐值，對應(yīng)條件為?H/?u=0。

根據(jù)最優(yōu)性條件可得最優(yōu)制導(dǎo)指令

uB=-λθ=-vy(xf-x)

(9)

式中：vy為滿足終端條件的連續(xù)參數(shù)。代入式(4)可得

(10)

因此，初始時刻的反饋制導(dǎo)指令可寫為uF的函數(shù)，即

(11)

則連續(xù)時間反饋控制律為

(12)

將式(12)代入式(4)，由積分運算求得用x多項式表示的航向角θ(x)為

θ(η)=αη2+βη+γ，η∈[x,xf]

(13)

(14)

求解式(14)，可得附加指令

(15)

(16)

聯(lián)合式(12)和式(16)可得滿足ITCG的制導(dǎo)指令表達式為

(17)

上述公式推導(dǎo)皆基于無量綱化的參數(shù)，形成式(17)的無量綱控制指令。將式(17)的ITCG在時域內(nèi)物理意義下的表達式轉(zhuǎn)換為

a=aB+aF=

(18)

在控制時間誤差不大時，式(18)的平方根部分可近似為泰勒展開的第1項，式(18)可表示為

(19)

3 仿真與分析

對多枚攔截器攻擊固定目標進行仿真，驗證取相同期望命中時間時的協(xié)同狀況。設(shè)：每枚攔截器速度恒為300 m/s；攔截器I1初始位置為(-9 093 m，5 250 m)，航向角為-35°；攔截器I2初始位置為(-6 364 m，-6 364 m)，航向角為75°；攔截器I3初始位置為(-2 070 m，-7 727 m)，航向角為105°；攔截器I4初始位置為(4 750 m，-8 277 m)，航向角為105°；目標靜止于(0 m，0 m)。4枚攔截器在初始時刻與目標的相對距離近似，采用PNG制導(dǎo)時時間相差較小，滿足采用ITCG的條件。設(shè)定期望命中時間為36 s(略大于比例導(dǎo)引估得的命中時間最大值)。

仿真所得4枚攔截器分別用PNG和ITCG制導(dǎo)攻擊固定目標的彈道軌跡如圖2所示。圖中：實線表示攔截器采用PNG制導(dǎo)時的彈道軌跡，所用攻擊時間分別為35.026，30.844，27.416，31.885 s；虛線表示攔截器采用ITCG制導(dǎo)時的彈道軌跡，4枚攔截器所用攻擊時間均為36 s。

圖2 4枚攔截器彈道軌跡Fig.2 Ballistic trajectories of 4 interceptors

仿真所得4枚攔截器在2種制導(dǎo)律下的彈目相對距離分別如圖3,4所示。由圖3可知，4枚攔截器在PNG制導(dǎo)下所用時間都不相同。由圖4可知，4枚攔截器在36 s時的彈目相對距離趨于零，實現(xiàn)了協(xié)同制導(dǎo)。

圖3 4枚攔截器比例制導(dǎo)時彈目相對距離Fig.3 Distance between interceptor and target of 4 interceptors by PNG

圖4 4枚攔截器協(xié)同制導(dǎo)時彈目相對距離Fig.4 Distance between interceptor and target of 4 interceptors by ITCG

對3枚攔截器攔截運動目標進行仿真。設(shè)：每枚攔截器速度均為600 m/s，并保持速率不變；攔截器I1的初始位置為(0 m，0 m)，航向角為65°；攔截器I2的初始位置為(10 km，0 m)，航向角為50°；攔截器I3的初始位置為(-5 km，10 km)，航向角為55°；目標初始位置為(59 km，77.140 km)，初始速度為730 m/s，航向角為-145°，在重力加速度g=9.81 m/s2作用下運動。

計算得最大預(yù)測攔截時間為63.9 s，則設(shè)置期望攔截時間為65 s(略大于由比例導(dǎo)引估得的攔截時間最大值)，此時對應(yīng)的攔截點選為(20 km，30 km)。導(dǎo)彈在初始時刻與目標相距98 km，采用ITCG制導(dǎo)，當相距30 km時，切換為PNG制導(dǎo)。

仿真所得4枚攔截器分別用PNG和ITCG制導(dǎo)攔截運動目標的彈道軌跡如圖5所示。其中：實線表示目標彈道軌跡；虛線表示攔截器采用PNG制導(dǎo)時的彈道軌跡，攔截時間分別為63.559，60.783，61.987 s；點線表示攔截器采用ITCG制導(dǎo)時的彈道軌跡，期望攔截時間為65 s，實際仿真攔截時間分別為64.905，64.915，65.046 s，滿足設(shè)計要求。

圖5 3枚攔截器彈道軌跡Fig.5 Ballistic trajectories of 3 interceptors

仿真所得3枚攔截器在2種制導(dǎo)律下的彈目相對距離分別如圖6，7所示。由圖6可知，3枚攔截器在PNG制導(dǎo)下所用時間都不相同。由圖7可知，3枚攔截器在65 s時的彈目相對距離趨于零，實現(xiàn)了協(xié)同制導(dǎo)。

圖6 3枚攔截器比例制導(dǎo)彈目相對距離Fig.6 Distance between interceptor and target of 3 interceptors by PNG

圖7 3枚攔截器協(xié)同制導(dǎo)彈目相對距離Fig.7 Distance between interceptor and target of 3 interceptors by ITCG

通過上述仿真可知，采用ITCG制導(dǎo)可實現(xiàn)對固定目標與高速飛行目標的時間協(xié)同制導(dǎo)，該方法在工程應(yīng)用中具備一定的可實施性。在設(shè)計過程中，可假定攔截器速度恒定不變，并通過預(yù)計命中位置預(yù)估期望飛行時間，而在工程應(yīng)用中，攔截器飛行速度實時變化，目標也可能進行機動，因此如何準確預(yù)測目標運動軌跡與命中位置將是后續(xù)的研究重點。

4 結(jié)束語

本文對主輔攔截器協(xié)同制導(dǎo)方法進行了研究。針對主輔攔截器的攔截特點，通過設(shè)定期望時間，在比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上引入1個包含時間誤差的修正項。根據(jù)相對運動模型，將時間協(xié)同制導(dǎo)問題視作一個有終端時間限制條件的導(dǎo)引問題，最終將其轉(zhuǎn)為線性化系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，用最優(yōu)控制中的極小值原理設(shè)計了協(xié)同制導(dǎo)律，并對多枚攔截器分別攻擊靜止目標和運動目標進行了仿真。結(jié)果表明：設(shè)計的基于比例導(dǎo)引律的時間協(xié)同制導(dǎo)律可實現(xiàn)對目標的協(xié)同攻擊，無需預(yù)設(shè)彈道軌跡，通過設(shè)定期望攔截時間可對高速飛行目標進行時間協(xié)同制導(dǎo)，未來可應(yīng)用于防空導(dǎo)彈對高價值目標的協(xié)同攔截。主輔攔截器協(xié)同制導(dǎo)是一個非常新穎且極為復(fù)雜的問題，本文僅研究了一些理想狀態(tài)下的問題，后續(xù)將針對機動目標的攔截時間和攔截點的準確預(yù)測進行進一步研究。

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