文/廣州市海珠區(qū)三滘小學(xué) 吳文卿

美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基在對(duì)皮亞杰關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中個(gè)體思維的 “自反現(xiàn)象”理論進(jìn)行拓展的基礎(chǔ)上建立APOS理論。該理論指出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程要經(jīng)歷活動(dòng) （Action）、 過(guò)程 （Process）、 對(duì)象 （Object）、 圖式 （Schema） 等四個(gè)階段。我校數(shù)學(xué)科課題組在APOS理論指導(dǎo)下，以 “數(shù)與代數(shù)”的概念教學(xué)課例研究為切入點(diǎn)，圍繞 “操作—過(guò)程—對(duì)象—圖式”四個(gè)階段探尋APOS理論指導(dǎo)下概念教學(xué)的教學(xué)策略與方法。

一、操作感知，以形助數(shù)

APOS理論當(dāng)中的活動(dòng)階段相當(dāng)于對(duì)概念屬性的具體操作、觀察，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)例階段。要讓學(xué)生親身體驗(yàn)，感受直觀背景與概念之間的關(guān)系，因而提供的感性材料要符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和規(guī)律，設(shè)計(jì)操作活動(dòng)的最終目的是指向概念內(nèi)在本質(zhì)的特點(diǎn)。借助“幾何直觀”初步感知概念，起到以形助數(shù)的作用。如小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)，呈現(xiàn)以學(xué)生熟悉的日常事物和活動(dòng)為場(chǎng)景，借助具體的量 （米、分米、厘米、元、角、分）和幾何直觀圖 （面積、數(shù)尺、數(shù)軸），動(dòng)手分一分、涂一涂，從圖形中提取圖形所反映的信息，直觀地感悟到小數(shù)與十進(jìn)分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)。

二、多元表征，思維內(nèi)化

操作活動(dòng)的目的是啟動(dòng)學(xué)生思考，過(guò)程階段是對(duì)操作進(jìn)行思考，思維經(jīng)歷了內(nèi)化和壓縮過(guò)程，在頭腦中對(duì)活動(dòng)不斷重復(fù)地進(jìn)行描述、反思，初步抽象出概念特有的性質(zhì)。對(duì)于一個(gè)重要概念的體會(huì)，不斷重復(fù)任何單一的表示對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是不夠的，而且概念的建立單純依賴語(yǔ)言、符號(hào)的抽象描述恐怕不能達(dá)到預(yù)期的效果。有學(xué)者認(rèn)為，要獲得概念真正意義上的理解，就要靈活地實(shí)現(xiàn)動(dòng)作、現(xiàn)實(shí)情境、表象、口頭語(yǔ)言、符號(hào)等5種表征方式之間的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)概念的內(nèi)化。

三、問(wèn)中思辨，深入本質(zhì)

數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該讓學(xué)生有思辨的能力，透過(guò)不同的例證，從不同的角度切入到同一個(gè)問(wèn)題，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解釋、分析、評(píng)估、推論、說(shuō)明……從而透視知識(shí)的本質(zhì)。這要求教師在四個(gè)階段結(jié)合學(xué)生認(rèn)知沖突點(diǎn)、理解的關(guān)鍵處和易錯(cuò)易混處提出富有挑戰(zhàn)性、啟發(fā)性、探索性、層次性進(jìn)行的問(wèn)題，這些問(wèn)題的解決需要學(xué)生整合、分析已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，需要學(xué)生創(chuàng)造性地進(jìn)行思考，作出判斷或評(píng)價(jià)。

如教學(xué)五年級(jí)上冊(cè) 《用字母表示數(shù) （一）》結(jié)合具體情境安排了三次思辨：第一次是在同一事件中，兩位不確定年齡的老師到底用怎樣的字母表示呢？在思辨中感悟到同一事件，不同的字母表示不同的數(shù)，而且之間存在不確定的比較關(guān)系；第二次是首次嘗試了用字母表示數(shù)過(guò)渡到用字母式表示數(shù)，進(jìn)行一次用字母式表示與用字母表示的思辨。體會(huì)兩者之間的區(qū)別，字母式既可表示數(shù)量，又可以表示數(shù)量間的關(guān)系，因此，在同一事件中兩個(gè)數(shù)若有聯(lián)系，盡量用字母式表示比較方便；第三次是變換表示方式，重復(fù)多次根據(jù)兩人之間的年齡關(guān)系式寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的字母式，并對(duì)同一人不同的表達(dá)年齡字母式進(jìn)行思辨，促使學(xué)生更靈活地理解函數(shù)思想和對(duì)應(yīng)思想視角下的用字母式表示數(shù)的本質(zhì)。三次思辨問(wèn)題情境，層層遞進(jìn)修正學(xué)生的思考誤區(qū)，加深學(xué)生對(duì)用字母表示數(shù)的本質(zhì)進(jìn)一步提煉和理解。

四、比中整合，歸納提升

對(duì)象階段，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的屬性進(jìn)行整合提煉出概念的本質(zhì)屬性，從而得到概念的定義及符號(hào)表示。根據(jù)概念的形成規(guī)律，必須從大量的具體例子出發(fā)，觀察比較中歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性。因此教學(xué)中提供豐富的能充分顯示被引入概念的特征性質(zhì)的例證 （正例），正確引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行觀察分析、橫向比較，這樣才能使學(xué)生從例證中排除非本質(zhì)屬性，歸納和概括出共同的本質(zhì)屬性，從而形成概念。

概念建構(gòu)基本完成后，教師要及時(shí)組織活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)辨析，明晰概念的內(nèi)涵和外延。圖式階段，有意呈現(xiàn)對(duì)比練習(xí)，能進(jìn)一步鞏固概念的理解，同時(shí)提升思維的視角。如 《小數(shù)的性質(zhì)》鞏固提升環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)填空題“在數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)填寫(xiě)對(duì)應(yīng)的2個(gè)小數(shù)”，思考：0.1和0.10有什么相同和不同的地方？1和1.00呢？借助 “數(shù)軸”這一直觀模型，數(shù)形結(jié)合，學(xué)生容易比較得出小數(shù)的大小相同，小數(shù)部分的位數(shù)不同，一個(gè)是一位小數(shù)，一個(gè)是兩位小數(shù)，意義不同，0.1表示1個(gè)十分之一，0.10表示10個(gè)百分之一。接著追問(wèn)： 1還可以用什么小數(shù)表示？再次直觀感受小數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)，滲透“變”與 “不變”的辯證思想，提升學(xué)生認(rèn)知和思維的空間。

五、豐富意義，形成網(wǎng)絡(luò)

APOS理論主張數(shù)學(xué)概念與它的背景知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，完善學(xué)生對(duì)概念的全面認(rèn)識(shí)。這對(duì)我們的概念教學(xué)有重要的啟示，學(xué)完一類概念后，要進(jìn)行知識(shí)串聯(lián)，把新概念納入某一部分的系統(tǒng)中去理解。這樣不僅使概念得到了鞏固，也有利于知識(shí)的遷移和應(yīng)用。如教學(xué)二年級(jí)上冊(cè) 《乘法的初步認(rèn)識(shí)》， 在 “拓展深化，溝通聯(lián)系”這一環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了一組對(duì)比題組 （如下圖），用圖形表征的形式引導(dǎo)學(xué)生直觀感受加法、減法、乘法概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。而且三種運(yùn)算方法的對(duì)比呈現(xiàn)有利于學(xué)生在頭腦中建立起知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，有利于更好地形成概念的圖式，圖式還需要在后繼學(xué)習(xí)中不斷完善、強(qiáng)化和穩(wěn)固。

有些概念意義的豐富性是隨著年級(jí)而不斷增加的，教師不僅要重視學(xué)生第一次接觸此時(shí)意義的教學(xué)，還應(yīng)關(guān)注隨后意義的不斷擴(kuò)展。如分?jǐn)?shù)的意義學(xué)習(xí)經(jīng)歷顯性的兩個(gè)階段，在第二階段教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生整理分?jǐn)?shù)的多維度意義：整體的等分；兩個(gè)數(shù)相除的商；兩個(gè)數(shù)的比。數(shù)學(xué)知識(shí)總是一環(huán)扣緊一環(huán)形成知識(shí)鏈條的，理清概念后，揭示概念之間的聯(lián)系，最終形成綜合的心理圖式。學(xué)生利用圖式理解和記憶概念，比孤立理解單個(gè)概念，效果更理想，所學(xué)的概念要?dú)w納整理才能系統(tǒng)鞏固。

APOS理論應(yīng)用于概念教學(xué)，充分體現(xiàn) “做中學(xué)，做中思，做中悟”的原則，更能反映學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)概念的思維過(guò)程。在教學(xué)中，教師通過(guò)觀察四個(gè)階段的學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略和方法，促使學(xué)生真正地理解概念。