王 劍 白 洋 郭吉豐

浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，杭州，310027

0 引言

電機(jī)慣性沖擊的驅(qū)動(dòng)方法是壓電驅(qū)動(dòng)領(lǐng)域的一項(xiàng)新的嘗試，它利用壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)和慣性位移原理，將定子的靜變形通過(guò)摩擦力作用，以慣性位移的形式傳遞運(yùn)動(dòng)［1］，適用于高分辨率、大行程和小作用力的場(chǎng)合。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)慣性沖擊式壓電致動(dòng)器的研究主要集中在精密位移平臺(tái)、多自由度執(zhí)行器和微型機(jī)器人等領(lǐng)域［2］。MORITA等［3］開(kāi)發(fā)出一種基于多層壓電結(jié)構(gòu)的致動(dòng)器，利用慣性沖擊原理驅(qū)動(dòng)，在鋸齒波電壓激勵(lì)下，可實(shí)現(xiàn)空載轉(zhuǎn)速27 r/min和堵轉(zhuǎn)力矩0.56 N·m的輸出。而后，MORITA等［4］又研制出相同原理的并聯(lián)致動(dòng)器結(jié)構(gòu)，可將運(yùn)動(dòng)偏差控制在0～18.6 μm范圍內(nèi)。NISHIMURA等［5］研制出慣性沖擊原理的直線超聲波電機(jī)，該電機(jī)具備速度快和推力足的優(yōu)點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)直線速度0.28 m/s和最大推力3.1N的輸出。盧秋紅等［6］設(shè)計(jì)出可實(shí)現(xiàn)圓周和直線運(yùn)動(dòng)的壓電型慣性微驅(qū)動(dòng)器，并建立了動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)一步可借鑒納米摩擦學(xué)分析其動(dòng)態(tài)特性。張宏壯等［7］利用壓電雙晶片作為驅(qū)動(dòng)單元，提出一種慣性沖擊式二自由度精密驅(qū)動(dòng)器，選擇了定頻調(diào)幅的控制模式。劉俊標(biāo)等［8］提出慣性沖擊式壓電微電機(jī)的改進(jìn)型結(jié)構(gòu)，可有效克服重心偏移，在電機(jī)動(dòng)力學(xué)計(jì)算基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了基于模擬信號(hào)的匹配電源，具有穩(wěn)定的運(yùn)行效果。KANG等［9］采用方波和三角波信號(hào)分別作為慣性沖擊方法的輸入源，針對(duì)電機(jī)速度和力矩兩個(gè)維度的輸出作比對(duì)測(cè)試，證明了方波信號(hào)的激勵(lì)效果優(yōu)于三角波信號(hào)的激勵(lì)效果。黃衛(wèi)清等［10］設(shè)計(jì)了基于慣性沖擊原理的三驅(qū)動(dòng)足精密定位裝置，可實(shí)現(xiàn)夾持負(fù)載納米級(jí)的定位精度。

本文提出的改進(jìn)型旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機(jī)屬于多自由度電機(jī)的特殊分支［11］，其構(gòu)造機(jī)理和激勵(lì)方式如下：傾斜布置在定子表面的單種壓電陶瓷，既能激勵(lì)定子的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，也能激勵(lì)其縱向振動(dòng)；采用基于慣性沖擊原理的單相驅(qū)動(dòng)電源即可實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)和直線兩種運(yùn)動(dòng)。本文介紹了該電機(jī)的構(gòu)造機(jī)理，闡述了慣性沖擊方法的電機(jī)驅(qū)動(dòng)原理，建立了電機(jī)的驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，并對(duì)不同輸入條件下的非對(duì)稱(chēng)方波激勵(lì)進(jìn)行算例分析。

1 構(gòu)造機(jī)理

旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機(jī)的構(gòu)造見(jiàn)圖1，定子復(fù)合體（定子柱體）由金屬?gòu)椥泽w和壓電陶瓷組成：金屬?gòu)椥泽w采用變截面結(jié)構(gòu)，由圓柱過(guò)渡到正四棱柱，在正四棱柱的表面開(kāi)定位槽黏接壓電陶瓷，與定子軸線在空間上成一定的偏轉(zhuǎn)角度，與金屬?gòu)椥泽w共同構(gòu)成壓電激振體；轉(zhuǎn)子環(huán)套接在圓柱表面，可靈活調(diào)節(jié)預(yù)緊力，實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)和直線二自由度運(yùn)動(dòng)。其中，壓電陶瓷片沿厚度方向極化以充分利用壓電應(yīng)變系數(shù)d31；在壓電陶瓷表面黏接柔性電路板，穩(wěn)固連接單相激勵(lì)電源。

圖1 旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機(jī)構(gòu)造圖Fig.1 The sketch of rotary-linear 2-DOF ultrasonic motor

該電機(jī)最大的優(yōu)勢(shì)在于僅用單定子和單相電源即可實(shí)現(xiàn)二自由度運(yùn)動(dòng)。傾斜布置壓電陶瓷片是為了充分激發(fā)扭振的振幅，傾斜角度的平衡設(shè)計(jì)可參考文獻(xiàn)［12］；單相電源可完全消除相位差對(duì)電機(jī)性能的影響，降低驅(qū)動(dòng)電路的復(fù)雜度，與單相激勵(lì)相匹配的驅(qū)動(dòng)原理是近諧振點(diǎn)平穩(wěn)慣性沖擊方法（smooth impact drive method，SIDM）。根據(jù)有限元模態(tài)分析的結(jié)果可知，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)由定子一階扭振模態(tài)驅(qū)動(dòng)，直線運(yùn)動(dòng)則由一階縱振模態(tài)驅(qū)動(dòng)。

2 驅(qū)動(dòng)原理

鑒于旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機(jī)采用單定子結(jié)構(gòu)，施加正弦波信號(hào)時(shí)，定子端面質(zhì)點(diǎn)的伸縮位移/扭轉(zhuǎn)角度是對(duì)稱(chēng)的，無(wú)法有效驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子輸出宏觀運(yùn)動(dòng)，因此電機(jī)慣性沖擊的驅(qū)動(dòng)方式需采用非對(duì)稱(chēng)方波信號(hào)激勵(lì)，其頻率、幅值和占空比均可調(diào)節(jié)，在縱向振動(dòng)模式（直線運(yùn)動(dòng)）下驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)。建立定子和轉(zhuǎn)子的受力分析，見(jiàn)圖2，其中FN為轉(zhuǎn)子受到的預(yù)壓力，F(xiàn)f為定子傳遞給轉(zhuǎn)子環(huán)的摩擦力，ms、xs和mr、xr分別為定子和轉(zhuǎn)子的質(zhì)量與位移。靜摩擦力Fs和動(dòng)摩擦力Fk均遵循經(jīng)典摩擦定理，其表達(dá)式如下：

式中，μs為靜摩擦因數(shù)；μk為動(dòng)摩擦因數(shù)。

圖2 定子和轉(zhuǎn)子的受力分析Fig.2 Force analysis between the stator and rotor

當(dāng)對(duì)電機(jī)施加非對(duì)稱(chēng)（占空比D≠50%）方波信號(hào)激勵(lì)時(shí)，定子圓柱端面的質(zhì)點(diǎn)位移為鋸齒波，見(jiàn)圖3。在單個(gè)周期A中，B段為定子端面位移的上升周期（定子伸長(zhǎng)），C段為下降周期（定子回縮）。

圖3 非對(duì)稱(chēng)方波信號(hào)激勵(lì)與定子端面位移關(guān)系示意圖Fig.3 Relationship between asymmetric square wave excitation and linear displacement of stator

2.1 低頻振動(dòng)狀態(tài)

當(dāng)定子柱體處于低頻振動(dòng)時(shí)，在B區(qū)間內(nèi)，定子、轉(zhuǎn)子受到靜摩擦力的限制，兩者保持相對(duì)靜止，其表達(dá)式如下：

定子柱體變形伸長(zhǎng)，帶動(dòng)轉(zhuǎn)子共同做平滑運(yùn)動(dòng)，位移為Δd，見(jiàn)圖4。在tB時(shí)間點(diǎn)，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

式中，τ為時(shí)間。

圖4 轉(zhuǎn)子位移示意圖Fig.4 Schematic of rotor displacement

在C區(qū)間，方波信號(hào)下降到零電平，定子柱體隨即回縮，轉(zhuǎn)子加速度遠(yuǎn)小于定子加速度，得

此時(shí)轉(zhuǎn)子受到慣性影響，不隨定子同步回縮，兩者產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，轉(zhuǎn)子近似表現(xiàn)為靜止?fàn)顟B(tài)。在tC時(shí)間點(diǎn)，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

當(dāng)方波信號(hào)又處于上升周期時(shí)，轉(zhuǎn)子再隨定子做平滑運(yùn)動(dòng)，位移為Δd，而后又保持近似靜止的狀態(tài)。微觀上，轉(zhuǎn)子保持隨動(dòng)→靜止→隨動(dòng)的循環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；宏觀上，轉(zhuǎn)子逐步積累為單一方向的直線運(yùn)動(dòng)。

2.2 高頻振動(dòng)狀態(tài)

當(dāng)定子柱體處于高頻振動(dòng)時(shí)，在B區(qū)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子將突破靜摩擦力的束縛，轉(zhuǎn)為受動(dòng)摩擦力驅(qū)使，定子和轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方向一致，位移量不同。在tB時(shí)間點(diǎn)，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

在C區(qū)間，方波信號(hào)下降到零電平，定子柱體隨即回縮，定子加速度遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子加速度。轉(zhuǎn)子受到慣性的影響，會(huì)繼續(xù)保持在B區(qū)間的運(yùn)動(dòng)方向，定子和轉(zhuǎn)子之間產(chǎn)生滑動(dòng)，轉(zhuǎn)子沿著定子柱體伸長(zhǎng)的方向運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子的位移和速度可表示為

當(dāng)方波信號(hào)再次處于上升周期時(shí)，轉(zhuǎn)子在動(dòng)摩擦力的作用下，再隨定子做平滑運(yùn)動(dòng)，隨后又保持滑動(dòng)的狀態(tài)。微觀上，轉(zhuǎn)子保持隨動(dòng)→滑動(dòng)→隨動(dòng)的循環(huán)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；宏觀上，轉(zhuǎn)子也逐步積累為單一方向的直線運(yùn)動(dòng)。

2.3 影響因素

實(shí)際上轉(zhuǎn)子在C區(qū)間內(nèi)停留的時(shí)間較短，所以無(wú)論低頻或高頻振動(dòng)，轉(zhuǎn)子的宏觀運(yùn)動(dòng)都將保持單一方向的連續(xù)性。轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)對(duì)摩擦因數(shù)、方波信號(hào)幅值和占空比等參數(shù)較為敏感。摩擦因數(shù)取值較大時(shí)，可確保轉(zhuǎn)子在B區(qū)間保持隨動(dòng)，抑制轉(zhuǎn)子在C區(qū)間的運(yùn)動(dòng)；但摩擦因數(shù)取值過(guò)大，可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在全周期與定子隨動(dòng)，電機(jī)無(wú)宏觀位移輸出；摩擦因數(shù)取值較小時(shí)，可促進(jìn)轉(zhuǎn)子在C區(qū)間的運(yùn)動(dòng)，抑制轉(zhuǎn)子在B區(qū)間的隨動(dòng)；但摩擦因數(shù)取值過(guò)小，可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在全周期與定子相對(duì)滑動(dòng)或保持靜止，電機(jī)的輸出不可控，因此，需選擇合適的摩擦因數(shù)值來(lái)平衡提高電機(jī)的輸出力能（包括輸出力矩和速度）。方波信號(hào)幅值和占空比影響定子端面質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的形態(tài)：較大的電壓幅值（非飽和）會(huì)增大定子端面鋸齒波的位移幅值；占空比偏離50%的數(shù)值越大，會(huì)相應(yīng)延長(zhǎng)定子端面鋸齒波的上升周期（或下降周期）。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式（旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）與縱向振動(dòng)模式（直線運(yùn)動(dòng)）類(lèi)似，此處不再展開(kāi)。

3 驅(qū)動(dòng)模型

為便于定子建模，先作近似和假設(shè)如下：①金屬?gòu)椥泽w材質(zhì)均勻，定子軸線始終垂直于定子柱體的截面；②壓電陶瓷與金屬棱柱黏接理想，忽略膠層對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，忽略壓電陶瓷剪切變形的影響。

設(shè)定子柱體長(zhǎng)度為 Lm，圓柱直徑（棱柱邊長(zhǎng)）為Dm，壓電陶瓷的長(zhǎng)度、厚度、寬度和傾斜角度分別為 Lp、tp、wp和α，見(jiàn)圖5。建模時(shí)將定子柱體等效為激勵(lì)和傳導(dǎo)兩個(gè)部分：①激勵(lì)部分包含金屬棱柱及壓電陶瓷，長(zhǎng)度為l1；②傳導(dǎo)部分為金屬圓柱，長(zhǎng)度為l2。l1和l2滿足關(guān)系：l1=Lpcos α 和 l2=Lm-l1。

圖5 定子驅(qū)動(dòng)模型Fig.5 The drive model of the stator

定子縱向振動(dòng)方程和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程分別由瑞利理論和圣維南理論構(gòu)建［12］，在引入壓電與金屬?gòu)?fù)損耗系數(shù)［13］的基礎(chǔ)上，可求得定子傳導(dǎo)部分端面的n階縱振模態(tài)的最大位移和n階扭振模態(tài)的最大扭轉(zhuǎn)角度：

式中，Em、tan φ′和Gm分別為金屬?gòu)椥泽w的彈性模量、損耗系數(shù)和剪切模量；Ep、η和Gp分別為壓電陶瓷的彈性模量、損耗系數(shù)和剪切模量；γp為壓電陶瓷的泊松比；U0為輸入電壓的幅值。

由上節(jié)可知，旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機(jī)的驅(qū)動(dòng)原理為慣性沖擊方式，頻率選擇在靠近諧振點(diǎn)，需輸入非對(duì)稱(chēng)（D≠50%）方波信號(hào)，其表達(dá)式如下：

式中，T為方波周期；D為占空比。

根據(jù)Fourier變換，U（t，D）可分解為直流偏置量和多個(gè)高次正弦波，其表達(dá)式如下：

式中，ω為方波信號(hào)的角頻率。

不考慮直流偏置量的情況下，將式（16）代入式（13）和式（14），可得到縱振和扭振模態(tài)下定子端面質(zhì)點(diǎn)的位移形態(tài)。

在縱振模態(tài)下，當(dāng)輸入方波信號(hào)U（t，D）的激勵(lì)時(shí)，定子端面的直線位移表示為

在扭振模態(tài)下，當(dāng)輸入方波信號(hào)U（t，D）的激勵(lì)時(shí)，定子端面的旋轉(zhuǎn)角度表示為

調(diào)節(jié)方波信號(hào)的頻率ω，可切換電機(jī)直線和旋轉(zhuǎn)兩種運(yùn)動(dòng)模式。通過(guò)調(diào)節(jié)占空比D，可得到定子端面質(zhì)點(diǎn)的直線位移/旋轉(zhuǎn)角度的輸出形態(tài)，當(dāng)占空比D偏離50%時(shí)，該曲線形態(tài)接近鋸齒波。

4 算例分析

計(jì)算所用的二自由度超聲波電機(jī)的參數(shù)見(jiàn)表1。定子金屬?gòu)椥泽w選用黃銅材料，壓電陶瓷的型號(hào)為P-81。

表1 旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機(jī)的參數(shù)Tab.1 The parameters of the rotary-linear 2-DOF ultrasonic motor

利用驅(qū)動(dòng)模型對(duì)電機(jī)進(jìn)行掃頻分析，U0=50V，D=50%，f=25～60 kHz，結(jié)果見(jiàn)圖 6。由圖 6a可以看出，一階扭振的諧振頻率fT=29.9 kHz，最大旋轉(zhuǎn)角度約為0.011°；由圖6b可以看出，一階縱振的諧振頻率fL=52.6 kHz，最大直線位移約為0.32 μm。

圖6 電機(jī)的振幅-頻率特性Fig.6 Amplitude-frequency characteristics of the stator

對(duì)電機(jī)施加方波信號(hào)U0=50V，fL=53.6 kHz（n=1），占空比D=20%，33%，50%，66%和80%。利用式（17）得到定子一階縱振的端面直線位移，見(jiàn)圖7。由圖7可以看出，當(dāng)占空比D≠50%時(shí)，端面質(zhì)點(diǎn)的直線位移呈鋸齒波形態(tài)；占空比D距離50%越遠(yuǎn)，端面位移的最大幅值越小，對(duì)應(yīng)的上升周期（或下降周期）越長(zhǎng)。平衡考慮位移幅值和有效周期，并考量電機(jī)的力能輸出，最終將方波的占空比選擇在D=33%或66%，分別實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的前進(jìn)和后退，因此輸入非對(duì)稱(chēng)方波，可在定子端面輸出符合條件的鋸齒波，從而滿足慣性沖擊方法的驅(qū)動(dòng)要求。

圖7 不同占空比下的定子端面直線位移Fig.7 Linear displacement of the stator's end surface under different duty cycles

對(duì)電機(jī)輸入方波信號(hào)fT=29.9 kHz（n=1），其他參數(shù)同縱振模態(tài)選用的參數(shù)。利用式（18）可得定子一階扭振的端面質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角度，見(jiàn)圖8，可以看出，扭振模態(tài)的趨勢(shì)與縱振模態(tài)的趨勢(shì)一致。

圖8 不同占空比下的定子端面旋轉(zhuǎn)角度Fig.8 Rotation angle of the stator's end surface under different duty cycles

5 結(jié)論

（1）針對(duì)旋轉(zhuǎn)-直線二自由度超聲波電機(jī)，提出近諧振點(diǎn)慣性沖擊的驅(qū)動(dòng)方法。在定子、轉(zhuǎn)子的接觸與受力分析基礎(chǔ)上，判定轉(zhuǎn)子的宏觀速度和位置，證明了電機(jī)在近諧振點(diǎn)處采用非對(duì)稱(chēng)方波激勵(lì)，可將定子振動(dòng)轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)子的直線和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

（2）提出該電機(jī)的驅(qū)動(dòng)模型，定量分析了定子端面質(zhì)點(diǎn)直線位移和旋轉(zhuǎn)角度的輸出波形。結(jié)果表明，在方波的占空比偏離50%后，定子端面的直向位移（或旋轉(zhuǎn)角度）逐漸呈鋸齒波形態(tài)，可有效驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子的直線和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

（3）從壓電陶瓷的傾斜排列和驅(qū)動(dòng)方法入手，采用的單相慣性驅(qū)動(dòng)方式不僅可簡(jiǎn)化驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)，且完全消除了相位差對(duì)電機(jī)性能的影響，具有較高的應(yīng)用價(jià)值。

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