張明霞，令維軍，路飛平

（天水師范學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，甘肅 天水 741001）

1 問(wèn)題的提出

圖1 光柵衍射實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

光柵衍射實(shí)驗(yàn)是波動(dòng)光學(xué)中非常重要的一個(gè)實(shí)驗(yàn)，圖1所示為在分光儀上做光柵衍射實(shí)驗(yàn)時(shí)的簡(jiǎn)單裝置示意圖。[1]高壓汞燈發(fā)出的復(fù)色光先經(jīng)過(guò)準(zhǔn)直管，準(zhǔn)直管的左端為一狹縫S，可看作一縫光源S，它的方向可調(diào)，縫光源S位于準(zhǔn)直管的物方焦面上，準(zhǔn)直管后依次是平面透射光柵（簡(jiǎn)稱光柵）及望遠(yuǎn)鏡，通過(guò)望遠(yuǎn)鏡可將在無(wú)窮遠(yuǎn)處所產(chǎn)生的干涉光譜重現(xiàn)在望遠(yuǎn)鏡的目鏡視場(chǎng)中。

筆者在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，將縫光源S繞準(zhǔn)直管的主光軸旋轉(zhuǎn)，觀察到隨著縫光源同步旋轉(zhuǎn)的彩色的光柵光譜，說(shuō)明譜線的分布特性和縫光源的位置有關(guān)，而縫光源的位置決定了光波通過(guò)光柵時(shí)的入射方式，即譜線的分布特性與入射光波的入射方式有關(guān)?？p光源S可看作無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)光源的集合，準(zhǔn)直管出射的光波并不是全部垂直入射或特殊斜入射于光柵平面，而是包含了多種入射方式（取決于狹縫的方向）。因此，實(shí)驗(yàn)中觀察到的譜線隨著光波入射方式的不同而產(chǎn)生復(fù)雜的變化，而國(guó)內(nèi)大多文獻(xiàn)均僅對(duì)垂直入射或特殊斜入射的光柵光譜分布特性進(jìn)行分析討論。[1-7]一般情況下，單縫衍射和多光束干涉兩種效應(yīng)共同對(duì)光柵光譜分布特性產(chǎn)生影響，但是單縫衍射僅對(duì)譜線的強(qiáng)度起調(diào)制作用，譜線的位置數(shù)目是由多光束干涉決定的。下面，筆者綜合考慮縫光源的位置、光波通過(guò)光柵時(shí)的入射方式及光柵平面上光波相位分布情況，采用矢量圖解法僅對(duì)多光束干涉場(chǎng)進(jìn)行分析及計(jì)算，得到多光束干涉光強(qiáng)分布的一般公式，并通過(guò)多光束干涉光強(qiáng)分布的一般公式解釋實(shí)驗(yàn)中觀察到的隨著縫光源同步旋轉(zhuǎn)的光柵光譜分布特性。

2 多光束干涉光強(qiáng)分布公式推導(dǎo)

2.1 矢量圖解法求多光束干涉光強(qiáng)公式

圖2為多光束干涉光路示意圖，光柵平面內(nèi)有N個(gè)互相平行的單縫在空間周期性排列，單縫寬度為a，d為相鄰單縫對(duì)應(yīng)點(diǎn)的間隔。暫不考慮光波通過(guò)單縫衍射，即不考慮單縫對(duì)譜線強(qiáng)度的調(diào)制作用，假設(shè)每條單縫發(fā)出的光波在θ方向在P點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)振幅為均為a0，得到N個(gè)振動(dòng)，然后把這N個(gè)振動(dòng)疊加起來(lái)，即得到N個(gè)振動(dòng)在P點(diǎn)疊加后的總振幅Aθ.下面用矢量圖解法來(lái)計(jì)算N個(gè)振動(dòng)在P點(diǎn)疊加后的振動(dòng)總振幅Aθ.

圖2 多光束干涉光路示意圖

圖3 多光束干涉矢量合成圖

如圖3所示為多光束干涉矢量合成圖，計(jì)算來(lái)自N條縫合成振動(dòng)的疊加，需要計(jì)算它們之間的相位差，而合成振動(dòng)間的相位差同N條縫對(duì)應(yīng)的發(fā)出的衍射線間的相位差Δφ是一樣的，為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，將兩相鄰狹縫間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在θ方向達(dá)到P點(diǎn)時(shí)的相位差的一半記為ν，令

△L為兩相鄰狹縫間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在θ方向達(dá)到P點(diǎn)時(shí)的光程差。將N條單縫在θ方向達(dá)到P點(diǎn)時(shí)的振動(dòng)矢量a0首尾相接，輻角依次增大2ν，排成正多邊形的一部分，當(dāng)參與疊加的縫的數(shù)目增加時(shí)，正多邊形的一部分可看作一段圓弧，對(duì)應(yīng)的圓心角為2NV，半徑為R，a0對(duì)應(yīng)的圓心角為2V，由圖中的幾何關(guān)系知

由（1）和（2）式可得P點(diǎn)的合振幅為

則多光束干涉光強(qiáng)分布公式為

2.2 縫間干涉因子分析及計(jì)算

由公式（3）知，多光束干涉光強(qiáng)分布取決于多光束干涉因子多光束干涉因子隨著v的變化而變化，v取決于光柵平面上光波相位的分布，而光柵平面上光波相位的分布情況是由光波的入射方式?jīng)Q定的，縫光源的位置不同，光波通過(guò)光柵的入射方式就不同。將縫光源S繞準(zhǔn)直管的主光軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，縫光源S上的每一個(gè)點(diǎn)光源通過(guò)平行光管以不同的方式入射于光柵平面，如圖4所示為任意一個(gè)點(diǎn)光源通過(guò)平行光管后一般斜入射于光柵平面時(shí)的的光路圖，和Y軸平行的虛線代表單狹縫，光柵平面內(nèi)的斜虛線為分別過(guò)A和B兩點(diǎn)的等相位線，即平面光波等相位面和光柵平面α的交線。A和B兩點(diǎn)為相鄰狹縫的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作過(guò)B點(diǎn)的等相位線的垂線，垂足為C點(diǎn)，B和C兩點(diǎn)的相位相等，A和C兩點(diǎn)在入射面β與光柵平面α的交線上，過(guò)A和C兩點(diǎn)的入射線和n軸間夾角為θ0（n軸在β平面內(nèi)且于直線----AC垂直）。

相鄰狹縫上對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和B在θ方向發(fā)出的波線在P點(diǎn)產(chǎn)生的光程差為A和C兩點(diǎn)在θ方向發(fā)出的波線在P點(diǎn)產(chǎn)生的光程差，過(guò)A點(diǎn)作入射線2的垂線，垂足為D，設(shè)則A和C兩點(diǎn)在θ方向發(fā)出的波線在P點(diǎn)疊加的光程差為其中，光程差dsinθ對(duì)平面光波在三維空間所有的入射方向都是相等的（如圖2所示）；d0sinθ0是平面光波到達(dá)光柵平面時(shí)相鄰狹縫對(duì)應(yīng)點(diǎn)光波的光程差，當(dāng)平面光波的入射方向改變時(shí)，d0和θ0同時(shí)發(fā)生變化?！捞?hào)表示入射線和出射線在光柵平面法線同側(cè)時(shí)取+號(hào)，反之，取-號(hào)。

在直角△ABC中，d0=dsinφ，其中φ為過(guò)B點(diǎn)的等相位線與X軸間的夾角，利用幾何關(guān)系，我們不難證明φ角的大小取決于平面光波的入射方式，這一點(diǎn)筆者在文獻(xiàn)[8]中分析單縫衍射時(shí)做過(guò)討論。那么，A和B兩點(diǎn)在θ方向發(fā)出的波線在P點(diǎn)產(chǎn)生的光程差為

同時(shí)考慮A和B兩點(diǎn)在θ方向在P點(diǎn)產(chǎn)生的相位差為2πΔL λ，則

將v代入多光束干涉因子公式，可得多光束干涉因子在光波任意斜入射條件下的一般形式為

將此干涉因子代入光強(qiáng)分布公式（3），得到平面光波在任意斜入射于光柵平面時(shí)的多光束干涉光強(qiáng)分布公式為

其中，為光柵平面內(nèi)過(guò)B點(diǎn)的等相位線與X軸間的夾角，θ0為入射線和n軸間的夾角，θ等于衍射角。

3 利用多光束干涉光強(qiáng)公式解釋光柵光譜的分布特性

由公式（4）知，光波在一般斜入射條件下通過(guò)光柵平面時(shí)，多光束干涉因子拓展為

實(shí)驗(yàn)中觀察到的各級(jí)譜線分布特性是由多光束干涉因子決定的。下面利用多光束干涉因子分析各級(jí)譜線的強(qiáng)度、位置、數(shù)目等分布特性。

當(dāng)

的位置，即dsinθ±dsinφ sinθ0=Kλ，當(dāng)K=0時(shí)，相鄰兩縫光程差為零，譜線為零級(jí)主極大，根據(jù)幾何時(shí)，多光束干涉因子的分子和分母同時(shí)為零，此時(shí)多光束干涉因子取極大值N，譜線的各級(jí)主極大強(qiáng)度均相等，Ip=N2I0.各級(jí)主極大譜線出現(xiàn)在光學(xué)觀點(diǎn)，物像之間具有等光程性，因此零級(jí)譜線就出現(xiàn)在幾何像的位置，物和像相似，再根據(jù)衍射理論，其它各級(jí)譜線和零級(jí)譜線平行，這就解釋了光柵衍射實(shí)驗(yàn)中當(dāng)縫光源S繞準(zhǔn)直管的主光軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，光柵光譜隨著縫光源同步旋轉(zhuǎn)，說(shuō)明譜線的位置和縫光源的位置有關(guān)。譜線的極大值數(shù)目也是由多光束干涉因子決定的，當(dāng)θ=900時(shí)，sin900=1，由計(jì)算知，K的極大值為K的極小值為由此可確定實(shí)驗(yàn)中可以觀察到的主極大譜線的總數(shù)目。由以上分析可知，多光束干涉因子決定了各級(jí)主極大譜線的強(qiáng)度、位置、數(shù)目等分布特性。

4 結(jié)束語(yǔ)

由以上分析及計(jì)算知，多光束干涉光強(qiáng)公式主要取決于縫間干涉因子而縫間干涉因子取決于光柵平面上光波的相位分布，考慮縫光源上每一個(gè)點(diǎn)光源S處于準(zhǔn)直管的物方焦平面上不同方位時(shí)，光柵平面上光波的相位分布不同，縫間干涉因子拓展為進(jìn)而得到全面的多光束干涉光強(qiáng)公式（4），利用此公式可以解釋實(shí)驗(yàn)中所出現(xiàn)的隨縫光源同步旋轉(zhuǎn)的光柵光譜的分布特性。

[1]楊述武,王定興.普通物理實(shí)驗(yàn)·光學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京:高等教育出版社,2005:119-123.

[2]蔡履中.光學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2007:242-246.

[3]姚啟均.光學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,2008:92-96

[4]張明霞,趙玉祥.一般斜入射情形下平面透射光柵衍射現(xiàn)象分析[J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào),2015,35(2).

[5]申志榮.平行光斜入射光柵時(shí)的衍射特性研究[J].陜西科技大學(xué)學(xué)報(bào),2003,21(5).

[6]鄭曙東.非正入射條件的光柵衍射實(shí)驗(yàn)[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,23(4).

[7]段萍,劉金壽.光柵衍射條紋分布的探討[J].大連大學(xué)學(xué)報(bào),2004,25(4):12-13.

[8]張明霞.夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光強(qiáng)分析與探討[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,31(4).