徐小林

(江蘇省如東高級中學(xué) 江蘇 南通 226400)

朱建武

(如東縣馬塘中學(xué) 江蘇 南通 226401)

近期習(xí)讀了文獻(xiàn)[1]，針對文中否定“平行四邊形法則”的不當(dāng)觀點(diǎn)，進(jìn)行深入的剖析，并揭示出靈活運(yùn)用基本的矢量運(yùn)算法則處理問題的規(guī)律方法.

1 重申速度合成和分解的基本法則

高中教材中，一個運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)只要同時參與了兩個分運(yùn)動，則求其合運(yùn)動速度的過程(即速度的合成)，一定要遵循平行四邊形法則.常見的小船渡河問題，2016年高考江蘇物理卷第14題中物塊在移動斜面上的下滑運(yùn)動，都由平行四邊形法則確定分速度與合速度的關(guān)系.但關(guān)鍵必須確認(rèn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)真正同時參與了哪兩個分運(yùn)動，對于不真的“分運(yùn)動”與合運(yùn)動之間，當(dāng)然不能遵循平行四邊形法則.

顯然，速度合成和分解是有法可依的，任何時候都必定遵循共同的矢量運(yùn)算法則，即平行四邊形法則，這無可爭議.

2 糾正對矢量運(yùn)算法則的誤解

運(yùn)用平行四邊形法則進(jìn)行速度合成有時會“失效”嗎？

如圖1所示，同一平面內(nèi)互成夾角θ的兩根桿1和2分別穿過小環(huán)，已知兩桿分別以垂直于桿的速度v1和v2在該平面內(nèi)運(yùn)動，試求小環(huán)的速度.

圖1 桿環(huán)情境圖

圖2是典型錯誤的解法，將v1和v2按照平行四邊形法則進(jìn)行合成，從而得到小環(huán)的速度大小為

圖2 將v1和v2按平行四邊形合成

造成“錯解”的根本原因在哪里？

因?yàn)樾…h(huán)同時在兩根“動桿”上運(yùn)動，對于動桿1而言，小環(huán)的實(shí)際速度必須遵循平行四邊形法則，分解為垂直于桿的分速度v1和沿著桿傳動的分速度v1c；同理，對于動桿2而言，小環(huán)的實(shí)際速度也必須遵循平行四邊形法則，分解為垂直于桿的分速度v2和沿著桿傳動的分速度v2c.小環(huán)兩次運(yùn)用平行四邊形法則的速度正交分解圖，都可以等效簡化為如圖3所示的兩個矢量直角三角形圖.至此發(fā)現(xiàn)，“錯解”的根源在于觀點(diǎn)錯誤，想當(dāng)然地認(rèn)為“兩桿分別以垂直于桿的速度v1和v2”的運(yùn)動是小環(huán)“同時參與的兩個分運(yùn)動”，忽視了沿著兩桿方向上都有傳動分速度.事實(shí)上小環(huán)的實(shí)際速度正是按照平行四邊形法則兩次正交分解，才能得到如圖3所示的小環(huán)速度分別與兩對分速度之間正確的矢量關(guān)系圖.因此，運(yùn)用平行四邊形法則進(jìn)行速度合成或分解，不會出現(xiàn)有時“失效”.

圖3 簡化為矢量直角三角形

3 巧用高一數(shù)學(xué)知識簡化求導(dǎo)速度表達(dá)式

求小環(huán)速度的常見方法是，結(jié)合圖3列出3個方程：v1=vcosα，v2=vcosβ，α+β=θ，然后變形推導(dǎo)出3個三角函數(shù)等式，綜合求得正確結(jié)果為

但具體求解過程做了就知道有多復(fù)雜.

由于圖3中兩個矢量直角三角形有共同的外接圓，若將兩個傳動分速度去掉，根據(jù)數(shù)學(xué)知識圖3可以簡化為圖4，小環(huán)速度v應(yīng)是圓的直徑.

圖4 去掉兩個傳動分速度后的簡化圖

圖4只反映了小環(huán)速度v與速度v1和v2之間特殊的“約束關(guān)系”，而不是一個合速度與它的兩個分速度的“合成關(guān)系”，當(dāng)然不符合平行四邊形法則.在圖4三角形ABO中，運(yùn)用高一數(shù)學(xué)中的余弦定理和正弦定理推論，得到AB邊長的表達(dá)式分別為

AB=vsinθ

由上二式快速得解.

4 澄清是非 矢量運(yùn)算法則不容否定

文獻(xiàn)[1]開頭說，“筆者認(rèn)為，2013年上海物理卷第20題是一道多年來罕見的好題，這道題的存在，強(qiáng)有力地提醒著我們不能濫用平行四邊形矢量合成法則”；文章最后再強(qiáng)調(diào)，“求解2013年高考上海物理卷第20題時，矢量合成法則不能用.一部分中學(xué)物理教師也在糾結(jié)為什么.筆者認(rèn)為，造成這種局面是因?yàn)楦咧形锢斫滩陌严鄬\(yùn)動問題按運(yùn)動的合成和分解處理，存在不當(dāng).”針對以上不當(dāng)觀點(diǎn)，有必要澄清是非，力挺矢量運(yùn)算法則.

2013年高考上海物理卷第20題：如圖5所示，在平靜的海面上兩艘拖船A和B拖著駁船C運(yùn)動，A，B的速度分別沿著纜繩CA和CB方向，A，B，C不在一條直線上.由于纜繩不可伸長，因此C的速度在CA，CB方向的投影分別與A，B的速度相等，由此可知C的( )

A.速度大小可以介于A，B的速度大小之間

B.速度大小一定不小于A，B的速度大小

C.速度方向可能在CA和CB的夾角范圍外

D.速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內(nèi)

圖5 2013年高考上海物理卷第20題題圖

圖6 速度約束關(guān)系圖1

解析:纜繩CA和CB都是不可伸長的“動繩”，C的速度并非A，B速度的合速度.分別對兩根“動繩”運(yùn)用平行四邊形法則，將C的速度兩次正交分解.并用與“平行四邊形法則”本質(zhì)相同的“矢量三角形法則”，可得出與圖4同理的如圖6所示的速度約束關(guān)系圖.也可能有如圖7所示情形.兩圖中C的速度都為圓的直徑.選項(xiàng)B,C正確.

圖7 速度約束關(guān)系圖2

此解析篇幅不到文獻(xiàn)[1]同題分析的五分之一，說明矢量運(yùn)算法則威力十足.

可以假想，如果此題改成“三艘拖船拖著駁船C運(yùn)動”，或者將前例改成“三根桿子分別穿過同一個小環(huán)運(yùn)動”，仍然都必須運(yùn)用平行四邊形法則將“C的速度”或“小環(huán)的速度”，分別進(jìn)行三次正交分解.再運(yùn)用“矢量三角形法則”，由于3個矢量直角三角形有共同的外接圓，將合速度與另外3個速度的關(guān)系圖，畫在同一個以合速度為圓的直徑的圓中.4個速度之間的“約束關(guān)系圖”(并非“合成關(guān)系圖”)有了，結(jié)合題設(shè)條件，相關(guān)問題就一定能夠分析解決.即使改成更多艘拖船拖著駁船運(yùn)動，更多根桿子分別穿過同一個小環(huán)運(yùn)動，而運(yùn)用矢量運(yùn)算法則解決問題的規(guī)律方法不會改變，筆者1991年提出的速度分解“三個必須”的原則不能改變.

事實(shí)證明，高中物理教材把相對運(yùn)動問題按運(yùn)動的合成和分解處理，這根本沒有什么不當(dāng).速度合成和分解運(yùn)算依然必須堅(jiān)持靈活運(yùn)用平行四邊形法則，關(guān)鍵要找到速度之間正確的“約束關(guān)系”，也要防止在速度之間建立錯誤的“合成關(guān)系”.文獻(xiàn)[1]中構(gòu)想的“相對運(yùn)動的圖示”，雖有一定的獨(dú)創(chuàng)性，但因?qū)W生認(rèn)知能力所限，明顯不及運(yùn)用基本的矢量運(yùn)算法則，通過“同一圓中速度約束關(guān)系圖”處理問題，更通俗易懂、簡便明快.

參 考 文 獻(xiàn)

1 程靖龍.論相對運(yùn)動的圖示.物理通報，2017(5)：105～109

2 朱建武.動繩上各點(diǎn)速率不都相等.物理教師，1991(12):29

3 孫炳盛，王曉娟.速度的“投影”關(guān)系和“約束”關(guān)系.物理教學(xué)，2017(10): 19～20