羅 君，喬高秀，王 璐

（1.西南財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，成都 611130；2.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756）

0 引言

2015年，我國(guó)滬深兩市單日成交額不斷刷新，各項(xiàng)指數(shù)不斷攀高，在6月創(chuàng)出歷史最高點(diǎn)5178；然而隨后兩個(gè)多月內(nèi)，千股跌停的事件重復(fù)上演，累計(jì)跌幅高達(dá)45%。機(jī)構(gòu)投資者、散戶和專家學(xué)者見證了我國(guó)股市跌宕起伏、風(fēng)雨交加的形勢(shì)，從“瘋?！钡健肮蔀?zāi)”的演變過(guò)程。

研究發(fā)現(xiàn)，重大的政治和經(jīng)濟(jì)變革、技術(shù)創(chuàng)新、金融風(fēng)暴、新政策的出臺(tái)等因素都將引起股市收益率波動(dòng)結(jié)構(gòu)發(fā)生顯著變化。隨著全球金融市場(chǎng)波動(dòng)加劇，很多學(xué)者試圖找到合適的模型來(lái)刻畫波動(dòng)率的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換特征。Hamilton（1994）[1]首次將馬爾科夫結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換機(jī)制與ARCH模型結(jié)合，建立了具有馬爾可夫結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換機(jī)制的ARCH模型，被廣泛地應(yīng)用于金融時(shí)間序列的波動(dòng)率結(jié)構(gòu)變化分析。Klaassen（2002）[2]對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移GARCH模型進(jìn)行改進(jìn)，利用前一時(shí)刻的條件均值代替當(dāng)前時(shí)刻的方差，給出了波動(dòng)率多步向前預(yù)測(cè)的顯示表達(dá)。Marcucci（2005）[3]利用MRSGARCH模型分析預(yù)測(cè)美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾100指數(shù)（S&P100），發(fā)現(xiàn)在均方誤差作為準(zhǔn)則的統(tǒng)計(jì)損失函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)下，MRS-GARCH模型比標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型能更精確地預(yù)測(cè)股市波動(dòng)。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)滬深股市波動(dòng)率的結(jié)構(gòu)特征也進(jìn)行了不少實(shí)證研究[4,5]。

本文在已有研究的基礎(chǔ)上，采用Klaassen（2002）[2]的MRS-GARCH模型研究2015年滬深股市波動(dòng)率結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換特征的異常行為。為了比較股災(zāi)發(fā)生時(shí)股市波動(dòng)率的異常行為，本文進(jìn)一步給出了基于2005—2015年樣本的實(shí)證結(jié)果，并對(duì)MRS-GARCH模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)分析。

1 MRS-GARCH模型

1.1 模型介紹

狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型本質(zhì)是根據(jù)波動(dòng)變化特征選擇不同的狀態(tài)變量，使之可確切地刻畫不同狀態(tài)的真實(shí)現(xiàn)狀。狀態(tài)變量st在不同狀態(tài)間轉(zhuǎn)變遵循馬爾科夫過(guò)程。其一階轉(zhuǎn)換概率為：

其中，pij表示由t-1時(shí)刻狀態(tài)i轉(zhuǎn)換到t時(shí)刻狀態(tài) j的概率。通常說(shuō)來(lái)，兩個(gè)狀態(tài)的馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣形式為：

一般情況下，MRS-GARCH模型為：

其中，f(.)表示可能的條件分布，包括正態(tài)分布(N)、學(xué)生分布(T)及廣義誤差分布(GED)；θt(i)表示狀態(tài)i下不同分布特征的參數(shù)集合；p1't=Pr[st=1|ζt-1]表示t時(shí)刻處于狀態(tài)1的概率，其ζt-1涵蓋了t時(shí)刻前觀察到的所有方差信息。

確切地講，時(shí)變的參數(shù)被分解為三部分，滿足下列等式：

其中表示條件均值表示條件方差，νt(i)表示條件分布的參數(shù)。

MRS-GARCH模型包含了四個(gè)部分：條件均值、條件方差、狀態(tài)轉(zhuǎn)移機(jī)制和條件分布。從MRS-GARCH模型結(jié)構(gòu)分析可知，求解rt的密度函數(shù)等價(jià)于求解條件均值、條件方差和時(shí)變條件分布的各個(gè)參數(shù)。rt的條件均值方程是一個(gè)隨機(jī)游走過(guò)程（可能存在截距項(xiàng)），條件方差方程是根據(jù)整個(gè)狀態(tài)路徑（包括未觀測(cè)到的路徑），其表達(dá)形式如式（4）和式（5）：

其中，i=1'2，νt是一個(gè)零均值，方差為1的隨機(jī)變量。

與GARCH(1,1)模型條件方差方程類似，MRS-GARCH模型條件方差表示為：

其中，ht-1代表無(wú)狀態(tài)依賴歷史條件方差。

為了規(guī)避方差依賴于過(guò)往時(shí)期的全部狀態(tài)路徑，同時(shí)便于實(shí)現(xiàn)多步向前預(yù)測(cè)，Klaassen（2002）[2]在Gray（1996）[6]的方法上進(jìn)行改進(jìn)，基于t-1時(shí)刻的條件均值代替條件方差，其表達(dá)形式為：

其中，t-1時(shí)刻條件均值計(jì)算為：

在捕捉股市收益率處于不同狀態(tài)下的特征和轉(zhuǎn)換機(jī)制時(shí)，通常使用兩種狀態(tài)（高/低波動(dòng)）的MRS-GARCH(1，1)模型：

1.2 參數(shù)估計(jì)

研究表明，馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型的參數(shù)估計(jì)可以采用極大似然估計(jì)方法，但最關(guān)鍵的問題是能刻畫出先驗(yàn)概率 p1't=Pr(St=1|ζt-1)，即根據(jù)t-1時(shí)刻前的信息計(jì)算t時(shí)刻處于狀態(tài)1時(shí)的概率值。其一般表達(dá)式為：

其中，pij表示t-1時(shí)刻處于狀態(tài)i到t時(shí)刻處于狀態(tài)j的轉(zhuǎn)換概率。對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下：

其中 f(.|st=i)表示t時(shí)刻處于狀態(tài)i時(shí)的條件分布函數(shù)。

1.3 模型預(yù)測(cè)

Klaassen（2002）[2]的MRS-GARCH模型與其他MRSGARCH模型相比有一個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)，即給出了多步向前波動(dòng)預(yù)測(cè)的顯示表達(dá)，其計(jì)算公式是基于標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型結(jié)構(gòu)通過(guò)遞推的方式得到。以T時(shí)刻為預(yù)測(cè)原點(diǎn)，m步向前的波動(dòng)預(yù)測(cè)的計(jì)算式：

其中，表示T時(shí)刻起向前m步的方差預(yù)測(cè)之和，h?(i)

T'T+τ表示時(shí)刻T處于狀態(tài)i向前τ步的方差預(yù)測(cè)值，可以通過(guò)遞推的方式計(jì)算：

可見，多步向前的波動(dòng)預(yù)測(cè)值可以通過(guò)對(duì)各個(gè)狀態(tài)下多步向前方差預(yù)測(cè)值的加權(quán)平均計(jì)算而得，其中，權(quán)重是由預(yù)測(cè)概率決定。通常情況下，計(jì)算方差預(yù)測(cè)值會(huì)采用濾波概率。其中，間隔為τ時(shí)的濾波概率為：

2 實(shí)證分析

2.1 樣本選取與描述性分析

滬深300指數(shù)作為反映A股市場(chǎng)整體走勢(shì)的一個(gè)重要指標(biāo)，具有較好的市場(chǎng)知名度和較高的市場(chǎng)覆蓋率，能真實(shí)全面地反映市場(chǎng)股市的價(jià)格動(dòng)態(tài)演變。因此，本文以滬深300指數(shù)日收盤價(jià)為樣本來(lái)研究滬深股市波動(dòng)率的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換特征，2015年全年的樣本量為237，數(shù)據(jù)來(lái)源于雅虎財(cái)經(jīng)數(shù)據(jù)信息平臺(tái)。

圖1給出了滬深300指數(shù)在2015年的日收盤價(jià)和收益率?？梢钥闯?，滬深300指數(shù)收益率波動(dòng)具有明顯的聚集性、突發(fā)性、時(shí)變性等特征，股市在6月達(dá)到最高點(diǎn)，8月跌至最低點(diǎn)。

圖1 2015年滬深300指數(shù)收盤價(jià)和收益率

對(duì)滬深300指數(shù)收益率的描述性統(tǒng)計(jì)分析見表1?？梢钥吹?，滬深300指數(shù)收益率的峰度明顯高于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布峰度值3，且偏度小于0，則分布呈現(xiàn)左偏趨勢(shì)，樣本的峰度值和偏度值說(shuō)明了分布呈現(xiàn)明顯的尖峰肥尾特征；JB統(tǒng)計(jì)量的值可以進(jìn)一步論證收益率序列不服從正態(tài)分布；LM統(tǒng)計(jì)量的相伴概率 p值均小于給定的顯著性水平值0.01，表明收益率序列具有高階ARCH效應(yīng)，因此本文可以利用條件異方差模型來(lái)擬合收益率的波動(dòng)性。

表1 滬深300指數(shù)收益率描述性統(tǒng)計(jì)量

2.2 MRS-GARCH模型估計(jì)結(jié)果

本文為簡(jiǎn)化參數(shù)估計(jì)，選取一階的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，并假設(shè)模型的殘差項(xiàng)分別服從正態(tài)分布（N）、學(xué)生分布（T）、廣義誤差分布（GED），且認(rèn)為學(xué)生分布自由度也會(huì)隨著狀態(tài)的變化而改變，用T1和T2表示低、高低狀態(tài)下的不同自由度。表2給出了通過(guò)極大似然估計(jì)方法得到的MRS-GARCH模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果，其中，狀態(tài)1、狀態(tài)2分別表示股市處于低、高波動(dòng)狀態(tài)，其中，p表示從狀態(tài)1演變到狀態(tài)1的概率，q表示從狀態(tài)2演變到狀態(tài)2的概率；ρi=α1(i)+β1(i)(i=1'2)反映高、低狀態(tài)下波動(dòng)率的持續(xù)性。

表2 MRS-GARCH模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（2015年）

由表2可以看出，在低、高波動(dòng)狀態(tài)下，參數(shù)間存在著顯著的差異，說(shuō)明滬深300指數(shù)收益率的波動(dòng)存在明顯的高、低波動(dòng)兩種狀態(tài)，且波動(dòng)在不同狀態(tài)之間的行為也存在較大差異。在低波動(dòng)狀態(tài)，影響當(dāng)前期波動(dòng)的主要因素是前一期波動(dòng)信息，而在高波動(dòng)狀態(tài)，影響當(dāng)前期波動(dòng)的因素主要是前一期的殘差擾動(dòng)項(xiàng)。從波動(dòng)的持續(xù)性ρi(i=1'2)結(jié)果顯示，滬深300指數(shù)波動(dòng)處于低波動(dòng)狀態(tài)持續(xù)性大致為0.75，處于高波動(dòng)狀態(tài)持續(xù)性在0.96左右，表明2015年滬深300指數(shù)處于高波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)性明顯強(qiáng)于處于低波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)性。從轉(zhuǎn)移概率值可以發(fā)現(xiàn)，從低波動(dòng)狀態(tài)向低波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率值超過(guò)0.96，從高波動(dòng)狀態(tài)向高波動(dòng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率值僅是0.39左右。從高、低兩狀態(tài)轉(zhuǎn)化分析，波動(dòng)狀態(tài)從高向低演變的可能性（0.61）明顯大于從低向高演變（0.05），表明2015年滬深300指數(shù)收益率波動(dòng)更傾向于從高狀態(tài)轉(zhuǎn)移到低狀態(tài)。

由于擾動(dòng)項(xiàng)分布不同時(shí)MRS-GARCH模型估計(jì)先驗(yàn)概率和兩狀態(tài)波動(dòng)率相差不大，圖2給出了MRS-GARCH-N模型處于高波動(dòng)狀態(tài)時(shí)先驗(yàn)概率、以及在高、低狀態(tài)下的方差。若先驗(yàn)概率值越大，滬深股市處于高波動(dòng)狀態(tài)的可能性越大。圖2顯示在2015年第二季度末至第三季度，處于高波動(dòng)狀態(tài)的概率值隨著時(shí)間變化高低起伏，且高波動(dòng)狀態(tài)方差明顯高于低波動(dòng)狀態(tài)方差，表明股市波動(dòng)劇烈。這正與2015年我國(guó)股市的實(shí)際狀況吻合，股市在6月飆升至最高點(diǎn)，隨后開始斷崖式的跌落。

圖2 MRS-GARCH-N模型先驗(yàn)概率概率和方差（2015年）

2.3 比較分析

為了與股災(zāi)發(fā)生時(shí)滬深股市波動(dòng)率的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換特征作比較，本文進(jìn)一步選取2005年4月8日至2015年12月18日滬深300指數(shù)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為樣本得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果，見表3。

表3 MRS-GARCH模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果（2005—2015年）

由表3可知，滬深300指數(shù)收益率的波動(dòng)存在明顯的高、低波動(dòng)狀態(tài)。波動(dòng)的持續(xù)性ρi(i=1'2)的值均大于0.89，說(shuō)明滬深300指數(shù)波動(dòng)處于高、低狀態(tài)的持續(xù)性均較強(qiáng)；但也存在細(xì)微的差異，例如在MRS-GARCH-GED模型中，股市在低波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)性強(qiáng)于高波動(dòng)狀態(tài)。從轉(zhuǎn)移概率 p和q可知，滬深300指數(shù)波動(dòng)更易在同類狀態(tài)間轉(zhuǎn)換，即從高波動(dòng)狀態(tài)向低波動(dòng)狀態(tài)演變或者從低波動(dòng)狀態(tài)向高狀態(tài)波動(dòng)演變的概率值均較小。

下頁(yè)圖3給出了MRS-GARCH-GED模型處于狀態(tài)2的先驗(yàn)概率和兩狀態(tài)下的方差，其中黑實(shí)線表示狀態(tài)1下的方差，灰虛線表示狀態(tài)2下的方差。

從圖3可知，自從2005年開始實(shí)施股權(quán)分置政策以后，到2006年部分非流通股上市，股市波動(dòng)開始逐步增強(qiáng)，2007年進(jìn)入了高波動(dòng)狀態(tài)。這可能是由于市場(chǎng)中股票流通量的增加以及次貸危機(jī)的影響，滬深股市在雙重因素的影響下從制高點(diǎn)往下跌，并一直處于高波動(dòng)狀態(tài)，直至2008年美國(guó)的次貸危機(jī)演繹成全球金融危機(jī)，經(jīng)濟(jì)增速緩慢，股市持續(xù)下跌，波動(dòng)較低。2009年國(guó)家放松財(cái)政和貨幣政策，確立以“調(diào)結(jié)構(gòu)、促銷費(fèi)”經(jīng)濟(jì)發(fā)展理念及市場(chǎng)自身調(diào)節(jié)能力，上市公司并購(gòu)重組活躍，股市開始反彈上漲并處于高波動(dòng)狀態(tài)；滬深股市波動(dòng)經(jīng)歷了2008年、2009年的大起大落，伴隨著中央宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控及時(shí)有效地實(shí)施，股市開始扭轉(zhuǎn)趨勢(shì)并在隨后幾年里保持平緩的趨勢(shì)，股市波動(dòng)處于低狀態(tài)；2015年股市跌倒起伏，從2015年6月12日的最高點(diǎn)開始出現(xiàn)斷崖式下跌。一方面是由于中國(guó)處于經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型期，監(jiān)管出現(xiàn)漏洞，導(dǎo)致短期炒作、迅速套利現(xiàn)象顯著，另一方面是市場(chǎng)“融資”“融金”“配資”規(guī)?？焖侔l(fā)展，引發(fā)股價(jià)快速持續(xù)上漲孕育了“泡沫式”的股票市場(chǎng)，因此導(dǎo)致2015年股市劇烈波動(dòng)。

圖3 MRS-GARCH-GED模型先驗(yàn)概率和方差（2005—2015）

2.4 模型評(píng)價(jià)

本文采用四個(gè)常見的統(tǒng)計(jì)量作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，包括AIC值、BIC值、對(duì)數(shù)似然函數(shù)（LOG(l)）及均方誤差（MSE），對(duì)各個(gè)模型估計(jì)結(jié)果及樣本內(nèi)的預(yù)測(cè)能力進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中：是隱含的真實(shí)波動(dòng)率，是波動(dòng)率的預(yù)測(cè)值。利用Marcucci制作的程序包，以對(duì)數(shù)收益率的平方近似隱含的真實(shí)波動(dòng)率，通過(guò)一步窗口滾動(dòng)方法，做向前一步的樣本內(nèi)預(yù)測(cè)。結(jié)果見表4。

由表4可知，綜合各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)表明狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型的擬合效果和樣本內(nèi)的預(yù)測(cè)能力優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型，認(rèn)為我國(guó)滬深股市波動(dòng)存在著明顯的高、低狀態(tài)間轉(zhuǎn)換行為。2015年股災(zāi)發(fā)生時(shí)MRS-GARCH-N模型擬合效果最佳，而在2005—2015年此階段發(fā)現(xiàn)MRS-GARCH-GED模型具有更好的擬合效果。

3 結(jié)論

本文采用Klaassen（2002）[2]的MRS-GARCH模型研究我國(guó)股市波動(dòng)率的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換特征，特別是2015年股市動(dòng)蕩期間的表現(xiàn)。結(jié)果顯示，滬深股市存在顯著的波動(dòng)聚集性、持續(xù)性，這與國(guó)外高度成熟的證券市場(chǎng)股市波動(dòng)結(jié)論相似，表明我國(guó)股票市場(chǎng)經(jīng)過(guò)十幾年的發(fā)展逐步趨向成熟。同時(shí)，滬深股市存在明顯的高、低波動(dòng)，且波動(dòng)在不同狀態(tài)的行為存在差異性。

表4 各模型評(píng)價(jià)結(jié)果

滬深股市波動(dòng)存在著高、低狀態(tài)間轉(zhuǎn)換行為。2005—2015年的全樣本實(shí)證結(jié)果得知滬深300指數(shù)波動(dòng)更易在同類狀態(tài)間轉(zhuǎn)換，即從高波動(dòng)狀態(tài)向高波動(dòng)狀態(tài)演變或者從低波動(dòng)狀態(tài)向低狀態(tài)波動(dòng)演變的概率值均較大；然而在2015年股災(zāi)背景下，滬深股市更易于從高波動(dòng)狀態(tài)向低波動(dòng)狀態(tài)演變(p在0.95附近，但q在0.38附近)，表明了2015年滬深股市波動(dòng)的異常行為。

在股災(zāi)背景下，滬深股市波動(dòng)處于高狀態(tài)（ρ2在0.96左右）持續(xù)性強(qiáng)于低狀態(tài)（ρ1在0.74左右）；而全樣本擬合結(jié)果顯示股市處于低、高狀態(tài)的持續(xù)性均較強(qiáng)，但股市處于低波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)性略強(qiáng)于高波動(dòng)狀態(tài)(ρ1=0.997'ρ2=0.925)。因此，進(jìn)一步說(shuō)明2015年滬深股市處于高波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)性大于整個(gè)樣本階段處于高波動(dòng)狀態(tài)的持續(xù)性。

[1]Hamilton J D.Time Series Analysis[M].Princeton：Princeton University Press，1994.

[2]Klaassen F.Improving GARCH Volatility ForecastsWith Regime-Switching GARCH[J].Empirical Economics，2002,27(2).

[3]Marcucci J.Forecasting Stock Market Volatility With Regime-Switching GARCH Models[J].Studies in Nonlinear Dynamics&Econometrics，2005,9(4).

[4]劉家鵬，蘇濤.中國(guó)股市非對(duì)稱性收益的實(shí)證研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2010,(3).

[5]趙健.不同分布下中國(guó)股市波動(dòng)性解析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2014,(16).

[6]Gray S.Modeling the Conditional Distribution of Interest Rates as a Regime Switching Process[J].Journal of Financial Economics，1966,42(1).