李代輝

【內容摘要】本文通過對一類分式函數y=ax+bcx+d的草圖探究，達到快速求解其函數性質的目的。

【關鍵詞】反比例函數 平移 分式函數圖形 圖形性質應用

在高中的函數學習中，經常會出現的一類分式函數式為分子分母關于自變量為一次的分式形式，即y=ax+bcx+d，對這種問題的處理常用的做法為分離常數法。即，將函數轉化為y=kx+m+n后進行研究。如果能夠快速得到y(tǒng)=kx+m+n的圖形則對研究這類函數的性質非常有幫助。下面首先研究這類函數的圖形。

比較反比例函數y=kx（k≠0）與y=kx+m+n的表達式發(fā)現：如果令f（x）= kx，則y=kx+m+n就為y=f（x+m）+n。由函數平移的結論y=kx+m+n的圖形可以由y=kx（k≠0）通過平移“左加右減”得到。但反比例函數的圖形雙曲線如何平移的呢？針對y=kx+m+n有沒有更快的辦法呢？這一點初中沒有講到，需要舉例觀察。

如圖：利用幾何畫板我們得到了一個y=3x與y=3x+3+2的圖形，比較兩個圖形，可知都是雙曲線。其差別為y=3x是以原點為對稱中心，從對稱中心出發(fā)作x，y軸的垂線得到漸近線，在漸近線的基礎上畫出雙曲線來。而y=3x+3+2是以（-3，2）為對稱中心，從從對稱中心出發(fā)作x，y軸的垂線得到x=-3和y=2做漸近線，在漸近線的基礎上畫出雙曲線來。比較y=3x與y=3x+3+2的對稱中心（0，0）和（-3，2）發(fā)現，都是當分母為0時得到的x為對稱中心橫坐標，分式為0時得到的y為對稱中心縱坐標。所以要找一般的y=kx+m+n（k≠0）的對稱中心只需要令分母、分式為0時得到的x，y值就是對稱中心 （-m，n），從對稱中心出發(fā)作x，y軸垂線，得到的就是漸近線，沿漸近線作雙曲線（由k確定大?。┚偷玫統(tǒng)=kx+m+n（k≠0）的圖形了。下舉例說明。

例題1：已知y=2x+12x-4，求①求y的值域；②x≥3時，求y值域；③y≥6時，求x的范圍；④當x≥3時，求函數單調性；

解：∵y=2x+12x-4=2（x+12）2（x-2）=1+52x-2

作出草圖，計算出端點A（3，3.5），B（2.5，6）看圖得：

①y∈（-∞，1]∪（1，+∞）；

②y∈（1，3.5]；

③x∈（2，2.5]；

④函數單減。

綜上可知，求解類似于y=ax+bcx+d的函數問題時，通過分離常數法轉化為y=kx+m+n（k≠0）的形式，然后通過找對稱中心快速作出雙曲線來，經過看圖說話可以很快得到答案。

（作者單位：德陽市旌陽區(qū)德陽中學校）

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