曹文飛， 韓國棟

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119)

我們正處在一個高新技術(shù)蓬勃發(fā)展的時代，數(shù)學(xué)對高新技術(shù)的發(fā)展發(fā)揮巨大的推動作用.正如應(yīng)用數(shù)學(xué)家David[1]指出：很少有人認(rèn)識到，被如此稱頌的高新技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù).因此，良好的數(shù)學(xué)教育在這個年代顯得尤為迫切.高等數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)教育中不可缺少的重要環(huán)節(jié)，因而如何講授好高等數(shù)學(xué)，給學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是一個重要的研究課題.

直觀性、簡潔性與統(tǒng)一性是高等數(shù)學(xué)教材設(shè)計中所遵從的一般原則[2].比如講授一元函數(shù)的“積分”概念時，教材里通過極限給出積分的嚴(yán)格定義，但是此種定義比較抽象，一般都是通過積分的幾何含義——面積來直觀地理解積分的本質(zhì)，從而讓學(xué)生容易掌握積分的概念.另外，簡潔性和統(tǒng)一性在數(shù)學(xué)教材設(shè)計也是應(yīng)遵從的重要原則.比如在講授多元函數(shù)積分定義時，一般教材里都借助二元函數(shù)來展示多元函數(shù)積分的定義，并用盡可能精煉的語言將此定義闡述清楚.相反，采用多元函數(shù)一般抽象形式并用冗長文字?jǐn)⑹龅姆绞街粫尦鯇W(xué)者望而卻步.由此可見，“簡潔性”原則顯得尤為重要.另外，多元與一元函數(shù)的積分定義在形式上可統(tǒng)一起來，這種統(tǒng)一性也有利于學(xué)生記住積分的定義.可是，在當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教材中，多元函數(shù)泰勒公式的表述顯得艱澀難懂.具體來說，一方面相比于逐項(xiàng)展開形式的泰勒公式，通過多項(xiàng)展開式進(jìn)行表達(dá)的泰勒公式雖有一定的簡潔性，但仍顯抽象復(fù)雜；另一方面，多元函數(shù)泰勒公式與一元函數(shù)泰勒公式在形式上不夠統(tǒng)一.為此，本文借助張量與張量積[3]運(yùn)算引入多元函數(shù)泰勒公式的一種新表達(dá)，這種表達(dá)具有直觀理解性以及與一元函數(shù)泰勒公式在形式上統(tǒng)一性的優(yōu)點(diǎn)，從而能夠讓學(xué)生輕松地掌握本知識點(diǎn).

圖1 張量的直觀展示

2 張量簡介

張量是矩陣[4-5]的高階擴(kuò)展，在信號處理、計算化學(xué)、計量心理學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用.通常的向量可視為一階張量，矩陣可視為二階張量.圖1分別展示出行向量、矩陣與3階張量的直觀形式.4階及以上階張量可視為高維幾何中的長方體.

圖2 張量積示例

3 多元函數(shù)泰勒公式的張量表達(dá)

為了方便敘述，本文以三元函數(shù)的三階泰勒展開式為例.設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在點(diǎn)u0的鄰域Nρ(u0)內(nèi)是3階連續(xù)可微的，設(shè)任意點(diǎn)u∈Nρ(u0)，點(diǎn)u0的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，點(diǎn)u的坐標(biāo)為(x,y,z)，坐標(biāo)差分分別為Δx=x-x0，Δy=y-y0，Δz=z-z0以及Δu=(x-x0,y-y0,z-z0)T.

從上述例子可看出，一階導(dǎo)數(shù)中每個元素針對x,y,z三個方向分別求偏導(dǎo)，通過這種擴(kuò)展就得到二階導(dǎo)數(shù)矩陣，二階導(dǎo)數(shù)中每個元素針對x,y,z三個方向分別求偏導(dǎo)，通過這種擴(kuò)展就得到三階導(dǎo)數(shù)張量.更高階導(dǎo)數(shù)可以依次類推得到.

基于上述函數(shù)導(dǎo)數(shù)的張量表示，給出三元函數(shù)泰勒展開式的一種新表達(dá)形式.回顧高等數(shù)學(xué)教材里的泰勒展開式[6]：

基于導(dǎo)數(shù)的張量表示以及張量積運(yùn)算，不難驗(yàn)證：

將上述等式代入教材里提到的泰勒公式，我們得到多元函數(shù)泰勒展開式的一種新表達(dá)如下：

從上述新表達(dá)可看出：

(1)諸項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)可通過幾何拓展的方法得到，導(dǎo)數(shù)越高，通過幾何拓展得到的張量階數(shù)也越高，這種新導(dǎo)數(shù)表達(dá)具有直觀的幾何意義；

(2)右端展開式中的每項(xiàng)都由導(dǎo)數(shù)與坐標(biāo)差分行向量的張量積組成，張量某模態(tài)與行向量的張量積就是張量切面與該行向量的線性組合之和，這種表示具有明確的幾何含義；

(3)右端展開式可認(rèn)為是一元泰勒公式的直接推廣，因此新表達(dá)具有形式上的統(tǒng)一性.

綜上所述，多元函數(shù)泰勒公式的新表達(dá)具有直觀的幾何含義和形式上的統(tǒng)一性，這些優(yōu)點(diǎn)有利于學(xué)生們的理解和掌握，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用泰勒公式的興趣.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 劉黃清.數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)體系中的地位和作用[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2004,3(1):64-68.

[2] 王錦瑞.省屬高校數(shù)學(xué)專業(yè)雙語教學(xué)評價指標(biāo)研究[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2016,19(6):7-11.

[3] KOLDA T G,BADER B W.Tensor decompositions and applications[J].SIAM Review,2009,51(3):455-500.

[4] 王新奇.矩陣的Kronecker積的應(yīng)用[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,18(4):22-25.

[5] 宋占奎，莫德華，郭繼.矩陣與線性空間直和研討數(shù)例[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,19(1):100-102.

[6] 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，等.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.