◎李海峰

引言：學(xué)好數(shù)學(xué)，就要明白數(shù)學(xué)的解題過程，數(shù)學(xué)的解題過程就是把那些復(fù)雜未知的問題化成我們課本上的，能夠用所學(xué)過的知識(shí)來解決的問題，從而來求解。那么，怎樣轉(zhuǎn)化它們呢？怎么去尋找它們之間的聯(lián)系？這不僅需要我們平時(shí)勤學(xué)苦做題，達(dá)到對(duì)各種數(shù)學(xué)問題深刻理解其規(guī)律，還要掌握一定的方法，所以我們平時(shí)要注意總結(jié)歸納一些好的數(shù)學(xué)思想方法。下面，我們就數(shù)學(xué)中常用的代換法法做一些討論，歸納其在方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列等問題中的應(yīng)用。

一、代換法求解方程

例：解方程組

解：設(shè)，原方程組化為：

這是一個(gè)二元一次方程組，易求得

由u＝10，得10，即.

經(jīng)檢驗(yàn)原方程組的解是

評(píng)析：看到分式方程組首先我們想到化為整式方程組，通過巧妙換元我們把分式方程組化成一個(gè)一元二次方程組就很容易求解了

二、運(yùn)用代換法法研究函數(shù)問題

例：定義在 R上的函數(shù) y＝f（x），當(dāng) x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意 a、b∈R有 f（a+b）＝f（a）·f（b），又 f（0）≠0。

（1）求證：f（0）＝1；

（2）求證：對(duì)有 x∈R，有 f（x）＞0；

（3）求證：f（x）是 R上增函數(shù)；

（4）求證：解不等式：f（x）·f（2x-x2）＞1證明（1）由得因?yàn)樗?f（a+b）＝f（a）·f（b）得 f（0+0）＝f（0）·f（0）。因?yàn)?f（0）≠0，所以 f（0）＝1。

（2）當(dāng) x≥0時(shí)，f（x）≥1＞0；當(dāng) x＜0時(shí)，因?yàn)?-x＞0，所以 f（-x）＞0。由 f［x+（-x）］＝f（x）·f（-x），知 f（x）＝f（0）f（-x）＞0。綜上知：x∈R，有 f（x）＞0。

（3）設(shè) x1＜x2，則 x2-x1＞0，因?yàn)?f（x2）＝f（x2-x1+x1）＝f（x2-x1）·f（x1）；又當(dāng)x2-x1＞0時(shí)，f（x2-x1）＞1，且f（x1）＞0。所以f（x2）＝f（x2-x1）·f（x1）＞f（x1），因此 f（x）是 R上增函數(shù)。

（4）由 f（x）·f（2x-x2）＞1，又 f（0）＝1，故 f（x+2x-x2）＞f（0），又f（x）是 R上增函數(shù)，所以3x-x2＞0，所以0＜x＜3。

評(píng)析：對(duì)于未知函數(shù)，要研究它與坐標(biāo)軸的關(guān)系、單調(diào)性，我們可以進(jìn)行常值代換，通-x與x相加等于0，這個(gè)特殊值，來進(jìn)行-x與x之間的變換尋找解題思路。

三、運(yùn)用代換法求解不等式

例1.若：1≤x2+y2≤2，求證≤x2-xy+≤3

解：由1≤x2+y2≤2，設(shè)x＝rcosθ，y＝rsinθ（1≤r≤0≤ θ≤2π）所以x2-xy+y2＝r2-r2sinθ＝由≤1-

評(píng)析：題設(shè)條件表示圓環(huán)，聯(lián)想到圓的參數(shù)方程，進(jìn)行三角代換，通過三角函數(shù)性質(zhì)解決問題。

例2.已知 a、b、c≥0，求證：

證：由可聯(lián)系到復(fù)數(shù)的模。

設(shè)：z1＝a+bi，z2＝b+ci，z3＝c+ai（a、b、c＞0），則左邊 ＝｜z1｜+｜z2｜+｜z3｜≥｜z1+z2+z3｜＝｜a+b+c+i（a+b+c）｜＝（a+b+c）

評(píng)析：通過復(fù)數(shù)代換，使復(fù)雜難懂的式子化成我們學(xué)過的復(fù)數(shù)模運(yùn)算，以及三角形三邊關(guān)系。

四、求解各種極值、最值

例1.設(shè) x，y，z＞0，x+y+z＝1，求的最小值。

解：

評(píng)析：通過等量代換把x+y+z＝1代入式子，再利用均值不等式求證.

例2.求函數(shù)的最小值。

解：令則代入

得

當(dāng) t＝0，即時(shí)，f（x）取最小值

評(píng)析：引入變量，把無理函數(shù)化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的求值問題，化未知為已知。

五、一些求字母取值范圍的求解問題

例：設(shè)ax2-4ax+1＝0方程的兩根為α、β滿足不等式｜logα-logβ｜≤1，試求實(shí)數(shù)α的取值范圍。

解：由 α+β＝4，可設(shè)α＝2+p，β＝2-p（0≤p＜2）注意到，此時(shí)可用p的表達(dá)式表示α，再根據(jù)p的范圍確定α的范圍。

∵ α＝2+p，β＝2-p（0≤p＜2）

∴ ｜logα-logβ｜≤1，有，解得即0≤p

評(píng)析：通過設(shè)變量聯(lián)系題設(shè)已知與所求問題.

結(jié)束語：通過代換法我們化未知為已知，化生疏為熟悉，中學(xué)階段我們有很大一部分題，可以通過代換法簡(jiǎn)化運(yùn)算來求解。在高等數(shù)學(xué)中，我們也經(jīng)常要用代換法來求函數(shù)的極限、積分、求解微分方程，所以要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須學(xué)會(huì)并熟練運(yùn)用代換法方法，通過上面涉及的方程、函數(shù)、數(shù)列、不等式等幾個(gè)方面的應(yīng)用代換法方法解題，幫助學(xué)生更深層次地了解代換法的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)運(yùn)用代換法方法，去聯(lián)系問題與所給條件之間的關(guān)系，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。

［1］陳衛(wèi)衛(wèi).分析在高中數(shù)學(xué)解題中代換法的靈活運(yùn)用［J］.高中數(shù)理化，2016（22）：8-8.

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［3］方勝娟.代換法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理化解題研究，2015（15）：13-13.

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