耿明超，邊 輝，劉春東,，李 欣

(1.河北建筑工程學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，河北 張家口 075000；2.燕山大學(xué) 河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力強(qiáng)、累積誤差小等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于并聯(lián)機(jī)床、運(yùn)動(dòng)模擬器等領(lǐng)域。動(dòng)力學(xué)模型是機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)及控制的基礎(chǔ)。隨著制造業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)，機(jī)構(gòu)構(gòu)型更加復(fù)雜、負(fù)載更大、速度更快，這也對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模及分析提出了更高的要求。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模方法主要有以牛頓-歐拉公式為代表的矢量力學(xué)方法[1-2]和以拉格朗日方程為代表的分析力學(xué)方法[3-4]。上述方法一般使用兩個(gè)三維矢量來表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，導(dǎo)致其運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)建模過程繁瑣復(fù)雜，且極易出錯(cuò)。旋量代數(shù)以其對(duì)剛體空間運(yùn)動(dòng)描述的幾何直觀性與代數(shù)抽象性而備受機(jī)構(gòu)學(xué)者的歡迎。李澤湘等[5]基于旋量及其伴隨變換建立了機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程，揭示了李群、李代數(shù)在機(jī)器人學(xué)中的應(yīng)用。郭菲等[6]基于旋量鍵合圖建立了3-UPS/S機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。Gallardo等[7]利用旋量代數(shù)及虛功原理建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，其推導(dǎo)過程中需要得到剛體質(zhì)心點(diǎn)的速度、加速度，旋量建模的優(yōu)越性并沒有得到較好的體現(xiàn)。Sugimoto[8]利用影響系數(shù)矩陣和環(huán)矩陣建立了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，但其推導(dǎo)過程仍比較復(fù)雜，尤其是對(duì)于多環(huán)路的機(jī)構(gòu)。

本文以4UPS/UPR少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，基于旋量代數(shù)建立其動(dòng)力學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上給出了描述機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的動(dòng)力學(xué)耦合指標(biāo)。

1 4UPS/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)描述

圖1 4UPS/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型

如圖1所示，4UPS/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)包含4個(gè)驅(qū)動(dòng)分支(UPS分支)和一個(gè)中間約束分支(UPR分支)。4個(gè)驅(qū)動(dòng)分支由萬向鉸(U)、移動(dòng)副(P)和球副(S)組成。中間約束分支由萬向鉸、移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副(R)組成。在機(jī)構(gòu)的定、動(dòng)平臺(tái)上各建立一坐標(biāo)系，定坐標(biāo)系o的原點(diǎn)位于U副的中心，xo軸平行于a1a2，yo軸平行于a2a3，zo軸垂直于定平臺(tái)向上。動(dòng)坐標(biāo)系p固連于動(dòng)平臺(tái)，其原點(diǎn)位于動(dòng)平臺(tái)的中心，初始位置時(shí)方位與定系重合。轉(zhuǎn)動(dòng)副固定于動(dòng)平臺(tái)，其軸線與約束分支U副的第2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線平行。機(jī)構(gòu)下鉸鏈點(diǎn)矩陣分布，上鉸鏈點(diǎn)為梯形分布，其中梯形關(guān)于yp軸對(duì)稱。

2 旋量牛頓-歐拉公式及坐標(biāo)不變性

2.1 旋量速度、加速度描述

圖2 單剛體的運(yùn)動(dòng)示意圖

(1)

(2)

(3)

旋量加速度同樣符合上述變換關(guān)系。

2.2 旋量形式的牛頓-歐拉公式

根據(jù)傳統(tǒng)形式的牛頓-歐拉公式，剛體b的力、力矩平衡方程為:

(4)

其中，m為剛體b的質(zhì)量；fb為作用在剛體b上的三維力矢量在b系中的表示；τb為作用在剛體b上的三維力矩；Ib為剛體b的三維轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在b系中的表示。結(jié)合式(2)，式(4)可以整理為：

(5)

結(jié)合旋量速度的伴隨表示，式(5)可以表示為：

(6)

其中，Wb=(τb;fb)為作用于剛體的力旋量。Nb為剛體表示在b系中的6×6廣義慣量矩陣。式(6)即為物體坐標(biāo)系中旋量形式的牛頓-歐拉公式，給出了力旋量作用下剛體運(yùn)動(dòng)的全面描述。

2.3 牛頓-歐拉公式的坐標(biāo)不變性

(7)

(8)

(9)

式(6)和式(9)在形式上保持了統(tǒng)一，說明旋量形式的牛頓-歐拉公式具有坐標(biāo)不變性。

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型及耦合指標(biāo)

3.1 動(dòng)力學(xué)Hessain矩陣

(10)

(11)

(12)

其中，Np為動(dòng)平臺(tái)的6×6慣量矩陣。將動(dòng)平臺(tái)的旋量加速度公式代入式(12)可得：

(13)

式(13)右邊第2項(xiàng)可以表示為：

(14)

(15)

將式(14)和式(15)代入到式(13)中，整理可得：

(16)

同理，機(jī)構(gòu)中第i個(gè)分支，第k個(gè)桿件的慣性力產(chǎn)生的主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力可以表示為:

(17)

合并式(16)和式(17)可得機(jī)構(gòu)包含動(dòng)平臺(tái)及分支的動(dòng)力映射關(guān)系

(18)

3.2 動(dòng)力學(xué)模型

忽略摩擦，根據(jù)虛功原理，機(jī)構(gòu)所有的力旋量處于平衡狀態(tài)，則并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為:

τI+τG+τF+τA=0

(19)

其中，τG為機(jī)構(gòu)的重力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力；τF為作用在動(dòng)平臺(tái)的外力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力；τA為機(jī)構(gòu)的廣義驅(qū)動(dòng)力。并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)及所有桿件的重力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力為:

(20)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)所受外力產(chǎn)生的廣義驅(qū)動(dòng)力可表示為:

(21)

將式(20)和式(21)代入到式(19)可得并聯(lián)機(jī)構(gòu)在關(guān)節(jié)空間表示中的動(dòng)力學(xué)模型為:

(22)

3.3 動(dòng)力學(xué)耦合指標(biāo)

(23)

機(jī)構(gòu)的動(dòng)力耦合指標(biāo)定義為:

(24)

ρA為機(jī)構(gòu)位姿、動(dòng)平臺(tái)及分支慣量的函數(shù)，反映了機(jī)構(gòu)的慣量與驅(qū)動(dòng)力的傳遞密度。ρA值越大，機(jī)構(gòu)的加速度能力越差。

機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中，尤其是高速運(yùn)動(dòng)過程中，其向心力和科氏力往往不能忽略，機(jī)構(gòu)的慣性力耦合指標(biāo)定義為：

(25)

4 數(shù)值算例

4UPS/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)初始位姿時(shí)坐標(biāo)系o和坐標(biāo)系p方位重合，初始高度H=0.38m。表1和表2給出了機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其中，bi0為上鉸鏈點(diǎn)在p系中的坐標(biāo)。

表1 4UPS/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo) /m

表2 4UPS/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)

4.1 動(dòng)力學(xué)模型驗(yàn)證

(26)

圖3 4UPS/UPR機(jī)構(gòu)分支示意圖

忽略機(jī)構(gòu)的重力及外力作用，采用上述動(dòng)力學(xué)模型求解得到的機(jī)構(gòu)主動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力如圖4所示。圖5為ADAMS軟件仿真的結(jié)果。比較圖4、圖5可知，理論計(jì)算結(jié)果和軟件仿真結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了上述動(dòng)力學(xué)模型的正確性。

圖4 上鉸鏈點(diǎn)梯形布置時(shí)機(jī)構(gòu)廣義驅(qū)動(dòng)力

4.2 鉸鏈點(diǎn)參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)影響

當(dāng)上鉸鏈點(diǎn)b30=b40=(0 -0.20 0)T，即上鉸鏈點(diǎn)的布置由梯形退化為三角形，給定動(dòng)平臺(tái)式(26)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，通過動(dòng)力學(xué)求解得到機(jī)構(gòu)的廣義驅(qū)動(dòng)力如圖6所示。通過比較圖4、圖6可以看出，對(duì)于相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，上鉸鏈點(diǎn)三角形布置時(shí)其廣義關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力明顯減小。

圖5 廣義驅(qū)動(dòng)力ADAMS仿真曲線

圖6 上鉸鏈點(diǎn)三角形布置時(shí)機(jī)構(gòu)廣義驅(qū)動(dòng)力

圖7 初始位姿4UPS/UPR機(jī)構(gòu)的約束特性

4.3 動(dòng)力學(xué)耦合指標(biāo)

4UPS/UPR機(jī)構(gòu)上鉸鏈點(diǎn)為三角形分布。圖8給出了反映機(jī)構(gòu)加速性能的動(dòng)力耦合指標(biāo)ρA，圖9則給出了反映機(jī)構(gòu)高速運(yùn)動(dòng)性能的慣性力耦合指標(biāo)ρV。從圖8、圖9中可以看出，機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于x軸不對(duì)稱，這一現(xiàn)象符合機(jī)構(gòu)上鉸鏈點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱的布置形式。

圖8 4UPS/UPR機(jī)構(gòu)的動(dòng)力耦合指標(biāo)

圖9 4UPS/UPR機(jī)構(gòu)的慣性力耦合指標(biāo)

從圖8、圖9中可以看出，機(jī)構(gòu)在α<0時(shí)的動(dòng)力耦合指標(biāo)ρA及慣性力耦合指標(biāo)ρV明顯大于α>0時(shí)。ρA、ρV的值越大，機(jī)構(gòu)的慣性力映射到主動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力越大。分別給定α=-0.3rad、α=0.3rad時(shí)，機(jī)構(gòu)繞y軸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為β=0.20sin(15t)，機(jī)構(gòu)廣義驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)如圖10所示。從圖10中可以看出，α=-0.3rad時(shí)廣義驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)明顯大于α=0.3rad時(shí)，符合圖8、圖9機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)指標(biāo)曲線的變化趨勢(shì)。

圖10 4UPS/UPR機(jī)構(gòu)廣義驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)

圖11 公交線L在yozo面內(nèi)的變化趨勢(shì)

5 結(jié)論

(1)將傳統(tǒng)形式的牛頓-歐拉公式表示成以運(yùn)動(dòng)旋量和力旋量為基本運(yùn)算單元的旋量形式，并對(duì)其坐標(biāo)不變性進(jìn)行了證明。

(2)結(jié)合虛功原理及旋量形式的牛頓-歐拉公式，建立了4UPS/UPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，得到了動(dòng)力學(xué)Hessian矩陣，并給出反映機(jī)構(gòu)動(dòng)力特性的動(dòng)力學(xué)耦合指標(biāo)。

(3)結(jié)合數(shù)值算例，分析了4UPS/UPR機(jī)構(gòu)鉸鏈點(diǎn)尺度參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，并對(duì)其動(dòng)力學(xué)耦合指標(biāo)進(jìn)行了分析。基于旋量的動(dòng)力學(xué)建模方法形式簡(jiǎn)潔緊湊、易于編程，能夠簡(jiǎn)化建模過程，為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析及控制奠定了基礎(chǔ)。

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