閆 蓋，方明霞，董天夫，紀仁杰

（同濟大學航空航天與力學學院，上海 200092）

0 引 言

車輛乘坐舒適性的提高一直是業(yè)內專家學者致力研究的問題，從外部條件分析對車輛振動的影響，到對懸架剛度阻尼參數(shù)的最優(yōu)匹配設計，一定程度上提高了懸架的減振性能[1-5]。近年來，車輛主動/半主動懸架是研究的熱點，它主要是根據(jù)車輛行駛狀況，通過作動器對系統(tǒng)施加控制力，實現(xiàn)車輛行駛平順性和安全性提高的目的[6-13]，而車輛懸架主動/半主動控制系統(tǒng)中，由于信號采集、傳輸、控制器計算、作動器作動等因素，固有時滯不可避免，且研究發(fā)現(xiàn)時滯對系統(tǒng)控制的影響極大，甚至導致系統(tǒng)失穩(wěn)發(fā)散[14-16]。為了提高控制精度，出現(xiàn)了大量時滯消除補償技術，文獻[17]采用隨機預瞄控制策略對車輛主動懸架進行研究，發(fā)現(xiàn)即使很小的時滯也可能導致系統(tǒng)控制效率降低，甚至使系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象；文獻[18]采用平均法對含時滯的汽車半主動懸架進行研究，得到系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定運動的條件和臨界時滯，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性隨著時滯會發(fā)生周期性變化；文獻[19]采用時滯天棚開關控制策略，研究半主動懸架時滯漸進穩(wěn)定性機理，獲得時滯對半主動懸架系統(tǒng)動特性及動態(tài)穩(wěn)定性的影響規(guī)律；文獻[20]研究了磁流變減振器半主動懸架，測量了磁流變阻尼器的響應時間，以常微分方程理論求得系統(tǒng)臨界時滯，并應用Smith預估控制設計時滯補償控制器，改善了車輛半主動懸架性能；文獻[21]通過數(shù)值方法研究了時滯對鐵道車輛平順性、穩(wěn)定性和安全性的影響。文獻[22-23]采用離散最優(yōu)控制和離散變結構控制方法研究多時滯問題，理論和試驗結果均表明采用時滯控制律可以有效抑制梁和板的振動。文獻[24]發(fā)現(xiàn)時滯可以改變飽和控制的有效頻帶范圍，將其作為控制參數(shù)可有效抑制系統(tǒng)振動。

由于控制過程中時滯量非常小，對時滯控制系統(tǒng)進行試驗驗證有較大難度，因此目前時滯消除補償技術主要采用數(shù)值方法進行研究，難以從根本上解決系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，且對于處理大時滯問題具有一定的局限性。為此，本文采用理論與試驗相結合的方法對含時滯的半主動懸架系統(tǒng)動力學特性進行研究，分析時滯參數(shù)對懸架系統(tǒng)控制穩(wěn)定性及響應特性的影響，采用狀態(tài)變換方法設計時滯反饋最優(yōu)控制器，最后利用試驗方法對研究結果的有效性進行驗證。

1 車輛懸架系統(tǒng)時滯動力學模型建立及響應分析

1.1 懸架系統(tǒng)時滯動力學模型

車身垂直振動是影響車輛行駛平順性的主要因素，由于車輛結構復雜，本文研究中忽略車身的俯仰運動和側傾運動，以賽歐轎車懸架系統(tǒng)為基礎，以磁流變阻尼器作為作動器，將系統(tǒng)簡化為考慮時滯的 2自由度四分之一懸架半主動控制模型，其簡化模型如圖1所示。

圖1 懸架控制系統(tǒng)模型圖Fig.1 Suspension control system model

利用第二類拉氏方程，得到懸架系統(tǒng)的動力學方程如下：

式中 ms為簧載質量； mw為非簧載質量； ks、 cs分別為懸架剛度和阻尼；kt、ct分別為輪胎剛度和阻尼；xs、xw分別為簧載質量位移和非簧載質量位移； u（ t- τ ）為控制力；τ為懸架控制系統(tǒng)中的固有時滯； xg為路面不平度。

選取狀態(tài)向量為 x = []T，輸出量為y=，得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:

式中

1.2 含時滯懸架系統(tǒng)時域響應分析

懸架系統(tǒng)的控制目標是提高車輛行駛平順性和操縱穩(wěn)定性，即盡可能地降低車身垂向振動加速度、輪胎動載荷和懸架動行程性能指標，同時要求實現(xiàn)控制目標的能量最小。因此，根據(jù)二次型最優(yōu)控制方法，取目標函數(shù)為：

式中 q1、 q2、 q3和r分別為車身垂向振動加速度m/s2、懸架動行程m、輪胎動載荷N和控制力N的加權系數(shù)。加權系數(shù)的大小表示性能指標在懸架設計中的重要程度，選取時需綜合考慮懸架的安全性和舒適性。

在傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制下可得 u（ t） = - K x（ t），參照賽歐轎車懸架系統(tǒng)參數(shù)，仿真計算時取懸架系統(tǒng)及控制參數(shù)為 ms= 1 36.05kg， mw= 2 4.288kg， ks= 1 0 200N/m，ks= 9 8 000 N/ m ，ct=15 N·s/m， cs=153.11 N· s/m，q1=1000 000,q2=800，q3=70，r= 0 .3，利用matlab/ simulink建立懸架系統(tǒng)仿真模型，在確定性激勵 xg= 0 .004sin（2π ft ） 、f= 5 Hz下進行仿真計算。

由于控制過程中時滯量相對較小，本文在0.2 s內任意選取多個時滯量進行仿真計算。為了便于與無控制及后文的試驗結果相比較，圖2給出了無控制及τ=0、0.010、0.014 3、0.065s時系統(tǒng)的響應結果。為便于觀察，圖中縱坐標沒有取到最大值。

圖2 傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制下系統(tǒng)時域響應Fig.2 Response of system under traditional two degree optimal control

從圖2可以看出，當τ=0、0.01 s時，簧載質量加速度幅值穩(wěn)定，分別為1.56、1.92 m/s2，因此傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制可以保持控制系統(tǒng)穩(wěn)定，相比無控制時簧載質量加速度幅值2.70 m/s2亦有減振效果；但當 τ = 0 .0143s時，簧載質量加速度隨時間逐漸增大，5 s時可增加至10 m/s2，而且隨著時間增大，加速度繼續(xù)增大，當τ = 0 .065s時，簧載質量加速度在很短時間內超過了 10 m/s2，5 s可達1017，因此傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制無法保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，導致控制后系統(tǒng)發(fā)散，這對系統(tǒng)結構具有極大的損害。因此，在系統(tǒng)控制中必須考慮時滯因素的影響。

2 車輛懸架系統(tǒng)控制穩(wěn)定性分析

在控制中，信號采集傳輸、控制計算及作動器作動延遲，時滯因素必然存在，從1.2節(jié)仿真結果可知當系統(tǒng)時滯較小時，傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制可以滿足控制要求，但當系統(tǒng)時滯較大時，系統(tǒng)可能會失穩(wěn)發(fā)散。事實上，系統(tǒng)時滯穩(wěn)定性可以通過常微分方程理論進行求解。

2.1 系統(tǒng)時滯穩(wěn)定區(qū)間的理論分析

根據(jù)常微分方程理論[25]，方程（1）的特征值為λ時，方程解的形式可表示為

令反饋增益 K =[g1, g2, g3, g4]，則：

將式（4）、（5）代入式（1），并根據(jù)非零解條件可得系統(tǒng)特征方程為：

式中

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)[26]，系統(tǒng)實現(xiàn)穩(wěn)定的條件是式（6）所有根均有負實部，因此系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界條件是式（6）僅有純虛根iwλ=，其中w是系統(tǒng)自激振動下的基頻。將λ代入式（6），運用歐拉公式分離方程實部和虛部，得到系統(tǒng)僅有純虛根的條件為：

由 s in2（wτ ） + c o s2（wτ）= 1可得到關于w的方程如下：

式中0a、2a、4a、6a、8a分別是與懸架系統(tǒng)參數(shù)相關的多項式系數(shù)。

在matlab平臺上求解，可得精確解cw，將其代入到方程（7）可獲得懸架系統(tǒng)失穩(wěn)的臨界時滯量cτ。

式中

現(xiàn)用0l表示方程正實根的個數(shù)，當反饋增益1K取一定值時， l0的大小取決于方程系數(shù) ai( i = 0 ,2,4,6,8)。當l0= 0，方程無正實根，系統(tǒng)不發(fā)生穩(wěn)定性切換。當 l0≠ 0 ，方程正實根為{wc1, wc2,......,wcl}，每個 wcm(m = 1 ,...,l)對應著無限多個 τcn(n =1,2,… ∞)。當τc從τcn-ε增加到τcn+ ε （0 ＜ ε? 1 ,n =1,2,… ∞ ），方程特征根的變化趨勢由下式確定：

RT=+1表示τc從左至右穿過臨界值τcn時，特征方程不穩(wěn)定特征根的數(shù)量增加2個，RT=-1 表示τc從左至右穿過臨界值τcn時，特征方程不穩(wěn)定特征根的數(shù)量減少兩個?；谝陨系奶卣髦捣治?，可以得到系統(tǒng)在一定反饋增益下時滯穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)間[27-28]。

利用2.1節(jié)中所取參數(shù)，在傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制律下，得到4個w值，分別為 wc1= 1 .784 7 r ad/s， wc2= 1 6.600 4 r a d/s，wc3= 3 1.3055rad/s， wc4= 9 7.697 3rad/s，每個w值對應于無數(shù)個臨界時滯量，分別為 τc1= 0 .0558+3.520 6n1，τc2= 0 .014 3+0.3785n1， τc3=0.024 2+0.200 7n1，τc4=0.019 9+0.064 3n1（n1=1,2,…∞，單位為s）。依據(jù)特征值分析方法獲得在反饋增益 K1下系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定區(qū)間為（0，0.014 3 s），時域響應仿真結果也說明了該穩(wěn)定區(qū)間的正確性，為了進一步說明結果的正確性，下文從系統(tǒng)頻域特性進行分析。

2.2 含時滯車輛懸架系統(tǒng)頻響特性

根據(jù)頻域響應求解過程，對懸架系統(tǒng)進行求解，通過對方程（1）進行傅里葉變換可得

式中

由式（11）可得路面激勵對簧載質量位移的幅頻特性為：

取1.2節(jié)中系統(tǒng)參數(shù)，根據(jù)式（12）仿真可得不同時滯量對系統(tǒng)幅頻特性影響的曲線，如圖3所示。

圖3 時滯對系統(tǒng)幅頻特性的影響Fig.3 Influence of time delay on amplitude frequency characteristics of system

從圖3可以看出，與控制中無時滯（τ=0）相比，當控制時滯τ=0.01、0.0143s時，一階主振型振幅隨著時滯的增大而增大；當時滯 τ = 0 .065s時，系統(tǒng)的一階振型振幅雖有所減少，但幅頻特性曲線出現(xiàn)多個峰值，說明系統(tǒng)實際控制力與理想控制力不同步，系統(tǒng)出現(xiàn)“輪跳”現(xiàn)象，影響車輛行駛安全性。因此時滯對系統(tǒng)的控制效果影響極大，設計控制器時必須考慮時滯因素的影響。

3 車輛懸架系統(tǒng)時滯反饋控制

3.1 時滯反饋控制律設計

本文采用狀態(tài)變換方法[29-31]對含時滯的半主動懸架進行變換，再利用最優(yōu)控制理論設計系統(tǒng)時滯反饋最優(yōu)控制律，以保證含時滯懸架系統(tǒng)的穩(wěn)定性。針對含時滯的狀態(tài)方程（2），進行如下積分變換，令

式（13）左右兩邊對時間t求導可得

將式（14）其代入方程（2）可得：

式中 B = e-AτB，從式（15）可以看出，變換后系統(tǒng)為不1顯含時滯的狀態(tài)方程，控制目標函數(shù)不變，利用二次型最優(yōu)控制方法可獲得其時滯最優(yōu)控制律為：

式中= R-1(+ NT)，其中P~為下式Riccati方程的解。

由式（13）和（16）可以看出，控制律中包含時滯τ和積分項，控制時積分項要通過計算獲得。設采樣周期為T，將時滯量表示為τ= l T - m ，其中l(wèi)為大于0的正整數(shù)，m為小于T的非負 數(shù) ， 采 用 零 階 保 持 器 ， 即 當kT ≤t ＜ （ k + 1）T 時 ，u（ t） = u （ kT），所以當t = k T時，積分項可變換為

采用m= 0 進行分析，此時時滯量是采樣周期的整數(shù)倍，式（19）可表示為：

式中 G （ t）可通過下式進行迭代計算：

當t給定時， G （ t）將于有限步趨于常數(shù)矩陣[32]。

3.2 車輛懸架系統(tǒng)時滯反饋控制仿真

通過matlab/simulink平臺，取1.2節(jié)中系統(tǒng)參數(shù)，在確定性激勵 xg=0.004sin(2πft)、 f = 5 Hz下進行仿真計算，當系統(tǒng)時滯量為τ=0s時，時滯反饋控制退化為傳統(tǒng)二次型控制，系統(tǒng)控制響應結果同圖 2中固有時滯為0 s時結果；當 τ = 0 .010、0.0143、0.065s情況下，系統(tǒng)時滯反饋控制時域響應結果如圖4所示。

圖4 時滯反饋控制系統(tǒng)時域響應Fig.4 Response of system with time delay feedback control

從圖 4看出，在時滯反饋控制下，在 τ = 0 .010、0.0143、0.065s情況下，簧載質量加速度幅值穩(wěn)定，分別為1.46、1.98、1.40 m/s2，因此，時滯大小不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，系統(tǒng)均保持穩(wěn)定，克服了傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制無法保證時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題，且與圖 2中無控制情況下相比亦有減振效果，降幅最大為48.15%。

4 試驗驗證

4.1 試驗系統(tǒng)參數(shù)

以 Lord公司磁流變阻尼器 RD-1005-3為控制作動器，采用加速度信號反饋搭建了懸架時滯試驗平臺，試驗系統(tǒng)如圖 5所示。振動控制器產生激勵通過功率放大器、振動臺作用于懸架模擬裝置，采集卡采集 3個加速度傳感器信號，傳輸至 PXI8196工控機，通過前文中控制算法程序計算獲得控制力，并由輸出卡、接線盒將其傳輸至磁流變阻尼器控制裝置，進而實現(xiàn)系統(tǒng)減振。

懸架試驗系統(tǒng)簧載質量及非簧載質量通過稱量獲得，剛度參數(shù)通過廠家定制，由廠家通過專業(yè)測量儀器測量獲得，阻尼參數(shù)通過利用傳遞函數(shù)法對參數(shù)識別獲得，主要參數(shù)如下：ms= 1 36.05kg，mw= 2 4.288kg，ks=10200 N/m，kt= 9 8000 N/m，ct= 1 5N·s/m，cs=153.11 N·s/m τ= 0 .065s，其中，時滯τ通過基于時域信號方法進行辨識，結合文獻[4]中磁流變阻尼器響應時滯辨識結果最終確定。

圖5 懸架時滯試驗系統(tǒng)Fig.5 Suspension time delay test system

4.2 試驗結果與分析

為了驗證時滯反饋最優(yōu)控制律設計的有效性，對含時滯 τ = 0 .065s懸架系統(tǒng)進行試驗與仿真。試驗時由振動控制器產生確定性激勵 xg=0.004sin(2πft)、 f = 5 Hz作用于懸架模擬裝置，通過采集、計算獲得系統(tǒng)輸出響應信號，并將其導入至Matlab平臺中作圖；仿真時采用與試驗相同的工況和參數(shù)。試驗和仿真所得系統(tǒng)輸出響應時程曲線如圖6所示。

對比圖2和圖6可以發(fā)現(xiàn)試驗與仿真均有較好的減振效果，簧載質量加速度從無控制的2.70 m/s2約下降到1.50 m/s2，降幅為44.44%，且系統(tǒng)均保持穩(wěn)定。試驗所得簧載質量加速度幅值約為1.58 m/s2，比仿真結果1.40 m/s2略大，誤差為12.56%，懸架動行程和動載荷誤差分別為3.28%、12.39%，但誤差在15%以內，一般工程計算誤差可以取到 20%，甚至更高[33-35]，所以本文誤差滿足工程要求，說明試驗結果與仿真結果具有較好的一致性。

圖6 時滯反饋控制下系統(tǒng)試驗與仿真響應Fig.6 Experiment and simulation results of the system with time delay feedback control

5 結 論

本文以 2自由度含時滯懸架系統(tǒng)為研究對象，利用試驗、理論和數(shù)值相結合的方法，研究了基于狀態(tài)變換的懸架系統(tǒng)時滯反饋控制特性，獲得以下主要結論：

1）建立了含時滯車輛2自由度懸架動力學模型，仿真和理論分析均表明采用傳統(tǒng)二次型最優(yōu)控制律對系統(tǒng)進行控制，可能會使系統(tǒng)定性特性發(fā)生改變，當系統(tǒng)固有時滯較大時，系統(tǒng)甚至會失穩(wěn)發(fā)散，根據(jù)文中所取懸架和控制參數(shù)，在固有時滯為0.0143 s時系統(tǒng)就開始控制失穩(wěn)發(fā)散。

2）通過積分變換思想和最優(yōu)控制理論設計了車輛懸架時滯反饋最優(yōu)控制律，仿真和試驗結果均表明該控制律始終可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，與無控制系統(tǒng)相比，簧載質量加速度從2.70 m/s2約下降到1.5 m/s2，降幅為44.44%，減振效果明顯。

3）以磁流變阻尼器為作動器搭建了懸架時滯控制試驗平臺，采用基于時域信號辨識的方法獲得了系統(tǒng)時滯約為 0.065 s，相同工況下試驗與仿真結果具有較好的一致性，簧載質量加速度、懸架動行程、輪胎動載荷試驗與仿真誤差分別為12.56%、3.28%、12.39%，誤差在15%以內，驗證了研究結論的有效性與正確性，為懸架減振提供了有效的控制方法，具有重要的工程應用價值。

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