張文旭， 趙文童， 陳濤， 陳亞靜

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院, 哈爾濱 150001)

在數字信道化系統(tǒng)設計中，數字信道化的過程實質上就是利用濾波器組進行均勻或非均勻設計的過程。濾波器組技術作為信號處理的一種常見方法和手段，其應用范圍很廣，如通信、圖像處理、語音、雷達等[1-3]。其中，具有窄過渡帶特點的濾波器組計算復雜度高的問題業(yè)已成為該研究方向亟待解決的問題之一[4]。頻率響應屏蔽(FRM)技術因其在解決窄過渡帶濾波器組設計中具有明顯優(yōu)勢而得以推廣[5]。

文獻[6]運用凸規(guī)劃算法設計FRM結構中的濾波器，并提出了3種優(yōu)化算法；文獻[7]針對工程應用方面在經典FRM濾波器結構的基礎上優(yōu)化設計二級FRM濾波器，這種優(yōu)化方法雖然可以消除內插因子的約束條件，但是屏蔽濾波器的設計較為復雜；文獻[8-9]利用FRM技術設計任意帶寬的FIR數字濾波器，降低了計算的復雜度，但是因為濾波器都在這2種結構的前置位，所以這2種結構都會受到采樣率的限制；文獻[10]提出了一種基于FRM的DFT濾波器組優(yōu)化算法，相比于傳統(tǒng)的DFT濾波器組在一定程度上降低了計算復雜度。重構濾波器組也是濾波器組研究的重要組成部分，文獻[11]通過窗函數設計FRM濾波器，雖然設計的綜合濾波器組計算復雜度很高，但是為重構濾波器設計提供了一種新的思路；文獻[12]將屏蔽技術應用到非均勻濾波器組的結構構造中，根據多速率理論提出了一種低復雜度的綜合濾波器設計方法；文獻[13]運用FRM結構設計兩通道窄過渡帶的完全重構濾波器組，缺點是在實現時計算量比較大。文獻[13]提出了一種基于FRM的偶型排列信道化改進結構，缺點是偶型排列結構的第0個信道輸出IQ量不正交，需要對輸出信號單獨進行希爾伯特變換，這樣第0個信道的延時會與其他信道不同。

本文將FRM技術在窄過渡帶濾波器組設計中的優(yōu)勢推廣到分析濾波器組高效結構設計中，由于奇型排列結構所有信道輸出特性完全一致，不像偶型排列結構中第0個信道輸出IQ量不正交，故而本文主要以奇型排列結構為研究重點。本文提出了一種采用FRM的窄過渡帶奇型排列非最大抽取改進結構，該改進結構針對非最大抽取系統(tǒng)進行設計，不受信道數和抽取數的限制，適用性更加廣泛。

1 頻率響應屏蔽技術

FRM技術適用于窄過渡帶濾波器設計，因為其在降低濾波器階數和減少計算復雜度方面有很好的效果。FRM濾波器的基本框架如圖1所示，其傳遞函數的z變換可表示為[14-15]

H(z)=Ha(zL)HMa(z)+

(z-L(Na-1)/2-Ha(zL))HMc(z)

(1)

式中：Ha(z)為原型濾波器；HMa(z)和HMc(z)為屏蔽濾波器；Na為原型濾波器Ha(z)的長度；L為插值倍數。

濾波器插值過程如圖2所示，上圖為濾波器插值之前的幅頻特性，下圖為濾波器插值之后的幅頻特性。屏蔽濾波器的作用是對插值所產生的濾波器多余鏡像進行屏蔽。

(2)

(3)

圖1 FRM濾波器的基本框架Fig.1 Basic framework of FRM filter

圖2 濾波器插值過程(L=4)Fig.2 Process of filter interpolation for L=4

(4)

式中：ha(n)、hMa(n)和hMc(n)的系數具有偶對稱性；N1和N2分別為屏蔽濾波器HMa(z)和HMc(z)的長度；M1和M1的取值情況如下：

(5)

將信號延時L(Na-1)/2個點后與Ha(zL)相減可以得到下支路的輸出?？紤]到插值L的數值不被限制，濾波器Ha(z)長度Na應為奇數。在對2個屏蔽濾波器的輸出進行合成時，要求濾波器HMa(z)和HMc(z)長度同為奇數或者同為偶數。

令零相位H(z)的頻率響應為

H(ω)=H1(ω)+H2(ω)

(6)

又因為z-L(Na-1)/2-Ha(zL)可看作Ha(z)進行L倍插值后的互補濾波器，則

H1(ω)=Ha(Lω)HMa(ω)

(7)

H2(ω)=(1-Ha(Lω))HMc(ω)

(8)

式中：Ha(ω)、HMa(ω)和HMc(ω)分別為Ha(z)、HMa(z)和HMc(z)的零相位頻率響應。

FRM濾波器頻帶合成過程圖[12,16]如圖3所示，從上至下第1幅圖中實線為原型濾波器Ha(ω)插值后的幅頻特性，虛線為屏蔽濾波器HMa(ω)的幅頻特性；第2幅圖中實線為原型濾波器Ha(ω)的互補濾波器插值后的幅頻特性，虛線為屏蔽濾波器HMc(ω)的幅頻特性；第3幅圖中實線為對插值后的原型濾波器進行屏蔽得到的H1(ω)幅頻特性，虛線為對插值后的原型濾波器的互補濾波器進行屏蔽得到的H2(ω)幅頻特性；第4幅圖為最終得到的FRM濾波器的幅頻特性。

圖3 采用FRM技術設計低通濾波器[12，16]Fig.3 Design of low-pass filter based on FRM[12，16]

2 調制濾波器組

2.1 濾波器組頻帶劃分

調制濾波器組在調制類型劃分方面分為2種類型，分別為余弦調制和復指數調制。余弦調制可以看作復指數調制的特例。調制濾波器組在頻帶劃分結構設計上也分為2種類型，分別為奇型排列和偶型排列。針對實際問題，筆者研究了調制濾波器組的奇型排列方式，并且對濾波器組中的M個濾波器進行均勻調制，濾波器組頻帶劃分方式如圖4所示。

圖4 濾波器組頻帶劃分Fig.4 Band division of filter bank

圖4所示的奇型排列的劃分方式避免了因為實信號造成的信道冗余問題，而且能夠實現信號的無盲區(qū)無混疊接收。上述排列方式的虛線頻帶為對應的鏡像，第k個信道對應的中心頻率ωk滿足：

(9)

2.2 高效信道化結構

均勻濾波器組低通實現結構如圖5所示。假設信道數為M，抽取倍數為K，令M=FK，令F取正整數(當F=1時為臨界抽取情況)，輸入信號為s(n)，復指數調制因子為ejωkn，低通濾波器為g(n)，原型濾波器階數為N，多相濾波器階數為T=N/M。輸入信號經過信道化后的輸出信號表示為yk(m)，k=0,1,…,M-1，m=0,1,…。

圖5 濾波器組低通實現結構Fig.5 Low-pass structure of filter bank

如圖5所示，第k個信道的輸出信號可以表示為

yk(m)=(s(n)ejωkn)?g(n)n=mK=

(10)

式中：?表示卷積運算；k=0,1,…,M-1。

令信號K倍抽取后的多相結構表達式為sp(m)=s(mK-p)，濾波器多相分量表達式為gp(m)=g(mM+p)，令i=iM+p，p=0,1,…,M-1，則式(10)可以表示為

(11)

令l=iF，hp(i)=gp(i/F)，則hp(i)是gp(i)的F倍內插，第k個信道的輸出信號表示為

(12)

則式(12)的z變換可以表示為

(13)

濾波器組中的M個濾波器通帶帶寬減少為之前的1/M，所以在對濾波器K(K≤M)倍抽取時不會產生混疊現象。將中心頻率ωk代入式(13)中，K倍抽取提前，可得對應的奇型排列信道化高效結構，如圖6所示。該高效結構將抽取模塊提到信道化結構最前端，使之適應于高速系統(tǒng)中。

圖6 濾波器組信道化高效結構Fig.6 Efficient channelization structure of filter bank

3 窄過渡帶奇型排列高效結構

3.1 FRM高效結構

設FRM原型濾波器z變換表達式P(z)為

P(z)=Hap(zL)HMap(z)+Hcp(zL)HMcp(z)

(14)

式中：Hap(z)、HMap(z)和HMcp(z)分別為長度為Nao、NMa和NMc的零相位對稱濾波器；Hcp(z)=1-Hap(z)。

可以得到濾波器的因果線性相位形式為

Hao(z)=z-L(Nao-1)/2Hap(zL)

(15)

Hco(z)=z-L(Nco-1)/2Hcp(zL)

(16)

HMa(z)=z-(NMac-1)/2HMap(z)

(17)

HMc(z)=z-(NMac-1)/2HMcp(z)

(18)

式中：NMac=max{NMa,NMc}。

將式(15)～式(18)代入式(14)，則可以得到FRM濾波器組的各通道傳遞函數表達式為

(19)

式中：k=0,1,…,M-1；a=(Np-1)/2，Np=L(Nao-1)+NMac；WM=e-j2π/M。

將濾波器的因果線性相位形式進行多相分解，可得如下表達式：

(20)

(21)

(22)

(23)

式中：l=0,1,…,M-1；p=0,1,…,M-1。

將式(20)～ 式(23)代入式(19)，即可得到FRM濾波器組各通道傳遞函數的多相結構表達式為

(24)

在對L倍插值之后的濾波器進行屏蔽時，需要M通道屏蔽濾波器組的正好可以覆蓋插值產生的多余鏡像，即L=IM,I=1,2,…。原型濾波器和屏蔽濾波器需要滿足：

ωmap=ωap/L+π(L/M′-1)/L

(25)

ωmas=π/L+ωap/L+π(L/M′-1)/L

(26)

ωmcp=ωas/L+π(L/M′-1)/L

(27)

ωmcs=π/L+ωas/L+π(L/M′-1)/L

(28)

式中：M′為信道數；ωap和ωas分別為Hap的通帶和阻帶截止頻率；ωmap、ωmas、ωmcp、ωmcs分別為屏蔽濾波器HMap(z)和HMcp(z)的通帶截止頻率和阻帶截止頻率。

又由于實信號的頻譜應為正值，且關于kπ(k=0,1,…)對稱，只需考慮0～π的信道信號，則數值上M′=2M，M表示實際應用信道數數目。

假設上半個支路的屏蔽濾波器為原型屏蔽濾波器，那么對原型屏蔽濾波器進行π/L頻移就能夠得到下半支路的屏蔽濾波器，然后再把上下2個支路進行合并就能夠得到帶寬為π/M的子帶。FRM濾波器頻率響應的合成過程如圖7所示，從上至下第1幅圖中實線為原型濾波器Ha(ω)的幅頻特性，虛線為原型濾波器Ha(ω)的互補濾波器的幅頻特性；第2幅圖中實線為插值后的原型濾波器Ha(ω)的幅頻特性，虛線為插值后的原型濾波器Ha(ω)的互補濾波器的幅頻特性；第3幅圖為屏蔽濾波器HMa(ω)的幅頻特性；第4幅圖為屏蔽濾波器HMc(ω)的幅頻特性；第5幅圖為最終合成的FRM濾波器H(ω)的幅頻特性。

將FRM技術引入信道化高效結構中的濾波器設計中。用式(24)中FRM濾波器組的M個濾波器代替式(13)中濾波器組中的M個濾波器，可以得到第k個信道輸出信號的表達式為

圖7 FRM濾波器的頻率響應合成過程Fig.7 Frequency response synthesis process of FRM filter

(29)

又因為Hco(z)=z-L(Nao-1)/2-Hao(z)，滿足：

(30)

式中：q為L(Nao-1)/(2M)的余數，q=0,1,…，M-1。

由式(29)、式(30)結合圖6，將K倍抽取提前，可得基于FRM的窄過渡帶濾波器組高效結構，如圖8所示。

圖8 采用FRM的窄過渡帶奇型排列高效結構Fig.8 Odd-arrangement efficient structure with narrow transition band based on FRM

3.2 奇型排列高效結構復雜度分析

高效結構的計算復雜度主要受到硬件實現所需的乘法器數量影響，因此復雜度數值用于表征高效結構中的乘法器數量。濾波器中所用的乘法器數目與濾波器長度成反比，即復雜度數值與過渡帶寬成反比。令實現濾波器組的代價函數為C。

實現一個均勻濾波器組所需要的乘法器數目為

Cr=Mγ/Δf

(31)

式中：γ為比例系數；M為信道數；Δf為窄過渡帶濾波器的歸一化過渡帶寬。

同理，實現一個濾波器組的多相結構的復雜度為

Cp=γ/Δf+MlbM+2M

(32)

本文設計方法實現的代價函數為

CFRM=γ/ΔHa+2γ/ΔHm+2MlbM+2M

(33)

式中：ΔHa為原型濾波器的歸一化過渡帶寬；ΔHm為屏蔽濾波器的歸一化過渡帶寬。

在FRM濾波器中，假設ωp為通帶截止頻率，ωs為阻帶起始頻率，其歸一化過渡帶寬為Δf=ωs-ωp；θ為原型濾波器的通帶截止頻率，φ為原型濾波器的阻帶截止頻率；插值倍數為L，則原型濾波器的過渡帶寬可以表示為ΔHa=LΔf。通帶和阻帶紋波對濾波器設計復雜度影響并不敏感，故而暫不考慮紋波的影響。

原型濾波器采用半帶濾波器。由圖7可知，屏蔽濾波器的過渡帶寬為ΔHm=1/L。將所有濾波器的過渡帶寬表達式代入式(33)可得到

CFRM=γ/(LΔf)+2γL+2MlbM+2M

(34)

內插因子L數值的選擇會影響整個原型濾波器和屏蔽濾波器的設計復雜度。根據復雜度最低準則，可以得到最優(yōu)L值的表達式為

(35)

因為L為正整數，取

(36)

式中：round(X)表示取距離X最近的整數。當要求L為M的整數倍時，L取值為M′的最小倍數。L值代入式(33)可得

(37)

根據式(31)～式(33)可知，本文FRM改進方法可以降低濾波器組的計算復雜度。在設計原型低通濾波器時采用半帶濾波器，因為半帶濾波器有近一半的值為零，因此可以進一步有效減少計算量。在設計2個屏蔽濾波器時，可以先設計其中一個屏蔽濾波器，再通過調制這個屏蔽濾波器得到另一個屏蔽濾波器。通過這種設計方法得到的2個屏蔽濾波器的通帶寬度和阻帶寬度都是相等的，所以可以使設計復雜度再次降低。

4 系統(tǒng)仿真及分析

4.1 FRM濾波器組仿真與復雜度分析

設置濾波器組通道數M=8，內插因子L=16，窄過渡帶歸一化過渡帶寬為0.004。設計原型濾波器時采用半帶濾波器，利用MATLAB中的firpm函數進行設計，通帶和阻帶截止頻率分別為0.468和0.532，長度Nao=79，濾波器的幅頻響應如圖9所示。由式(25)、式(26)可得原型屏蔽濾波器的通帶截止頻率為0.029，阻帶截止頻率為0.092，長度NMac=82，幅頻響應如圖10所示。合成之后的FRM濾波器幅頻響應如圖11所示。所設計的FRM濾波器組幅頻響應如圖12所示。

在設計得到的濾波器過渡帶相同的情況下，直接實現這樣的濾波器組結構需要乘法器數量為1 280×8=10 240，濾波器組的多相實現結構需要乘法器數量為1 280+8lb 8+16=1 307。在采用了79階數半帶濾波器的設計中，實際非零系數為40，則本文提出的窄過渡帶濾波器組改進結構所需的乘法器數為40+86×2+2×8lb 8+16=251。而文獻[9]需要乘法器數目為125+150+146+2×8lb 8+16=460。通過對比本文提出的窄過渡帶濾波器組改進結構，可以發(fā)現該改進結構比直接實現結構節(jié)省了97.5%的乘法器資源，比多相濾波器組高效結構節(jié)省了80.8%的乘法器資源,比文獻[9]提出的高效結構節(jié)省了45.4%的乘法器資源。因此，本文中所提出的窄過渡帶濾波器組改進結構實現了計算復雜度的降低，更加易于工程應用實現。

圖9 原型濾波器幅頻響應Fig.9 Amplitude-frequency response of prototype filter

圖10 原型屏蔽濾波器幅頻響應Fig.10 Amplitude-frequency response of prototype masking filter

圖11 FRM濾波器幅頻響應Fig.11 Amplitude-frequency response of FRM filter

圖12 FRM濾波器組幅頻響應Fig.12 Amplitude-frequency response of FRM filter bank

4.2 FRM高效結構性能仿真與分析

用MATLAB進行仿真時，設置采樣頻率為960 MHz，信道數為8。同時輸入7個信號，信號各項參數設置如表1所示。

圖13為FRM高效結構的仿真輸出信號頻譜， LFM1跨信道3、4輸出； AM1在信道5輸出； LFM2在信道2輸出； DSB1在信道6輸出； LFM3在信道1輸出； DSB2在信道7輸出； AM2在信道0輸出。通過將得到的信號頻譜圖與仿真輸入信號進行對比，可以驗證出FRM高效結構的正確性。

LFM1的起始頻率60 MHz處于3、4信道的中心處，截止頻率為80 MHz，故LFM1出現了跨信道的現象。LFM3的起始頻率為320 MHz,截止頻率為358 MHz，其頻譜位于信道1和7的中心附近，由于濾波器組過渡帶窄的原因并未出現跨信道現象。采用了FRM窄過渡帶設計結構沒有產生信號跨信道的現象。所以采用FRM窄過渡帶的信道化結構可以減少信號跨信道現象，但是想要完全消除這種現象還是無法做到的。

表1 輸入信號參數設置

圖13 FRM濾波器組輸出頻域波形Fig.13 Output frequency domain waveform of FRM filter bank

5 結 論

1) 本文提出的一種采用FRM的窄過渡帶奇型排列改進結構以通用性較強的非最大抽取系統(tǒng)為設計出發(fā)點，具有廣泛的適用性。

2) 結構中下采樣模塊位于該高效結構的前置位，解決了由于采樣率的限制不能應用于高速信號處理系統(tǒng)的問題。

3) 該改進結構相比于多相濾波高效結構具有更低的計算復雜度，為工程化實現奠定了理論與技術基礎。

參考文獻 (References)

[1] HARRIS F J,DICK C,RICE M.Digital receivers and transmi-tters using polyphase filter banks for wireless communication[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques,2003,51(4):1395-1412.

[2] BARROS A K,RUTKOWSKI T,LTAKURA F.Estimation of speech embedded in a reverberant and noisy environment by independent component analysis and wavelets[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2002,13(4):888-893.

[3] DO M N,VETTERLI M.The contourlet transform: An efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing,2005,14(12):2091-2106.

[4] HONG Y,LIAN Y.Continuous-time FIR filters based on frequency-response masking technique[C]∥2015 IEEE International Conference on Digital Signal Processing. Piscataway,NJ:IEEE Press,2015:191-195.

[5] ROMERO D E T.High-speed multiplierless frequency response masking(FRM) FIR filters with reduced usage of hardware resources[C]∥2015 IEEE 58th International Midwest Symposium on Circuits and Systems. Piscataway,NJ:IEEE Press,2015:1-4.

[6] LU W,HINAMOTO T.A unified approach to the design of interpolated and frequency-response-masking FIR filters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems Ⅰ:Regular Papers,2016,63(12):2257-2266.

[7] WEI Y,HUANG S G,MA X J.A novel approach to design low-cost two-stage frequency response masking filters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,2015,62(10):982-986.

[8] SHEN T,LIM Y C.Low complexity frequency-response masking filters using modified structure based on serial masking[C]∥19th European Signal Processing Conference. Kessariani:EURASIP,2011:1400-1404.

[9] 陳濤,王瑩,劉勇.基于頻率響應屏蔽的窄過渡帶信道化接收機[J].吉林大學學報,2015,45(1):335-340.

CHEN T,WANG Y,LIU Y.Digital channelized receiver with narrow transiton band based on FRM filter[J].Journal of Jilin University,2015,45(1):335-340(in Chinese).

[10] LI N,NOWROUZIAN B.Application of frequency-response masking technique to the design of a novel modified-DFT filter banks[C]∥IEEE ISCAS,2006:3293-3296.

[11] KUMAR A,SUNKARIA R K.Design of prototype filter using windowing and linear optimization technique for the non-uniform filter banks[C]∥2013 International Conference on Recent Trends in Information Technology. Piscataway,NJ:IEEE Press,2014:352-358.

[12] SUMEDH D,SMITHA K G,VINOD A P.A low complexity reconfigurable channel filter based on decimation,interpolation and frequency response masking[C]∥2013 IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing.Piscataway,NJ:IEEE Press,2013:5583-5587.

[13] 張文旭,陳亞靜,陳濤,等.基于FRM的偶型排列信道化改進結構[J].北京郵電大學學報,2016,39(3):27-33.

ZHANG W X,CHEN Y J,CHEN T,et al.Improved structure of even-arrangement channelized based on FRM[J].Journal of Beijing University of Posts and Telecommunications,2016,39(3):27-33(in Chinese).

[14] TSUI K M,CHAN S C,LIM Y C.Design of multiplet perfect reconstruction filter banks using frequency response masking technique[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems Ⅰ:Regular Papers,2008,55(9):2707-2715.

[15] BINDIYA T S,ELIAS E.Metaheuristic algorithms for the design of multiplier-less non-uniform filter banks based on frequency response masking[J].Soft Computing,2014,18(8):1529-1547.

[16] DHABU S,VINOD A P.Design and FPGA implementation of reconfigurable linear phase digital filter with wide cutoff frequency range and narrow transition bandwidth[J].IEEE Tran-sactions on Circuits and Systems Ⅱ:Express Briefs,2016,63(2):181-185.