張翠萍,王鵬飛

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1969年,Auslander等[1]在雙邊Noether環(huán)R上引入了有限生成模M的Gorenstein 維數(shù)G-dimRM,并證明了G-dimRM≤pdRM(當(dāng)pdRM<∞時(shí),等號(hào)成立).他們還證明了廣義Auslander-Buchshaum公式.1995年,Enochs等[2]在任意環(huán)R上引入了Gorenstein投射模和Gorenstein投射維數(shù)GpdRM的概念,并研究了這類模的相關(guān)同調(diào)性質(zhì).稱左R模M是Gorenstein投射的,如果存在一個(gè)HomR(-,Q)正合的正合列…→P1→P0→P0→P1→…,使得M?Ker(P0→P0),其中Q,Pi(i=0,1…)是投射左R-模.記GpdRM=inf{n∈Z|存在正合列0→Gn→Gn-1→…→G1→G0→M→0,Gi是Gorenstein投射模,i=0,1,2,…,n}.如果這種正合列不存在,則規(guī)定GpdRM=∞.2010年,Bennis等[3]引入了X-Gorenstein投射模的概念；2014年,Zhu[4]引入了Abel范疇的擬可解子范疇X的概念,并給出了X-投射維數(shù)有限的模的幾種等價(jià)條件.隨著X的不同選取,X-Gorenstein投射模涵蓋了Gorenstein投射模[2]、Ding 投射模[5]和Gorenstein-AC投射模.2014年,Emmanouit等[6]給出了Gorenstein投射維數(shù)有限的模的幾種等價(jià)條件,利用這些條件研究了有有限Gorenstein投射維數(shù)的模相對(duì)于有有限投射維數(shù)的模的穩(wěn)定性以及相對(duì)于Gorenstein投射模的穩(wěn)定性.受此啟發(fā),對(duì)于模類X和W,文引入X-余分解維數(shù)和W-余分解維數(shù)的概念,給出了左R-模M的X-余分解維數(shù)有限的幾種等價(jià)刻畫,并研究了這類模相對(duì)于有有限W-余分解維數(shù)的模的穩(wěn)定性以及相對(duì)于模類X的穩(wěn)定性.

以下R指有單位元的結(jié)合環(huán),模指左R-模.

1 模的X-余分解維數(shù)

本節(jié)主要介紹與本文相關(guān)的一些定義和結(jié)論.

定義1設(shè)X是R-模類,稱X是余可解模類,如果滿足下列條件:

(1)X關(guān)于擴(kuò)張封閉,即對(duì)任意R-模的短正合列0→A→B→C→0,若A,C∈X,則B∈X.

(2)X關(guān)于單同態(tài)余核封閉,即對(duì)任意R-模的短正合列0→A→B→C→0,若A,B∈X,則C∈X.

(3)X關(guān)于有限直和與直和項(xiàng)封閉.

定義2設(shè)W是X的一個(gè)子類.稱W是X的投射生成子,如果下列條件滿足:

(1)對(duì)于任意X∈X,存在R-模短正合列0→X′ →W→X→0,其中W∈W,X′∈X.

(3)W關(guān)于有限直和封閉.

定義3設(shè)X是余可解模類,M是R-模.稱正合列

0→M→X0→X1→…→Xn-1→Xn→…

為M的X-余分解,其中Xi∈X(i=0,1,2,…).M的X-余分解維數(shù)(記為X-coresdimRM)定義為:X-coresdimRM=inf{n∈Z|存在正合列0→M→X0→X1→…→Xn-1→Xn→0,Xi∈X,i=0,1,2,…,n}.如果這種余分解不存在,則規(guī)定X-coresdimRM=∞.

類似地,可以定義M的W-余分解及其維數(shù).

以下X指余可解R-模類,W指X的投射生成子類.

命題1設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，則對(duì)任意的R-模M,以下結(jié)論等價(jià):

(1)X-coresdimRM≤n.

(2)存在R-模短正合列0→M→X→W→0,其中W-coresdimRW≤n-1,X∈X.

(3)存在R-模短正合列0→X→W′→M→0,其中W-coresdimRW′≤n,X∈X.

由上圖第二行短正合列知W-coresdimRM′≤n-1.最后考慮以下拉回圖:

因?yàn)閄′,X∈X，從而V′∈X,故第二列即為所需短正合列.

(2)?(1).顯然.

(2)?(3).假設(shè)存在短正合列0→M→X→W→0,其中X∈X,W-coresdimRW≤n-1.因?yàn)閃是X的投射生成子類,故存在短正合列0→X′→W′→X→0,其中X′∈X,W′∈W.考慮以下拉回圖:

因?yàn)閃-coresdimRW≤n-1,因此W-coresdimRM′≤n,第一列即為所需短正合列.

(3)?(2).假設(shè)存在短正合列0→X″→W′→M→0,其中W-coresdimRW′≤n,X″∈X.由W-coresdimRW′≤n可知，存在短正合列0→W′→X→W″→0,其中W-coresdimRW″≤n-1,X∈W.考慮以下推出圖:

因?yàn)閄″,X∈X,從而M′∈X,故第三列即為所需短正合列. 】

命題2設(shè)R-模M的X-余分解維數(shù)有限.

同理,存在λ′,ι′使下圖交換：

考慮以下交換圖:

(2)證明與(1)類似. 】

2 相對(duì)于有限W-余分解維數(shù)的模的穩(wěn)定性

設(shè)M,N是R-模,易得集合H={f:M→N|f可通過一個(gè)有有限W-余分解維數(shù)的R-模分解}是Abel群HomR(M,N)的子群.令W-HomR(M,N)表示商群HomR(M,N)/H, [f]W=[f]表示f所在的剩余類,其中f∈HomR(M,N).

引理1設(shè)M,N,L是R-模,則χ:W-HomR(N,L)×W-HomR(M,N)→W-HomR(M,L),χ([f],[g] )=[fg]是映射.

現(xiàn)在假設(shè)W-R-Mod的對(duì)象為所有R-模做成的類,對(duì)象M到N的態(tài)射集為W-HomR(M,N),態(tài)射的合成為引理1中定義的合成,則W-R-Mod為范疇.

定理1函子μ是μ′的左伴隨對(duì).

易得[q]*是滿的.

設(shè)g∈HomR(X,G),使得[q]* ([g])=[0]∈W-HomR(N,G),即[gq]=[0].考慮以下交換圖:

由引理2(3)知[g]=[0]∈W-HomR(X,G),從而[q]*是單的,所以[q]*是一一映射,即W-HomR(μ(N),G)?W-HomR(N,μ′(G)).故μ是μ′的左伴隨對(duì). 】

3 相對(duì)于模類X的穩(wěn)定性

定理2函子μ是μ′的右伴隨對(duì).

[q]*:X-HomR(G,W)→X-HomR(G,N)

易得[q]*是滿的.

設(shè)g∈HomR(G,W),使得[q]*([g])=[0]∈X-HomR(G,W),即[qg]=[0].考慮以下交換圖:

由引理3(3)知[g]=[0]∈W-HomR(G,W),從而[q]*是單的,所以[q]*是一一映射,即W-HomR(G,μ(N))?W-HomR(μ′(G),N).故μ是μ′的右伴隨對(duì). 】

參考文獻(xiàn):

[1] AUSLANDER M,BRIDGER M.StableModuleTheory[M].Memoirs of American Mathematical Soc,1969.

[2] EDGAR E E,JENDA O M G.Gorenstein injective and projective modules[J].MathZ,1995,220(1):611.

[3] BENNIS D,OUARGHI K.X-Gorenstein projective modules[J].JournalofLanzhouUniversityofTechnology,2010(9-12):487.

[4] ZHU X.The homological theory of quasi-resolving subcategories[J].JAlgebra,2014,414:6.

[5] DING N Q,LI Y L,MAO L X.Strongly Gorenstein flat modules[J].JAustralMathSoc,2009,86(3):323.

[6] EMMANOUIL I,TALELLI O.Finiteness criteria in Gorenstein homological algebra[J].TransAmerMathSoc,2014,366(12):6329.