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數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，也是當(dāng)今學(xué)生較為弱化的一項(xiàng)重要能力.解析幾何在高考中扮演了考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要角色．因其綜合性強(qiáng)，題型多樣，方法靈活，運(yùn)算量大，數(shù)學(xué)思想豐富，學(xué)生普遍望題生畏．在高三綜合測(cè)試中，解幾題無(wú)一不是主要失分題．對(duì)這樣的大眾“難算”題，唯有提高運(yùn)算素養(yǎng)方能標(biāo)本兼治.巴金先生說(shuō)：“學(xué)寫作，只有寫，才會(huì)寫．”同樣，攻克解幾運(yùn)算難關(guān)，只有算，才會(huì)算．以下，筆者以一道解幾綜合題的講評(píng)與反思為例，從五個(gè)方面談?wù)劷馕鰩缀沃腥绾伟l(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，與同行交流探討．

圖1

(2)設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，點(diǎn)M,N是軌跡C上不同于A,B的兩點(diǎn)，且滿足AP∥OM,BP∥ON，求證：△MON的面積為定值．

這是一道高考模擬題．第(2)小問(wèn)很多學(xué)生求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)后就止步了，難度系數(shù)僅為0.36．得分如此低，問(wèn)題出在哪？

1.說(shuō)困難，明晰運(yùn)算障礙——山重水復(fù)疑無(wú)路

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，復(fù)習(xí)課亦如此．經(jīng)歷解題碰壁，學(xué)生心中各有苦悶，講評(píng)時(shí)要善于傾聽學(xué)生的解題困惑，了解其知識(shí)缺陷、思維障礙、方法選擇、運(yùn)算困難，使講評(píng)更具針對(duì)性．學(xué)生的主要思路如下：

生2：(整體代換法2)由已知得kOM·kON=

2.觀路徑，優(yōu)化運(yùn)算方法——柳暗花明又一村

解析幾何題的特點(diǎn)是“想想容易，計(jì)算難”，特別是解題路徑選擇不當(dāng)時(shí)，往往會(huì)卡死在繁瑣的運(yùn)算中．講評(píng)時(shí)，應(yīng)分析學(xué)生解題受阻的原因，引導(dǎo)其優(yōu)化解題方法，順應(yīng)學(xué)生思路，幫助其逐步突破“藩籬”，讓他享受到解題成功的快樂(lè)，以免陷入“屢戰(zhàn)屢敗”的畏難情緒．

生5：(換底法)以O(shè)M為底，再求點(diǎn)N到OM的距離d，計(jì)算量就小多了……唉，是哦！一語(yǔ)驚醒“夢(mèng)中人”，很多同學(xué)茅塞頓開．

師：求得點(diǎn)M,N的坐標(biāo)后，還有什么方法可表示出S△MON？

師：S△MON的表達(dá)式與生4的解法不謀而合呀，怎么她的做法不行呢？

引導(dǎo)同學(xué)再次觀察方程“①，②，③”．幾個(gè)優(yōu)生發(fā)現(xiàn)：方程①②左右兩邊相乘，再將方程③代入，得(x1y2-x2y1)2=6．定值得求．

異曲同工??！一個(gè)個(gè)障礙被跨越，同學(xué)們的思考熱情高漲起來(lái)！

師：多字母運(yùn)算時(shí)，要充分運(yùn)用已知條件，用寬廣的視野進(jìn)行整體觀察、整體運(yùn)算．設(shè)直線方程及交點(diǎn)的坐標(biāo)，但“設(shè)而不求”，是解直線和圓錐曲線問(wèn)題的通法，生3的解法問(wèn)題又出在哪？

至此，解題疑惑全打開．大家發(fā)現(xiàn)還是“換底法”最簡(jiǎn)單，它成功避開了將直線方程代入橢圓方程的運(yùn)算，省去了“根與系數(shù)關(guān)系及曲線弦長(zhǎng)”的繁瑣計(jì)算．同學(xué)們感嘆：條條大路通羅馬，路徑選擇很重要！

若就此結(jié)束講評(píng)，學(xué)生看清的只是原來(lái)模糊的一棵“樹”，運(yùn)算體會(huì)還是停留在解決單一問(wèn)題的淺層水平．維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”認(rèn)為，教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，促進(jìn)學(xué)生向更高水平發(fā)展．

3.探真相，形成運(yùn)算程序——撥云見日現(xiàn)本質(zhì)

師：△MON的面積為定值是必然還是巧合？對(duì)一般橢圓有類似性質(zhì)嗎？

老師肯定了同學(xué)們的猜想．原來(lái)△MON的面積為定值是必然而非巧合．研究“一棵樹”，發(fā)現(xiàn)“一片林”．大家思維飛揚(yáng)，筆者于是乘勝追擊．

追問(wèn)1：如果延長(zhǎng)MO,NO交橢圓于M′,N′，則四邊形MNM′N′的面積是否為定值？若是，定值是多少？

經(jīng)過(guò)一番猜想、驗(yàn)證，同學(xué)們欣喜地發(fā)現(xiàn)：

云霧散去，真相大白．打開一扇門，推開一扇窗：一個(gè)特殊結(jié)論的背后原來(lái)隱藏著“不能說(shuō)的秘密”．解析幾何高冷的形象瞬時(shí)可愛起來(lái)．3個(gè)追問(wèn)，讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線的“定值、取值”問(wèn)題思考更深入、思維更發(fā)散、視野更開闊，促進(jìn)程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣的形成.

4.談體會(huì)，樹立運(yùn)算信心——陽(yáng)光總在風(fēng)雨后

課后，筆者讓學(xué)生對(duì)考試時(shí)的解題困惑及聽講后的感受做了簡(jiǎn)要書面小結(jié)，其豐富的內(nèi)心體驗(yàn)，讓人頗受啟發(fā)．

生6：要靈活變通解題路徑

生7：不破樓蘭終不還

生8：勇敢地算，不要怕繁長(zhǎng)

做解幾題時(shí)經(jīng)常遇到較復(fù)雜的式子，不敢通分，導(dǎo)致化不到最簡(jiǎn)，無(wú)法算出結(jié)果．看過(guò)幾道題后發(fā)覺，直線與橢圓有多個(gè)交點(diǎn)不確定時(shí)，大都可設(shè)直線方程解題，但要利用已知條件將點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系建立起來(lái)，能整體同理代換最好，大大減少計(jì)算量．要勇敢地算，不要怕繁長(zhǎng)的式子，最后一般都能約掉．

5.教后感，強(qiáng)化運(yùn)算實(shí)踐——絕知此事要躬行

解題具有實(shí)踐性和探索性．波利亞說(shuō)：“你想學(xué)會(huì)游泳，你就必須下水，你想成為解題高手，你就必須去解題．”弗里德曼特別強(qiáng)調(diào)：解題訓(xùn)練的心理學(xué)研究表明，學(xué)生在解題時(shí)不具備一般能力的基本原因，在于沒(méi)有經(jīng)常親自動(dòng)手進(jìn)行分析，沒(méi)有從中歸納出一般的運(yùn)算方法及其理論根據(jù)．單墫教授認(rèn)為，解題是一門實(shí)踐性的學(xué)問(wèn)，必須通過(guò)解題學(xué)解題．解析幾何題的兩大難點(diǎn)是：方法選擇和運(yùn)算化簡(jiǎn)．正如前面幾位數(shù)學(xué)家所言，這兩項(xiàng)素養(yǎng)只有在解題實(shí)踐中摸索感悟、積累練就．因此，解析幾何問(wèn)題一定要舍得花時(shí)間讓學(xué)生思考、運(yùn)算和表達(dá)，讓學(xué)生在自己解題、看人解題中學(xué)解題．解幾復(fù)習(xí)教學(xué)中，認(rèn)為讓老師板書、學(xué)生計(jì)算很花時(shí)間，追求高容量、快節(jié)奏，重方法、輕過(guò)程的現(xiàn)象普遍存在；教師“一言堂”的講評(píng)方式成常態(tài)．長(zhǎng)此以往，復(fù)習(xí)教學(xué)廣種薄收，助長(zhǎng)了解幾題成為學(xué)生啃不動(dòng)的“老大難”問(wèn)題．解析幾何綜合題雖然難度大，能力要求高，但復(fù)習(xí)教學(xué)中只要給學(xué)生“學(xué)會(huì)”的機(jī)會(huì)，還是能知難而進(jìn)的．

第二，注重培養(yǎng)思維的靈活性．思維的靈活性是指轉(zhuǎn)向的及時(shí)性，以及不過(guò)多地受思維定式的影響，善于從舊的模式或通常的制約條件中擺脫出來(lái)；是面對(duì)陌生情境能快速找到問(wèn)題解決方法的良好思維品質(zhì)．本課例中，大多數(shù)學(xué)生受“根與系數(shù)的關(guān)系”及“直線被曲線所截弦長(zhǎng)”的定勢(shì)影響，選擇“設(shè)而不求法”和以MN為底求三角形的面積，導(dǎo)致陷入繁瑣運(yùn)算的沼澤．教學(xué)中，老師常將“直線與圓錐曲線問(wèn)題”的解決程序化：①設(shè)直線方程，②將直線方程代入曲線方程，③用“根與系數(shù)的關(guān)系”求弦長(zhǎng)或其它相關(guān)量．所以，學(xué)生在解題中形成思維定勢(shì)、方法定勢(shì)也在情理之中．其實(shí)，“換底法”和“圖形割補(bǔ)法”更強(qiáng)調(diào)幾何直觀，注意從幾何的角度分析與尋找問(wèn)題解決的辦法，而這也是解析幾何問(wèn)題的一個(gè)新導(dǎo)向．“幾何屬性”的恰當(dāng)介入，突顯了解析幾何題“能力立意與多思少算”的命題特點(diǎn)．教師首先要跳出定勢(shì)，設(shè)計(jì)不同類型的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在解題實(shí)踐中體會(huì)、領(lǐng)悟解法的靈活性．

第三，不能貪量，而應(yīng)求質(zhì)．解析幾何題雖千變?nèi)f化，但在方法選擇與計(jì)算策略上還是有相通之處．例如，什么時(shí)候宜正設(shè)直線方程：y=kx+t，什么時(shí)候宜反設(shè)直線方程：x=ky+t；涉及直線與曲線交點(diǎn)問(wèn)題，通常運(yùn)用韋達(dá)定理“設(shè)而不求”；雙變量運(yùn)算化簡(jiǎn)中，通常先化簡(jiǎn)再代入、盡量運(yùn)用整體代換，如在本課例“設(shè)而不求法”中，若過(guò)早將“2t2=2m2+3”代入“y1+y2,y1·y2”，運(yùn)算將非常復(fù)雜．在解析幾何綜合問(wèn)題復(fù)習(xí)教學(xué)中，泛講十題，不如練透一題：讓學(xué)生用符合自己思維習(xí)慣的通法將題目解完整、做嚴(yán)謹(jǐn)；在多種方法的優(yōu)劣比較中，感悟運(yùn)算的優(yōu)化、方法的選擇；通過(guò)一個(gè)特殊結(jié)論，發(fā)現(xiàn)一片普通屬性．“練透”的過(guò)程，同時(shí)也是扎實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練思維能力、歷練解題意志、豐富經(jīng)驗(yàn)題感的過(guò)程．

羅增儒教授說(shuō)：“基礎(chǔ)知識(shí)要通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)消化；思維素質(zhì)要通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)優(yōu)化；解題方法要通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)強(qiáng)化．”同樣，運(yùn)算素養(yǎng)要通過(guò)解題實(shí)踐來(lái)發(fā)展．解析幾何教學(xué)中，應(yīng)多為學(xué)生提供“思與算”的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在解題實(shí)踐中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

[1]羅增儒，數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2004.