孫 銘，李冬鵬,2，陳壽萬，郭建友*

(1.安徽大學(xué) 物理與材料科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230039； 2.合肥師范學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥230601)

對(duì)稱性在原子核的殼層結(jié)構(gòu)及其演化規(guī)律中扮演重要角色.自旋軌道相互作用的引進(jìn)，成功地解釋了實(shí)驗(yàn)室發(fā)現(xiàn)的幻數(shù)[1-2].贗自旋對(duì)稱概念[3-4]解釋了大量的核物理現(xiàn)象，包括原子核的超形變帶、全同帶、贗自旋伙伴帶和幻數(shù)移動(dòng)等.

為了揭示自旋和贗自旋對(duì)稱性的起源，物理學(xué)家們做了大量工作.1949年，Jensen，Mayer等在Schr?dinger方程中引入自旋-軌道相互作用，成功地解釋了自旋對(duì)稱性破缺[1-2].1969年，Arima，Hecht等發(fā)現(xiàn)單粒子態(tài)(n,l,j=l+1/2)和(n-1,l+2,j=l+3/2)的能量非常接近，具有近簡并結(jié)構(gòu)[3-4].贗自旋對(duì)稱性被提出后，其起源問題一直沒有弄清楚.Bahri等發(fā)現(xiàn)：當(dāng)自旋-軌道耦合強(qiáng)度和軌道-軌道耦合強(qiáng)度滿足一定比例時(shí)，原子核的贗自旋雙重態(tài)近似簡并，具有贗自旋對(duì)稱性，并指出這一比例關(guān)系可由相對(duì)論平均場(chǎng)(relativistic mean field,簡稱RMF)理論解釋[5].1997年，Ginocchio求解了球形核的Dirac方程，發(fā)現(xiàn)贗自旋對(duì)稱性實(shí)質(zhì)上是一種相對(duì)論對(duì)稱性[6].嚴(yán)格贗自旋對(duì)稱性的條件是Dirac方程中的標(biāo)量勢(shì)S和矢量勢(shì)V之和為零，而且贗軌道角動(dòng)量就是Dirac波函數(shù)下旋量中的軌道角動(dòng)量，孟杰等將這一條件推廣到更一般情況，即S+V=常數(shù)，并指出核中贗自旋對(duì)稱性與贗離心勢(shì)壘和贗自旋-軌道耦合勢(shì)相關(guān)[7].文獻(xiàn)[8]研究了反核子譜中的自旋對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)反核子譜中的自旋對(duì)稱性比核子譜中的贗自旋對(duì)稱性保持得更好.

在原子核中，由于不存在非束縛核，嚴(yán)格的贗自旋對(duì)稱性是不存在的.雖然人們對(duì)贗自旋對(duì)稱性的起源進(jìn)行了探討，核中贗自旋對(duì)稱性的破缺機(jī)制一直沒有弄清楚.為此，郭建友課題組引入類重整化群(similarity renormalization group, 簡稱SRG)方法，通過連續(xù)幺正變換把Dirac哈密頓量轉(zhuǎn)化成對(duì)角形式，探究相對(duì)論對(duì)稱性,揭示相對(duì)論對(duì)稱性的起源和破缺機(jī)制[17-18]；隨后把這一方法推廣到形變核，研究形變核的自旋和贗自旋對(duì)稱性及其隨形變演化的規(guī)律[19-20].該文利用相對(duì)論平均場(chǎng)理論研究超形變核態(tài)的相對(duì)論對(duì)稱性.

1 理論框架

在相對(duì)論平均場(chǎng)理論[21]框架下，核子間通過交換介子發(fā)生相互作用，模型的拉格朗日密度可表達(dá)為

(1)

其中

Ωμν=?μων-?νωμ，

Rμν=?μρν-?νρμ-gρ(ρμ×ρν)，

Fμν=?μAν-?νAμ，

由歐拉-拉格朗日方程

(2)

導(dǎo)出的核子運(yùn)動(dòng)Dirac方程為

[α·p+V(r)+β(M+S(r))]ψ=εψ，

(3)

其中

S(r)=gσσ，

相對(duì)論平均場(chǎng)理論細(xì)節(jié)可參看文獻(xiàn)[21]，在此不再贅述.

2 計(jì)算結(jié)果與討論

以194Hg為例，研究超形變核態(tài)的相對(duì)論對(duì)稱性，用相對(duì)論理論計(jì)算原子核的結(jié)合能、單粒子能級(jí)，相互作用參數(shù)組取NL3.圖1展示了194Hg原子核的總結(jié)合能隨形變變化的曲線，其中能量的最低點(diǎn)被設(shè)置為零.從圖1可以看出，194Hg能量曲線存在1個(gè)最小和2個(gè)極小，第1個(gè)極小對(duì)應(yīng)正常形變態(tài)，第2個(gè)極小對(duì)應(yīng)超形變態(tài).這個(gè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)上發(fā)現(xiàn)的194Hg存在正常形變態(tài)和超形變核態(tài)一致，表明用相對(duì)論平均場(chǎng)理論分析超形變核的對(duì)稱性是合適的.

圖1 原子核194Hg的總結(jié)合能隨形變變化的曲線

圖2展示了9對(duì)自旋雙重態(tài)單粒子能級(jí)隨形變的變化.左邊是球形核單粒子態(tài)的標(biāo)記，右邊是形變核單粒子態(tài)的Nilsson標(biāo)記.從圖2中可以看出，自旋能量劈裂不僅與雙重態(tài)的量子數(shù)相關(guān)，而且與原子核的形變相關(guān).角動(dòng)量第3分量最大的自旋雙重態(tài)的單粒子能量隨著形變的增加而減小，減小的程度隨軌道量子數(shù)增加更加明顯；角動(dòng)量第3分量最小的自旋雙重態(tài)的單粒子能量隨著形變的增加而增加，增加的程度隨軌道量子數(shù)增加更加突出；其他單粒子態(tài)的能量隨形變變化的趨勢(shì)介于上述兩者之間.

圖3展示了4個(gè)自旋雙重態(tài)的自旋能量劈裂隨形變變化的情況.從圖3可以看出，球形核的自旋能量劈裂最大，隨著形變的增加，自旋能量劈裂減小，減小的程度與雙重態(tài)的量子數(shù)相關(guān).在曲線的第2個(gè)極小(超形變核態(tài)處)，自旋能量劈裂最小或極小.隨著形變的增加，自旋能量劈裂變化不大.當(dāng)原子核處于超形變態(tài)時(shí)，不僅所有單粒子能量變小，而且自旋軌道劈裂變小，能級(jí)變密.這表明：超形變核態(tài)具有更好的自旋對(duì)稱性，這也是超形變核態(tài)具有較好穩(wěn)定性的原因之一.

圖2 自旋雙重態(tài)單粒子能級(jí)隨形變變化的情況

圖3 自旋雙重態(tài)的自旋能量劈裂隨形變變化的情況

圖4展示了從1g7/2和1g9/2自旋雙重態(tài)分裂出的4個(gè)自旋雙重態(tài)的自旋能量劈裂隨形變變化的情況.從圖4可以看出，隨著形變的增加，自旋能量劈裂變化明顯，雙重態(tài)[431]1/2和[431]3/2的能量劈裂迅速減小，雙重態(tài)[404]7/2和[404]9/2的能量劈裂迅速增加.形變?chǔ)?>0.4時(shí)，隨角動(dòng)量第3分量的增加，自旋能量劈裂顯著增加，即角動(dòng)量第3分量小的雙重態(tài)自旋對(duì)稱性更好.遍及形變范圍，雙重態(tài)([431]1/2,[431]3/2)和([422]3/2,[422]5/2)的能量劈裂小于球形情況，在超形變處，幾乎最小，這反映194Hg處于超形變核態(tài)時(shí)擁有較好的自旋對(duì)稱性，穩(wěn)定性更好.

除了自旋對(duì)稱性，筆者也探索了194Hg超形變核態(tài)的贗自旋對(duì)稱性.圖5展示了贗自旋雙重態(tài)單粒子能量隨形變變化的情況，左邊是球形核單粒子態(tài)的標(biāo)記，右邊是形變核單粒子態(tài)的Nilsson標(biāo)記.從圖5可以看出，從同一球形贗自旋雙重態(tài)軌道分裂出的多個(gè)贗自旋雙重態(tài)中，角動(dòng)量第3分量最大的一對(duì)雙重態(tài)的單粒子能量隨形變?cè)黾佣黾?；角?dòng)量第3分量最小的一對(duì)雙重態(tài)的單粒子能量隨形變?cè)黾佣鴾p小；對(duì)介于兩者之間的贗自旋雙重態(tài)，單粒子能量隨形變變化介于兩者之間.同時(shí)，也觀察到，隨形變?cè)黾于I自旋雙重態(tài)的單粒子能級(jí)間隙變小，贗自旋對(duì)稱性變好，即形變核比球形核具有更好的贗自旋對(duì)稱性，大形變核比小形變核有更好的贗自旋對(duì)稱性.

圖4 從1g7/2和1g9/2自旋雙重態(tài)分裂出的4個(gè)自 旋雙重態(tài)的自旋能量劈裂隨形變變化的情況

圖5 贗自旋雙重態(tài)單粒子能量隨形變變化的情況

圖6 贗自旋雙重態(tài)的贗自旋能量劈裂隨形變變化的情況

圖7展示了同一球形贗自旋雙重態(tài)分裂的4個(gè)贗自旋雙重態(tài)的贗自旋能量劈裂隨形變變化的情況.從圖7可以看出，隨著形變的增加，贗自旋雙重態(tài)的贗自旋能量劈裂減小.隨著角動(dòng)量第3分量的增加，贗自旋雙重態(tài)的贗自旋能量劈裂減小的速度更快.這些再次反映出，形變核具有更好的贗自旋對(duì)稱性，大形變核的贗自旋對(duì)稱性比小形變核的好.同時(shí)，也觀察到，β2>0.6時(shí)，贗自旋雙重態(tài)[503]7/2和[505]9/2的能量劈裂出現(xiàn)反轉(zhuǎn)，但如此大的形變通常是不存在的.

圖7 同一球形贗自旋雙重態(tài)分裂的4個(gè)贗自旋雙重態(tài)的贗自旋能量劈裂隨形變變化的情況

綜上所述，形變核的單粒子能級(jí)結(jié)構(gòu)及自旋和贗自旋對(duì)稱性與能級(jí)的量子數(shù)和形變都相關(guān).對(duì)于自旋對(duì)稱性，隨著形變的增加，自旋雙重態(tài)的能量劈裂減小.當(dāng)原子核處于超形變態(tài)時(shí)，不僅所有單粒子能量變小，而且自旋軌道劈裂變小，能級(jí)變密.對(duì)于贗自旋對(duì)稱性，贗自旋能量劈裂與雙重態(tài)的量子數(shù)和形變相關(guān)，形變核具有更好的贗自旋對(duì)稱性，大形變核的贗自旋對(duì)稱性比小形變核的好.

3 結(jié)束語

筆者利用相對(duì)論平均場(chǎng)理論計(jì)算了超形變核態(tài)的結(jié)合能和單粒子能級(jí)，提取了單粒子能級(jí)的自旋和贗自旋雙重態(tài)的能量劈裂，研究了自旋和贗自旋對(duì)稱性及其隨形變變化的規(guī)律，結(jié)果表明：超形變核態(tài)的自旋和贗自旋對(duì)稱性與雙重態(tài)的量子數(shù)和形變都相關(guān).對(duì)于自旋對(duì)稱性，角動(dòng)量第3分量大的自旋雙重態(tài)，自旋能量劈裂隨形變的增加而增加，角動(dòng)量第3分量小的自旋雙重態(tài)，自旋能量劈裂隨形變的增加而減小.當(dāng)原子核處于超形變態(tài)時(shí)，不僅所有單粒子能量變小，而且自旋能量劈裂出現(xiàn)最小或極小，能級(jí)變密，此表明超形變核態(tài)具有更好的自旋對(duì)稱性.對(duì)于贗自旋對(duì)稱性，贗自旋能量劈裂與雙重態(tài)的量子數(shù)和形變都相關(guān)，形變核具有更好的贗自旋對(duì)稱性，大形變核的贗自旋對(duì)稱性比小形變核的好.

參考文獻(xiàn)：

[1] HAXEL O , JENSEN J H D , SUESS H E. On the “magic numbers” in nuclear structure[J]. Phys Rev, 1949, 75: 1766.

[2] MAYER M G. On closed shells in nuclei[J]. Phys Rev, 1949, 75: 1969-1970.

[3] ARIMA A, HARVEY M, SHINIZU K. Pseudo LS coupling and pseudo SU (3) coupling schemes[J]. Phys Lett B, 1969, 30: 517-522

[4] HECHT K T, ADLER A. Generalized seniority for favoredJ≠ 0 pairs in mixed configurations[J]. Nucl Phys A, 1969, 137: 129-143.

[5] BAHRI C, DRAAYER J P, MOSZKOWSKI S A. Pseudospin symmetry in nuclear physics[J]. Phys Rev Lett, 1992, 68: 2133-2136.

[6] GINOCCHIO J N. Pseudospin as a relativistic symmetry[J]. Phys Rev Lett, 1997, 78: 436-439.

[7] MENG J, SUGAWARA-TANABE K, YAMAJI S, et al. Pseudospin symmetry in relativistic mean field theory[J]. Phys Rev C, 1998, 58: R628-R631.

[8] ZHOU S G, MENG J, RING P. Spin symmetry in the antinucleon spectrum[J]. Phys Rev Lett, 2003, 91: 262501.

[9] BOHR A, HAMAMOTO I, MOTTELSON B R. Pseudospin in rotating nuclear potentials[J]. Phys Scr, 1982, 26: 267-272.

[10] GAMBHIR Y K, MAHARANA J P, WARKE C S. Pseudo-spin as a relativistic symmetry[J]. Eur Phys J A, 1998, 3: 255-262.

[11] LALAZISSIS G A, GAMBHIR Y K, MAHARANA J P, et al. Relativistic mean field approach and the pseudospin symmetry[J]. Phys Rev C, 1998, 58: R45-R48.

[12] SUGAWARA-TANABE K, ARIMA A. Hidden pseudospin symmetry in the Dirac equation[J]. Phys Rev C, 1998, 58: R3065-R3068.

[13] SUGAWARA-TANABE K, YAMAJI S, ARIMA A. Pseudospin symmetry in the Dirac equation with a deformed potential[J]. Phys Rev C, 2000, 62: 054307.

[14] GINOCCHIO J N, LEVIATAN A, MENG J, et al. Test of pseudospin symmetry in deformed nuclei[J]. Phys Rev C, 2004, 69: 034303.

[15] GINOCCHIO J N. Relativistic symmetries in nuclei and hadrons[J]. Phys Rep, 2005, 414: 165-261.

[16] LIANG H Z, MENG J, ZHOU S G. Hidden pseudospin and spin symmetries and their origins in atomic nuclei[J], Phys Rep, 2015, 570: 1-84.

[17] GUO J Y. Exploration of relativistic symmetry by the similarity renormalization group[J]. Phys Rev C, 2012, 85: 021302 (R).

[18] LI D P, CHEN S W, GUO J Y. Further investigation of relativistic symmetry with the similarity renormalization group[J], Phys Rev C, 2013, 87: 044311.

[19] GUO J Y, CHEN S W, NIU Z M, et al. Probing the symmetries of the Dirac Hamiltonian with axially deformed scalar and vector potentials by similarity renormalization group[J]. Phys Rev Lett, 2014, 112: 062502.

[20] LI D P, CHEN S W, NIU Z M, et al. Further investigation of relativistic symmetry in deformed nuclei by similarity renormalization group[J]. Phys Rev C, 2015, 91: 024311.

[21] RING P. Relativistic mean field theory in finite nuclei[J]. Prog Part Nucl Phys, 1996, 37: 193-263.