李國鋒

(安徽大學 物理與材料科學學院，安徽 合肥 230039)

量子系統(tǒng)與周圍環(huán)境發(fā)生相互作用是不可避免的，因此研究各種環(huán)境噪聲對量子系統(tǒng)的作用是一件很有意義的事情，科研人員已研究噪聲對量子系統(tǒng)的影響[1-2].另外，超糾纏的量子關聯(lián)作為一種重要的量子資源，已引起人們極大關注[3-5]，這是因為其在未來的量子網(wǎng)絡中有很多潛在應用，如態(tài)合并(state merging)[6-7]、遠程態(tài)制備(remote state preparation)[8]、援助態(tài)辨別(assisted state discrimination)[9]和量子計算(quantum computation)[10-11].量子系統(tǒng)受環(huán)境噪聲影響，其內在的量子關聯(lián)也受環(huán)境噪聲影響.通常情況下，噪聲被認為總是損害(減少)量子系統(tǒng)的量子關聯(lián)，而實際上并非如此，一些研究者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)某些特殊噪聲在一定條件下能夠增加系統(tǒng)的量子關聯(lián)[12-13].研究人員的注意力集中到了所謂的關聯(lián)動力學領域[14-15]，此領域的研究對象為開放系統(tǒng)及與其作用的環(huán)境，這些環(huán)境的作用可視為噪聲.

謝傳梅等[16]已研究兩種噪聲(移相噪聲和旋轉噪聲)[17-18]對量子二元(qubit) Werner態(tài)量子關聯(lián)的影響，其研究顯示：在量子失協(xié)[3]和幾何失協(xié)[4]框架下，量子關聯(lián)在這兩種噪聲的作用下并不發(fā)生改變.筆者將考慮在量子失協(xié)和測量擾動框架下，量子三元(qutrit)Werner態(tài)的量子關聯(lián)在移相噪聲和旋轉噪聲作用下的行為.

1 量子三元Werner態(tài)

在考慮這兩種噪聲之前，先簡單介紹一下量子三元Werner態(tài).量子三元Werner態(tài)的表達式為

(1)

2 移相噪聲作用下的量子三元Werner態(tài)

根據(jù)移相噪聲的性質，經(jīng)歷一個移相噪聲通道，量子三元的各元分別變?yōu)?/p>

|0〉→eiθ0|0〉, |1〉→eiθ1|1〉, |2〉→eiθ2|2〉,

(2)

其中：|0〉，|1〉，|2〉分別表示相應的態(tài)；θ0，θ1，θ2(均為實數(shù))則分別表示在噪聲的作用下這三態(tài)的相位變化.根據(jù)式(2)可得到

|00〉→ei2θ0|00〉， |01〉→ei(θ0+θ1)|01〉， |02〉→ei(θ0+θ2)|02〉，

|10〉→ei(θ1+θ0)|10〉， |11〉→ei2θ1|11〉， |12〉→ei(θ1+θ2)|12〉，

|20〉→ei(θ2+θ0)|20〉， |21〉→ei(θ2+θ1)|21〉， |22〉→ei2θ2|22〉.

(3)

經(jīng)過嚴格的推導和計算，移相噪聲作用后的量子三元Werner態(tài)變?yōu)?/p>

|11〉〈11|+e-i2γ01|11〉〈00|+e-i2γ02|22〉〈00|+e-i2γ12|22〉〈11|+|22〉〈22|].

(4)

通過近一步的觀察，發(fā)現(xiàn)方程(4)還可以寫成

(5)

其中：U=eiφ0|0〉〈0|+eiφ1|1〉〈1|+eiφ2|2〉〈2|是單粒子幺正算符，且φ0=θ0-θ1-θ2，φ1=θ1-θ0-θ2，φ2=θ2-θ0-θ1.從式(5)可知： 移相噪聲對量子三元 Werner態(tài)的作用等價于局域幺正操作.文獻[19]明確指出：任意局域幺正操作下的Werner態(tài)，其量子關聯(lián)不因操作改變，所以可以得到如下結論：經(jīng)過移相噪聲作用后的量子三元 Werner態(tài)，其量子關聯(lián)量值不發(fā)生改變.

3 旋轉噪聲作用下的量子三元Werner態(tài)

3維空間的任意角度的旋轉可分解為3個垂直方向的定軸平面旋轉.在旋轉噪聲通道中，旋轉被加到量子三元的每一元上，即

(6)

其中

(7)

逐項考慮各平面(2維)旋轉對各元的影響，將3平面旋轉疊加起來就是綜合效果.考慮噪聲分量R3(γ)作用下兩體矢量的改變，在旋轉噪聲分量R3(γ)作用下，新產(chǎn)生的矢量(箭頭右邊)與原矢量(箭頭右邊各項)的關系為

(8)

其中：γ為|0〉，|1〉因噪聲擾動而旋轉的角度，且為實數(shù).

經(jīng)過繁瑣的多步計算，可得到

|00〉〈00|→cos4γ|00〉〈00|+sinγcos3γ|00〉〈01|+sinγcos3γ|00〉〈10|+sin2γcos2γ|00〉〈11|+

sinγcos3γ|01〉〈00|+sin2γcos2γ|01〉〈01|+sin2γcos2γ|01〉〈10|+sin3γcosγ|01〉〈11|+

sinγcos3γ|10〉〈00|+sin2γcos2γ|10〉〈01|+sin2γcos2γ|10〉〈10|+sin3γcosγ|10〉〈11|+

sin2γcos2γ|11〉〈00|+sin3γcosγ|11〉〈01|+sin3γcosγ|11〉〈10|+sin4γ|11〉〈11|，

(9)

|01〉〈01|→sin2γcos2γ|00〉〈00|-sinγcos3γ|00〉〈01|+sin3γcosγ|00〉〈10|-sin2γcos2γ|00〉〈11|-

sinγcos3γ|01〉〈00|+cos4γ|01〉〈01|-sin2γcos2γ|01〉〈10|+sinγcos3γ|01〉〈11|+

sin3γcosγ|10〉〈00|-sin2γcos2γ|10〉〈01|+sin4γ|10〉〈10|-sin3γcosγ|10〉〈11|-

sin2γcos2γ|11〉〈00|+sinγcos3γ|11〉〈01|-sin3γcosγ|11〉〈10|+sin2γcos2γ|11〉〈11|，

(10)

|10〉〈10|→sin2γcos2γ|00〉〈00|-sinγcos3γ|00〉〈01|+sin3γcosγ|00〉〈10|-sin2γcos2γ|00〉〈11|-

sinγcos3γ|01〉〈00|+cos4γ|01〉〈01|-sin2γcos2γ|01〉〈10|+sinγcos3γ|01〉〈11|+

sin3γcosγ|10〉〈00|-sin2γcos2γ|10〉〈01|+sin4γ|10〉〈10|-sin3γcosγ|10〉〈11|-

sin2γcos2γ|11〉〈00|+sinγcos3γ|11〉〈01|-sin3γcosγ|11〉〈10|+sin2γcos2γ|11〉〈11|，

(11)

|11〉〈11|→sin4γ|00〉〈00|-sin3γcosγ|00〉〈01|-sin3γcosγ|00〉〈10|+sin2γcos2γ|00〉〈11|-

sin3γcosγ|01〉〈00|+sin2γcos2γ|01〉〈01|+sin2γcos2γ|01〉〈10|-sinγcos3γ|01〉〈11|-

sin3γcosγ|10〉〈00|+sin2γcos2γ|10〉〈01|+sin2γcos2γ|10〉〈10|-sinγcos3γ|10〉〈11|+

sin2γcos2γ|11〉〈00|-sinγcos3γ|11〉〈01|-sinγcos3γ|11〉〈10|+cos4γ|11〉〈11|，

(12)

|00〉〈11|→sin2γcos2γ|00〉〈00|-sinγcos3γ|00〉〈01|-sin3γcosγ|00〉〈10|+sin4γ|00〉〈11|-

sin3γcosγ|01〉〈00|-cos2γcos2γ|01〉〈01|-sin2γcos2γ|01〉〈10|+sinγcos3γ|01〉〈11|+

sin3γcosγ|10〉〈00|-sin2γcos2γ|10〉〈01|-sin2γcos2γ|10〉〈10|-sin3γcosγ|10〉〈11|+

cos4γ|11〉〈00|+sinγcos3γ|11〉〈01|+sinγcos3γ|11〉〈10|+sin2γcos2γ|11〉〈11|，

(13)

|11〉〈00|→sin2γcos2γ|00〉〈00|+sin3γcosγ|00〉〈01|+sin3γcosγ|00〉〈10|+sin4γ|00〉〈11|-

sinγcos3γ|01〉〈00|-sin2γcos2γ|01〉〈01|-sin2γcos2γ|01〉〈10|-sin3γcosγ|01〉〈11|-

sinγcos3γ|10〉〈00|-sin2γcos2γ|10〉〈01|-sin2γcos2γ|10〉〈10|-sin3γcosγ|10〉〈11|+

cos4γ|11〉〈00|+sinγcos3γ|11〉〈01|+sinγcos3γ|11〉〈10|+sin2γcos2γ|11〉〈11|，

(14)

|02〉〈02|→cos2γ|02〉〈02|+sinγcosγ|02〉〈02|+sinγcosγ|12〉〈02|+sin2γ|12〉〈12|，

(15)

|12〉〈12|→sin2γ|02〉〈02|-sinγcosγ|02〉〈02|-sinγcosγ|12〉〈02|+cos2γ|12〉〈12|，

(16)

|20〉〈20|→cos2γ|20〉〈20|+sinγcosγ|20〉〈21|+sinγcosγ|21〉〈20|+sin2γ|21〉〈21|，

(17)

|21〉〈21|→sin2γ|20〉〈20|-sinγcosγ|20〉〈21|-sinγcosγ|21〉〈20|+cos2γ|21〉〈21|，

(18)

|00〉〈22|→cos2γ|00〉〈22|+sinγcosγ|01〉〈22|+sinγcosγ|10〉〈22|+sin2γ|11〉〈22|，

(19)

|11〉〈22|→sin2γ|00〉〈22|-sinγcosγ|01〉〈22|-sinγcosγ|10〉〈22|+cos2γ|11〉〈22|，

(20)

|22〉〈00|→cos2γ|22〉〈00|+sinγcosγ|22〉〈01|+sinγcosγ|22〉〈10|+sin2γ|22〉〈11|，

(21)

|22〉〈11|→sin2γ|22〉〈00|-sinγcosγ|22〉〈01|-sinγcosγ|22〉〈10|+cos2γ|22〉〈11|，

(22)

|22〉〈22|→|22〉〈22|.

(23)

把式(9)～(23)代入方程(1)，可發(fā)現(xiàn)受到旋轉噪聲分量R3(γ)作用后的量子三元Werner態(tài)并沒有發(fā)生改變，即

(24)

類似地，可以得到

(25)

(26)

顯然，可以得到

(27)

也就是說旋轉噪聲作用后的量子三元Werner態(tài)仍然為量子三元Werner態(tài)，等價于態(tài)整體發(fā)生了空間旋轉，各相對矢量之間的關系沒變.

4 結束語

筆者研究了在移相噪聲和旋轉噪聲作用下的量子三元Werner態(tài)，結果表明：這兩種噪聲不改變量子三元Werner態(tài)中的量子關聯(lián).換句話講，量子三元Werner態(tài)的量子關聯(lián)具有抵抗噪聲擾動的特性，這一結果與文獻[16]的互為印證，并把研究結論從量子二元Werner態(tài)推廣到量子三元Werner態(tài).文獻[20]在度量量子三元Werner衍生態(tài)量子關聯(lián)的過程中，忽略了這兩種噪聲的存在及影響，筆者該文的結論表明這種忽略是合理的.

參考文獻：

[1] ZYCZKOWSKI K, HORODECKI P, HORODECKI M, et al. Dynamics of quantum entanglement[J]. Phys Rev A, 2001, 65: 012101.

[2] ROGHANI M, HELM H, BREUEr H P. Entanglement dynamics of a strongly driven trapped atom[J]. Phys Rev Lett, 2011, 106: 040502.

[3] OLLIVIER H, ZUREK W H. Quantum discord: a measure of the quantumness of correlations[J]. Phys Rev Lett, 2001, 88: 017901.

[4] DAKI B, VEDRAL V, BRUKNER C. Necessary and sufficient condition for nonzero quantum discord[J]. Phys Rev Lett, 2010, 105: 190502.

[5] RULLI C C, SARANDY M S. Global quantum discord in multipartite systems[J]. Phys Rev A, 2011, 84: 042109.

[6] MADHOK V, DATTA A. Interpreting quantum discord through quantum state merging[J]. Phys Rev A, 2011, 83: 032323.

[7] CAVALCANTI D, AOLITA L, BOIXO S, et al. Operational interpretations of quantum discord[J]. Phys Rev A, 2011, 83: 032324.

[8] DAKIC B, LIPP Y O , MA X, et al. Quantum discord as resource for remote state preparation[J]. Nature Phys, 2012, 8: 666-670.

[9] LI B, FEI S M, WANG Z X, et al. Assisted state discrimination without entanglement[J]. Phys Rev A, 2012, 85: 022328.

[10] KNILL E，LAFLAMME R. Power of one bit of quantum information[J]. Phys Rev Lett, 1998, 81: 5672-5675.

[11] DATTA A, SHAJI A, CAVES M. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys Rev Lett, 2008, 100: 050502.

[12] STRELTSOV A, KAMPERMANN H, BRU D. Behavior of quantum correlations under local noise[J]. Phys Rev Lett, 2011, 107: 170502.

[13] CICCARELLO F, GIOVANNETTI V. Local-channel-induced rise of quantum correlations in continuous variable systems[J]. Phys Rev A, 2012, 85: 022108.

[14] MAZIERO J, WERLANG T, FANCHINI F F, et al. System-reservoir dynamics of quantum and classical correlations[J]. Phys Rev A, 2010, 81: 022116.

[15] LANYON B P, BARBIERI M, ALMEIDA M P, et al. Experimental quantum computing without entanglement[J]. Phys Rev Lett, 2008, 101: 200501.

[16] XIE C M, LIU Y M, LI G F, et al. A note on quantum correlations in Werner states under two collective noises[J]. Quantum Inf Process, 2014, 13: 2713-2718.

[17] BOILEAU J C, GOTTESMAN D, LAFLAMME R, et al. Robust polarization-based quantum key distribution over a collective-noise channel[J]. Phys Rev Lett, 2004 92: 017901.

[18] ZHANG Z J. Robust multiparty quantum secret key sharing over two collective-noise channels[J]. Physica Astatistical Machanic and Its Applications， 2006, 361: 233-238.

[19] TOHYA H, SATOSHI I. Local and nonlocal properties of Werner states[J]. Phys Rev A, 2000, 62: 044302.

[20] LI G F, LIU Y M, TANG H, et al. Analytic expression of quantum correlations in qutrit Werner states undergoing local and nonlocal unitary operations[J]. Quantum Inf Process, 2015, 14: 559-572.