沈明強

[摘 要] 學生在高中階段如果能夠養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣，對其一生都會產(chǎn)生極為有意義的影響. 因此，教師在日常教學中應(yīng)不斷鉆研科學、合適的教學方法以幫助學生良好思維的形成.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學，思維方法；案例研究

合適的數(shù)學教學方法對知識的傳授與學生數(shù)學思維的培養(yǎng)都具備極大的價值. 雖然大多數(shù)學生在高中畢業(yè)之后用到高中數(shù)學知識的概率很小，但是，學生在高中階段如果能夠養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣，對其一生都會產(chǎn)生極為有意義的影響.

形象思維

根據(jù)事物本身所具有的具體形象或者表象展開積極的聯(lián)想而形成的思維稱之為形象思維. 數(shù)學知識具備高度的抽象性與邏輯的嚴謹性雖然是大家所熟知的顯著特征，但形象思維在數(shù)學學習中的存在并不矛盾. 不過，學生形象思維的培養(yǎng)需要教師在教學活動中對自身教學方法不斷進行反思、調(diào)整與改進才能順利達成. 比如，在教學中盡量發(fā)揮教具或者學具的作用，使學生在教具、學具的多次使用中得到形象思維的訓練與提升；再比如，教師還可以將圖形多多運用于抽象問題的教學中，使得學生面對抽象問題時能夠建立具體形象的感知.

案例1：三角函數(shù)的誘導公式

設(shè)計構(gòu)思：三角函數(shù)這一知識點一向都是函數(shù)知識的重點內(nèi)容，其中誘導公式又一直是令學生覺得存在一定難度的知識點，很多學生對“奇變偶不變、符號看象限”的口訣進行了死記硬背，但對公式的由來卻知之甚少. 本案例是利用單位圓的對稱性對誘導公式的挖掘與推導，相信學生在發(fā)現(xiàn)這些誘導公式的同時一定能鍛煉到自身的形象思維.

教學程序：

1. 回顧復(fù)習

學生在教師的引領(lǐng)下對下列內(nèi)容進行有意義的回顧：

①聯(lián)想單位圓定義角的正弦與余弦函數(shù)：如圖1所示，角α的頂點與直角坐標系原點重合，單位圓和該角終邊相交于點P（μ，ν），則sinα=ν，cosα=μ.

②判定角的正弦和余弦函數(shù)：

2. 新知探究

教師給出問題，要求學生解決：已知角α終邊和單位圓相交于P（μ，ν），如圖，請作圖并分別找出角-α、α±π、π-α和單位圓的交點坐標.

學生通過作圖并聯(lián)想單位圓的對稱性得到以下結(jié)果：

①由圖3可得，角-α的終邊和單位圓交點坐標為P1（μ，-ν）；

②由圖4可得，角α+π、角α-π的終邊和單位圓的交點坐標分別為P2（-μ，-ν）、P3（-μ，-ν）.

③由①中圖形可作角π-α終邊和單位圓交點坐標P4（-μ，ν）.

根據(jù)以上結(jié)果，聯(lián)想上節(jié)角的正弦和余弦函數(shù)的定義sinα=ν，cosα=μ，則可以發(fā)現(xiàn)：

sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα；

sin（α±π）=-sinα，cos（α±π）=-cosα；

sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα.

3. 例題解析

例1：求以下各角的三角函數(shù)值：

①sin-；②cos；

③cos-.

例2：利用單位圓，求適合以下條件的角的集合：

①cosα=-；②sinα=0.

4. 拓展訓練

利用單位圓，求適合以下條件的角的集合：

①cosα≤-；②sinα≤.

上述教學過程從單位圓及其對稱性的表象進行推導，最終得出了三角函數(shù)誘導公式，學生在知識回顧、新知探究、例題解析以及拓展訓練過程中認識到了公式間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，對此知識點的記憶自然會產(chǎn)生更為深刻的印象.

抽象邏輯思維

抽象邏輯思維在數(shù)學學習中一般都會以概念、判斷以及推理的形式來進行，數(shù)學學習中對概念的理解與應(yīng)用、對數(shù)學公式定理進行證明、對問題最終進行分析與解決等過程都離不開原有知識基礎(chǔ)上的推理以及證明等思維的過程. 因此，教師在高中數(shù)學的教學活動中一定要在了解學生實際情況的基礎(chǔ)上采用最為科學與合理的教學方法進行教學，讓學生最大限度地感知數(shù)學知識形成與發(fā)展的過程，使學生的抽象邏輯思維也在深刻感知與領(lǐng)悟中得到最有價值的鍛煉與提升. 接下來以“解三角形”的一個典型例題進行分析與說明.

案例2：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，A=，bsin+C-csin+B=a.

（1）求證：B-C=；

（2）如果a=，試求△ABC的面積.

分析：拿到題目首先應(yīng)該做的便是仔細審題，觀察題中所給的已知條件，再看一下題中是否已經(jīng)呈現(xiàn)一些直接的結(jié)論，因為本題題意屬于三角形的知識范疇，所以有：

A+B+C=π，

==（正弦定理），

a2=b2+c2-2bccosA（余弦定理）.

通過對問題的仔細觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，因為問題（1）中只含有角，因此，解題時可以考慮邊化角；因為只有B，C兩個角，所以考慮A和（B+C）互補；如果要證明B-C=，可以先證明sin（B-C）=1或者cos（B-C）=0，然后令B-C=得到間接證明.

因此，我們可以嘗試對條件進行一定的變形：bsin+C-csin+B=a？圯sinBsin+C-sinCsin+B=sinA=sin=？圯sinBcosC+·sinC-sinCcosB+sinB=？圯sinBcosC+sinBsinC-sinCcosB-sinCsinB=1？圯sinBcosC-sinCcosB=sin（B-C）=1.

由此，第（1）問中問題得證.

第（2）問中要求△ABC的面積，可由A=，B-C=求得：B=，C=，然后根據(jù)三角形面積公式S△=bcsinA，可知求出b，c或者bc即可. 根據(jù)A=，a=，B=，C=，B-C=以及正弦定理可得：==？圯b=2sin=2cos，c=2sin？圯S△=·2cos·2sin=sin=.

學生在教師的點撥與指導下明白了此類題目的解題必須根據(jù)已知條件和結(jié)論找出其中的關(guān)系，并將所學知識進行關(guān)聯(lián)才能順利解決，學生的邏輯思維在抽絲剝繭般的解題中也得到了很好的訓練.

直覺思維

聽起來尤其給人感覺虛無縹緲的直覺思維實實在在地存在于數(shù)學思維之中，現(xiàn)今的數(shù)學教學對其也是越來越重視. 直覺思維在數(shù)學學習中一般表現(xiàn)為學習者對數(shù)學對象、結(jié)構(gòu)以及其中所蘊含的規(guī)律性關(guān)系能夠進行敏銳的想象與迅速的判斷. 這些想象和判斷并不是與生俱來的，很多時候都需要教師有意識的栽培與訓練才能具備.

案例3：已知四面體O-ABC中，三個平面OAB，OAC，OBC分別兩兩垂直于點O，如果，這三個平面的面積分別記作S1，S2，S3，那么，平面ABC的面積S為多少？

首先，教師應(yīng)該引導學生進行勾股定理內(nèi)容的回顧與復(fù)習：在Rt△OAB中，∠O是直角，∠O，∠A，∠B所對的邊分別是c，a，b，則有c2=a2+b2.

然后，教師再提出問題引導學生進行仔細對比與思考：題中條件和勾股定理中的條件是否存在一定的相似呢？相似在哪里？會不會因為有這些相似也會有相似的結(jié)論呢？請嘗試給出猜想.

最后，結(jié)合勾股定理的類比以及師生之間的共同討論與分析，猜想如下：

S2=S+S+S，

通過嚴密的證明可以知道這個猜想的結(jié)論是否正確.

證明：設(shè)△ABC各邊為a，b，c，與頂點O相鄰的各邊為p，q，r，在△ABC中作CD⊥AB，垂足為D，連接OD，且令CD=h，OD=t. 由于平面OAB，OAC，OBC兩兩垂直于O，所以S1=rq，S2=pq，S3=rp. 因為CD⊥AB，CO⊥平面AOB，所以AB⊥OD，S=hc，所以S1=tc，h2=t2+p2，所以4S2=h2c2=（t2+p2）c2=4S+p2c2=4S+p2（q2+r2）=4S+4S+4S，即S2=S+S+S.

學生的直覺思維可以通過以上問題解答中所運用的觀察以及猜想進行訓練，另外，為了加強這方面的訓練，教師還可以給學生進一步進行變式與拓展，借此促進學生思維向外有效發(fā)散.