李 陽(yáng)

(中國(guó)西南電子技術(shù)研究所，四川 成都 610036)

電磁矢量天線具有能夠完整地感知入射電磁信號(hào)的極化信息，提高波達(dá)角DOA參數(shù)估計(jì)精度，和接收寬帶信號(hào)等優(yōu)點(diǎn)[1].在信號(hào)檢測(cè)和偵收等場(chǎng)景下，沒(méi)有必要使用測(cè)量所有電磁分量的矢量天線[2].傳統(tǒng)電磁矢量天線共點(diǎn)的天線單元之間，互耦效應(yīng)無(wú)法忽略時(shí)，采用空間分離的極化敏感陣列是一個(gè)更好的選擇[3].雖然有許多互耦參數(shù)估計(jì)算法，但是最簡(jiǎn)單有效的方法還是簡(jiǎn)化天線結(jié)構(gòu)，增加陣元之間的間距，從而減小互耦效應(yīng)帶來(lái)的影響.空間分離的偶極子天線和/或環(huán)形天線構(gòu)成的極化敏感陣列，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和隔離度高的特點(diǎn)，此外還增大了天線的孔徑，提高了入射信號(hào)參數(shù)估計(jì)的精度.文獻(xiàn)[4]提出了一種直線型的空間分離矢量天線陣列(Spatially Spread Electro-Magnetic Vector Sensor, SSEMVS)，并給出了利用矢量叉積估計(jì)信號(hào)DOA參數(shù)的確定性算法.但是直線性的空間分離矢量天線陣列的幾何構(gòu)型為直線，不能有效地利用空間，對(duì)DOA參數(shù)的估計(jì)可能存在模糊，同時(shí)確定性DOA參數(shù)估計(jì)算法的精度可以進(jìn)一步提高.文獻(xiàn)[5]研究了一般的SSEMVS，分析了基于矢量叉積的測(cè)向算法及其唯一可辨識(shí)性.文獻(xiàn)[6]將空間分離的偶極子天線引入極化多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)系統(tǒng)中，降低互耦并利用極化信息.文獻(xiàn)[7]結(jié)合叉積算法和相位干涉法獲取兩維波達(dá)角估計(jì).

傳統(tǒng)的叉積算法，將電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量的共軛進(jìn)行矢量叉積運(yùn)算，歸一化后得到入射電磁信號(hào)的單位方向矢量，和一個(gè)單位復(fù)數(shù)矢量對(duì)應(yīng)元素相乘的哈達(dá)瑪乘積.根據(jù)乘積的解析結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了高效和高精度的參數(shù)估計(jì)算法，即枚舉非線性規(guī)劃算法.文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)了已知信號(hào)波形時(shí)DOA和極化參數(shù)估計(jì)的克拉美勞界(Cramér-Rao Bound, CRB)，而枚舉非線性規(guī)劃算法可以有效地逼近CRB.

本文對(duì)叉積算法進(jìn)行分析，考察電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量的多種叉積運(yùn)算組合，發(fā)現(xiàn)其它叉積組合的結(jié)果，同樣具有入射電磁信號(hào)單位矢量和一個(gè)單位復(fù)數(shù)矢量的哈達(dá)瑪乘積結(jié)構(gòu).這些叉積組合結(jié)果和傳統(tǒng)坡印廷矢量表達(dá)式不同，且是測(cè)量噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的新叉積結(jié)構(gòu)，據(jù)此提出一種新的SSEMVS和叉積測(cè)向算法.分析表明，一般的SSEMVS的辨識(shí)性分析結(jié)果和DOA估計(jì)算法經(jīng)過(guò)修改，同樣適用新的矢量天線陣列結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)入射信號(hào)的波達(dá)方向DOA估計(jì).

1 數(shù)據(jù)模型

在忽略本征阻抗和射頻通道之間的一致性之后，電磁矢量天線的輸出陣列流形矢量為aEMVS=[eThT]T，與入射信號(hào)的波達(dá)角和極化參數(shù)之間的關(guān)系為[1]：

(1)

其中θ∈[0,π],φ∈[0,2π) 分別為俯仰角和方位角，γ∈[0,π/2],η∈(-π,π] 分別為極化輔助角和極化差異角，ex,ey,ez表示偶極子天線單元測(cè)得的電場(chǎng)分量，hx,hy,hz表示環(huán)形天線單元測(cè)得的磁場(chǎng)分量.

一般的SSEMVS，通過(guò)將電磁矢量天線的6個(gè)天線單元在三維空間中平移分開布置構(gòu)成，如圖1所示.在這樣的布置結(jié)構(gòu)中，每個(gè)偶極子天線(環(huán)形天線)的取向分別平行于(垂直于)x，y和z坐標(biāo)軸.平移分開的天線單元，在接收入射信號(hào)時(shí)，在各個(gè)天線單元上產(chǎn)生與相對(duì)位置有關(guān)的相位差.在天線坐標(biāo)系中，當(dāng)各環(huán)形天線的位置矢量用pHx,pHy,pHz，偶極子天線的位置矢量用pEx,pEy,pEz表示時(shí)，由天線單元位置差異引起的相位矢量為：

(2)

其中ps為入射電磁信號(hào)的坡印廷矢量.

圖1 一般的空間分離矢量天線

結(jié)合式(1)和式(2)可以得到，一般SSEMVS的陣列流形矢量：

a(θ,φ,γ,η)=aEMVS(θ,φ,γ,η)·d(θ,φ),

(3)

其中·為對(duì)應(yīng)元素相乘的哈達(dá)瑪乘積.在加性高斯噪聲假設(shè)下，當(dāng)多個(gè)信號(hào)入射時(shí)，可以得到SSEMVS陣列的接收數(shù)據(jù)模型：

(4)

其中Y為接收數(shù)據(jù)矩陣，ak,k=1,…,K為第k個(gè)信號(hào)入射方向的陣列流形矢量，sk,k=1,…,K為第k個(gè)信號(hào)的時(shí)域波形采樣快拍，N為測(cè)量噪聲.

2 新的叉積算法和新的SSEMVS

2.1 不同組合的叉積運(yùn)算

電磁矢量天線的輸出陣列流形矢量式(1)可以重新表示為：

(5)

其中h,v為定義信號(hào)坐標(biāo)系水平和垂直方向的單位實(shí)矢量，Eh,Ev為入射信號(hào)在水平和垂直方向分量的復(fù)解析表示：

(6)

Eh=cos(γ),Ev=sin(γ)ejη.

信號(hào)坡印廷矢量ps是與波矢k同向的單位實(shí)矢量.h，v和ps構(gòu)成右手坐標(biāo)系，根據(jù)矢量叉積的性質(zhì)有：

(7)

根據(jù)式(5)和式(7)可以推導(dǎo)傳統(tǒng)計(jì)算坡印廷矢量的叉積算法：

(8)

類似地，通過(guò)電場(chǎng)和磁場(chǎng)復(fù)解析表示的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行叉積運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)同樣可得到信號(hào)的坡印廷矢量信息，即如下四種組合：

(9)

其中Re(·)和Im(·)分別表示取實(shí)部和取虛部運(yùn)算.在實(shí)際中，圓復(fù)高斯噪聲假設(shè)下，實(shí)部和虛部測(cè)量噪聲獨(dú)立，陣列流形矢量估計(jì)受到不同噪聲影響，式(9)中的估計(jì)相互獨(dú)立，那么通過(guò)將它們進(jìn)行融合可得到統(tǒng)計(jì)更優(yōu)的估計(jì)，如文獻(xiàn)[8]中e1和e2的融合方法.值得注意的是，通過(guò)對(duì)e1和e2的歸一化可以得到ps的準(zhǔn)確估計(jì)，而e3和e4歸一化后則可能得到方向相反的-ps.在復(fù)數(shù)框架下的叉積估計(jì)式以及H不取共軛的叉積估計(jì)都是ei,i=1,2,3,4的某種確定性組合，可以驗(yàn)證：

E×H*=e1+e2,

(10)

E×H=e1-e2+(e3+e4)j.

(11)

2.2 新的空間分離矢量天線陣列

新的叉積結(jié)構(gòu)式(11)，具有入射信號(hào)坡印廷矢量和未知復(fù)數(shù)矢量哈達(dá)瑪積時(shí)，可以應(yīng)用文獻(xiàn)[5]中的DOA估計(jì)算法.本文稱這種陣列為新的SSEMVS陣列.為了推導(dǎo)與新的叉積結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的SSEMVS陣列，首先給出引理1.

引理1 當(dāng)向量a,b,c,d∈3×1，滿足b和d的叉積為零時(shí)，即：

(12)

則如下等式成立：

a·b×c·d=e·a×c.□

(13)

證明：根據(jù)哈達(dá)瑪乘積和矢量叉積的定義將式(13)的左邊展開可得：

(14)

將式(12)代入式(14)，并根據(jù)矢量叉積的定義可得：

e·a×c,

(15)

同時(shí)有：

b×d=e-e=0.□

(16)

根據(jù)上述新的叉積定義，得到如下新的SSEMVS陣列結(jié)構(gòu).

定理1 (新的SSEMVS)當(dāng)三個(gè)與坐標(biāo)軸x,y,z平行的偶極子天線的位置矢量pEx,pEy,pEz，以及三個(gè)取向與坐標(biāo)軸x,y,z平行的環(huán)形天線的位置矢量pHx,pHy,pHz滿足如下反對(duì)稱關(guān)系時(shí)：

(17)

陣列流形的矢量叉積式(11)，可以表示為信號(hào)坡印廷矢量與一個(gè)單位復(fù)數(shù)矢量的哈達(dá)瑪乘積再乘上一個(gè)復(fù)系數(shù)：

(18)

其中：

(19)

ps是入射信號(hào)坡印廷矢量，λ為陣列信號(hào)的工作頻率對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng).gx,gy,gz稱為新的SSEMVS陣列的g參數(shù).□

(20)

利用引理1可知在de平行于dh時(shí)，記為de‖dh時(shí)有：

(21)

而de‖dh等價(jià)為：

de×dh=0,

(22)

即：

(23)

若對(duì)任意方向入射ps均成立，那么有：

(24)

即等價(jià)于式(17).□

基于g參數(shù)的模糊性分析和枚舉非線性規(guī)劃算法估計(jì)信號(hào)的波達(dá)角參數(shù)[5]同樣適用于該新的SSEMVS陣列.

3 仿真結(jié)果

(25)

(26)

圖2 陣列的陣元位置分布，星號(hào)表示偶極子天線，圓圈表示環(huán)形天線

A. 實(shí)驗(yàn)1：兩個(gè)信號(hào)入射波達(dá)角CRB的比較

這個(gè)實(shí)驗(yàn)考察新SSEMVS天線單元之間的距離對(duì)DOA估計(jì)算法性能的影響.考慮兩個(gè)入射信號(hào)，DOA和極化參數(shù)(θ,φ,γ,η)分別為(35°,42°,45°,10°)和(43°,35°,45°,170°)，基帶頻率分別為f1=0.1，f2=0.1265.信噪比為30dB.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示.從圖中可以看出，與前面的SSEMVS陣列類似，兩個(gè)信號(hào)源參數(shù)估計(jì)的CRB均隨天線單元之間的間距的增大而減小.

圖3 新SSEMVS陣列中坡印廷矢量估計(jì)的CRB隨天線單元之間距離的變化

B.實(shí)驗(yàn)2：兩個(gè)信號(hào)入射波達(dá)角MSE的比較

這個(gè)實(shí)驗(yàn)考察在新SSEMVS天線單元之間的距離對(duì)DOA估計(jì)性能的影響.兩個(gè)入射信號(hào)配置與實(shí)驗(yàn)1相同.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示.從圖中可以看出，與前面的SSEMVS陣列類似，在天線單元之間間距在十個(gè)波長(zhǎng)以內(nèi)時(shí)枚舉非線性規(guī)劃算法均能正確地估計(jì)信號(hào)波達(dá)角，且有效的達(dá)到CRB；不過(guò)，隨著天線單元間距繼續(xù)增大，在決定信號(hào)坡印廷矢量的符號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致均方差急劇增大.

圖4 新SSEMVS陣列中信號(hào)坡印廷矢量估計(jì)的均方誤差隨天線單元之間距離的變化

C. 實(shí)驗(yàn)3：不同間距叉積向量擬合誤差曲面

更了進(jìn)一步驗(yàn)證圖4中“拐點(diǎn)”出現(xiàn)的原因，這里給出叉積向量擬合誤差隨信號(hào)到達(dá)角θ和φ的變化，結(jié)果如圖5和圖6所示，其中z軸對(duì)應(yīng)擬合誤差的負(fù)對(duì)數(shù)，值越大對(duì)應(yīng)誤差越小.實(shí)驗(yàn)配置與實(shí)驗(yàn)2相同.從圖中可以看出當(dāng)天線單元之間間距較小時(shí)，擬合誤差“譜”的峰值相對(duì)較少，但也不止一個(gè)，這意味著初值選擇不當(dāng)時(shí)，優(yōu)化很容易收斂到錯(cuò)誤的局部極值，不過(guò)根據(jù)幅度信息來(lái)確定初值，仍然能夠有效的求解得到正確的估計(jì)；當(dāng)天線單元之間間距增大時(shí)，擬合誤差“譜”的峰值急劇增多，使得優(yōu)化陷入錯(cuò)誤的局部最優(yōu)的可能也隨之增大，當(dāng)幅度信息提供的初值精度不夠時(shí)，則出現(xiàn)了圖4中的“拐點(diǎn)”.

圖5 第一個(gè)信號(hào)叉積向量擬合誤差曲面

圖6 第二個(gè)信號(hào)叉積向量擬合誤差曲面

4 結(jié)論

本文分析了電場(chǎng)分量和磁場(chǎng)分量實(shí)部和虛部不同組合下的叉積結(jié)構(gòu)，分析表明傳統(tǒng)的叉積運(yùn)算只是這些叉積結(jié)果的一種組合.在此基礎(chǔ)上，給出了電場(chǎng)分量和不取共軛的磁場(chǎng)分量之間的叉積所定義的叉積測(cè)向，給出了適合枚舉非線性規(guī)劃算法的新空間分離矢量天線陣列結(jié)構(gòu).與傳統(tǒng)SSEMVS相比，完善了叉積估計(jì)算法的理論架構(gòu)，提供了更加靈活的陣列布局.仿真驗(yàn)證了新的SSEMVS和新的叉積測(cè)向算法的正確性和有效性.

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