陳秀梅

【摘要】本文主要通過一些教學(xué)實(shí)踐探討了怎樣利用行列式的幾何解釋來幫助學(xué)生更好地理解行列式.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；行列式；幾何意義

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)及理工科各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課.在高等代數(shù)課程中，行列式是一個(gè)重要的工具.n階行列式的定義為

其中，τ（j1j2…jn）為排列j1j2…jn的逆序數(shù).一般的教材中都是直接給出n階行列式的這個(gè)定義，并沒有說明為什么這樣定義.但是行列式的這個(gè)定義從形式上是非常煩瑣的，因而學(xué)生也會(huì)很疑惑：為什么用這么麻煩的式子定義行列式？怎樣想到這樣定義的？行列式到底是什么東西？筆者在高等代數(shù)的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題在很多學(xué)生中都是普遍存在的.結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和一些思考，筆者認(rèn)為要解決這個(gè)問題，可以從行列式的幾何意義入手來回答學(xué)生的上述一些問題，同時(shí)可以使得學(xué)生對(duì)行列式及其性質(zhì)以及矩陣的一些性質(zhì)能夠理解得更加準(zhǔn)確和深入.

行列式的幾何意義可以有兩個(gè)解釋，一是從靜態(tài)的角度，一個(gè)是從動(dòng)態(tài)角度.

一、靜態(tài)角度

從靜態(tài)角度看，n階行列式的幾何意義是以各列為棱的n維立體的有向體積.

由于學(xué)生剛剛學(xué)完解析幾何，比較熟悉混合積的知識(shí)，知道三階行列式可以看作三個(gè)三維向量的混合積，從而三階行列式就是以它們的各列為棱的平行六面體即3維立體的有向體積.對(duì)于二階行列式，可以在黑板上較容易推導(dǎo)出二階行列式為以各列為鄰邊的平行四邊形的有向面積.有了二階和三階的幾何意義，學(xué)生不難接受n階行列式的幾何意義是以各列為棱的n維立體的有向體積的這個(gè)看法.

對(duì)于一般的n階情形，道理是完全一樣的.這樣學(xué)生對(duì)于一般的n階行列式的定義的來源就理解得比較清楚，是從它的體積的幾何意義中自然而然地得到的，同時(shí)學(xué)生對(duì)于行列式的性質(zhì)也都可以從體積的角度來更深刻地理解.

二、動(dòng)態(tài)角度

從動(dòng)態(tài)角度看，方陣可以看作一個(gè)線性變換，因而，方陣A的行列式|A|可以看作該線性變換下圖形面積或體積的伸縮率.

只以二階方陣A=[α1，α2]為例.設(shè)ε1=[1，0]′，ε2=[0，1]′是R2的標(biāo)準(zhǔn)基，明顯地，若將A看作線性變換，則該變換將ε1=[1，0]′，ε2=[0，1]′變?yōu)锳ε1=α1，Aε2=α2，從而A將以ε1，ε2為鄰邊的正方形變?yōu)橐驭?，α2為鄰邊的平行四邊形，變換后與變換前的面積之比為|A|.同樣的，R2上任意一個(gè)有面積的區(qū)域在變換下得到變換后與變換前的面積之比也為|A|，即|A|可以看作該線性變換下圖形面積或體積的伸縮率.

利用這樣一種看法，可以非常容易地從幾何上理解方陣乘積的行列式結(jié)論：設(shè)A，B都是n階方陣，則|AB|=|A||B|.由于AB看作線性變換是變換A與變換B的合成，因而，總的伸縮率自然就是這兩次變換伸縮率的乘積.

通過教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生的反饋表明，學(xué)生對(duì)于這樣解釋行列式的幾何意義比較容易接受，對(duì)于行列式和矩陣及其性質(zhì)的理解也更加深刻.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李尚志.線性代數(shù)（數(shù)學(xué)專業(yè)用）[M].北京：高等教育出版社，2006：5.

[2]北京大學(xué)幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)：第3版[M].北京：高等教育出版社，2008.