胡娟

本文主要以強(qiáng)激光技術(shù)的發(fā)展為前提，研究在非相對(duì)論量子場(chǎng)理論條件下，計(jì)算超強(qiáng)激光作用下整個(gè)系統(tǒng)中電子與光子相互作用的波函數(shù)，通過(guò)計(jì)算強(qiáng)光場(chǎng)中A2項(xiàng)的作用，對(duì)強(qiáng)光作用下的電子系統(tǒng)用含時(shí)薛定諤量子波場(chǎng)來(lái)進(jìn)行描述。利用庫(kù)侖規(guī)范條件、含時(shí)薛定諤方程推導(dǎo)出強(qiáng)光作用下電子波函數(shù)的計(jì)算公式，包括強(qiáng)光作用下電子能量En（K）的表達(dá)式。并由含時(shí)電子的波函數(shù)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的能量由于電磁輻射的產(chǎn)生而增加，同時(shí)得出電子的含時(shí)波函數(shù)的形式將不再是普通波函數(shù)ψ～eiEt/h。

1 緒論

在超強(qiáng)超快激光技術(shù)的快速發(fā)展的當(dāng)下，要獲得輸出功率高、聚焦輻射強(qiáng)的光束能力上已經(jīng)成為現(xiàn)實(shí)。在這樣的強(qiáng)光束的作用下，強(qiáng)光所輻射出的強(qiáng)度遠(yuǎn)超與半導(dǎo)體材料內(nèi)部所有的庫(kù)侖場(chǎng)強(qiáng)。因此非線性原子物理學(xué)這一新的研究就隨著這一類光束的出現(xiàn)而有了新的方向。介質(zhì)內(nèi)部因強(qiáng)光場(chǎng)而產(chǎn)生高離化態(tài)離子的研究，強(qiáng)光與物體相互作用的研究，強(qiáng)激光脈沖對(duì)分子的作用等研究都有待突破。通過(guò)強(qiáng)光場(chǎng)電離產(chǎn)生的超稠密和低密度激光等離子體相關(guān)特性的研究已然成為現(xiàn)下物理學(xué)中的一大研究熱點(diǎn)。同時(shí)對(duì)強(qiáng)光場(chǎng)中納米結(jié)構(gòu)材料的研究以及低維半導(dǎo)體的不穩(wěn)定非線性光學(xué)性質(zhì)的研究也意義重大。

強(qiáng)光脈沖的寬度已經(jīng)從Ps（皮秒）量級(jí)已經(jīng)縮短到了fs（飛秒）量級(jí)，光強(qiáng)度也提高近六個(gè)數(shù)量級(jí)。在這樣的強(qiáng)光驅(qū)動(dòng)下的電子的運(yùn)動(dòng)就有著很強(qiáng)的相對(duì)論性，在處理強(qiáng)光與介質(zhì)中載流子作用時(shí)，要先分析自由電子在強(qiáng)光作用下的特點(diǎn)。因?yàn)閺?qiáng)光不僅可以引起電子的帶間躍遷，同時(shí)也能使電子在帶內(nèi)的狀態(tài)發(fā)生改變。本文通過(guò)強(qiáng)光場(chǎng)中電子與光子的相互作用，從二維電子氣模型的角度研究強(qiáng)光驅(qū)動(dòng)下電子波函數(shù)的特性。把介質(zhì)中的電子作非相互作用單電子近似，也就是通過(guò)含時(shí)薛定諤方程來(lái)計(jì)算。

2 電子的含時(shí)薛定諤方程

本文計(jì)算中應(yīng)用的強(qiáng)光脈沖形式為 ，從經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的電磁輻射場(chǎng)中出發(fā)，用A表示電磁輻射場(chǎng)強(qiáng)光的矢勢(shì)也叫（電磁矢勢(shì)），設(shè)強(qiáng)光場(chǎng)的輻射方向沿X軸的方向，光沿Z軸方向傳播。即 。帶入脈沖形式有： 系統(tǒng)波函數(shù)的含時(shí)表達(dá)式： 。其中εn由電子自旋和不含時(shí)薛定諤方程共同來(lái)決定，而 滿足薛定諤方程： 帶入上式的波函數(shù)，k=（kx+ky+kz）為波函數(shù)的波矢。ψ（R，t）是整個(gè)系統(tǒng)在強(qiáng)光場(chǎng)中的波函數(shù)，強(qiáng)光場(chǎng)的輻射方向沿X軸的方向，也就是說(shuō)沿X軸方向的光是隨時(shí)間變化的的量，因此要對(duì)X軸進(jìn)行含時(shí)坐標(biāo)變換，令： 。

于是得到：

此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量即為顯含時(shí)間的量，其表達(dá)式為：

。

對(duì)于強(qiáng)光作用下的二維電子氣，P=（Px；PyPz）為動(dòng)量算符是三個(gè)獨(dú)立的量子數(shù)， ， ， 。U（z）是二維電子氣中的受限的電子勢(shì)能。

把含時(shí)薛定諤方程拆分開，即可把方程化為：

式中R=（r，z）=（x，y，z），也就是說(shuō)r是x與y方向的矢量合成。由此可得此時(shí)系統(tǒng)的薛定諤方程為：

經(jīng)含時(shí)坐標(biāo) 變換之后的 ，薛定諤方程也同時(shí)經(jīng)含時(shí)坐標(biāo)變換，對(duì)左邊偏導(dǎo)數(shù)逐項(xiàng)展開后有：

即可得：

要得到系統(tǒng)的波函數(shù)，需把所有的參數(shù)一并求出，再帶入整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)方程。之前的計(jì)算中，已經(jīng)求得含時(shí)坐標(biāo)變換之后的位移的變化量，此時(shí)還需要求解出D（t），而D（t）是對(duì)A2從0到t時(shí)間進(jìn)行非線性積分得到：

把所有計(jì)算出的參數(shù)帶入可得整個(gè)系統(tǒng)中電子的波函數(shù)為：

且 是系統(tǒng)的能譜，ψn（Z）和εn同時(shí)都由一維含時(shí)薛定諤方程來(lái)決定：

3 格林函數(shù)

從電子的含時(shí)波函數(shù)可以計(jì)算出概率振幅，在 態(tài)時(shí)間為t時(shí)給系統(tǒng)加一個(gè)電子，讓系統(tǒng)經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，系統(tǒng)中的電子處于 態(tài)，通過(guò)電子從 態(tài)變化到 態(tài)的過(guò)程中可得：

計(jì)算過(guò)程中應(yīng)用到 這一關(guān)鍵步驟。把解析式進(jìn)一步化簡(jiǎn)后可得：

在此規(guī)定格林函數(shù)在（n，k；t）空間中的電子不發(fā)生相互作用，所以可以通過(guò)格林函數(shù)公式來(lái)定義電子從 態(tài)變化到 態(tài)的過(guò)程中的變化：

由于變換的電磁場(chǎng)激發(fā)出的輻射場(chǎng)，所以計(jì)算出來(lái)的是含有兩個(gè)時(shí)間（t和t）的格林函數(shù)。且有 ：

于是，格林函數(shù)在（n，k；t）空間表象中的表達(dá)式就可以利用上面的式子重新替換為：

電子經(jīng)過(guò)從 態(tài)變化到 態(tài)的過(guò)程，時(shí)間也經(jīng)歷了從t到t的過(guò)程。進(jìn)行傅里葉變換后可求出經(jīng)過(guò)時(shí)間推遲后的格林函數(shù)。

為了研究系統(tǒng)中電子的穩(wěn)態(tài)特性，可以對(duì)輻射場(chǎng)一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間T進(jìn)行平均，利用公式 即可求出格林函數(shù)然。

4 小結(jié)

強(qiáng)光作用下電子的耦合輻射場(chǎng)可以由系統(tǒng)的波函數(shù)得出以下結(jié)果：

（1）二維電子氣系統(tǒng)的能量由εn變?yōu)镋n（K），且 。這是由于強(qiáng)光作用下使電子系統(tǒng)產(chǎn)生了電磁輻射，使系統(tǒng)的總能量增加。

電子經(jīng)過(guò)格林函數(shù)變化之后，可以看出電磁輻射場(chǎng)的作用。當(dāng)電子的磁場(chǎng)耦合到輻射場(chǎng)時(shí)，從電子的波函數(shù)和格林函數(shù)式中可以體現(xiàn)出電子的回旋共振效應(yīng)。

（2）電子的含時(shí)波函數(shù)的形式將不再是普通波函數(shù) 的形式。

本文中的電磁矢勢(shì)A和標(biāo)量勢(shì)φ，都是以庫(kù)侖規(guī)范為前提進(jìn)行計(jì)算的，在電磁輻射場(chǎng)中 。庫(kù)侖規(guī)范對(duì)應(yīng)于電流密度j=0，電荷密度ρ=0，也就是系統(tǒng)中的自由電子在受到電磁場(chǎng)的作用下沿著二維平面極化。這種處理準(zhǔn)低維電子與光子相互作用的方法非常的簡(jiǎn)便并且所應(yīng)用的計(jì)算方法普遍適用。

（作者單位：陸軍邊海防學(xué)院（昆明校區(qū)））