屈青

【摘 要】工程問題是應(yīng)用題中的一種類型，相對變化較少，如果能將較少的變化內(nèi)容都掌握，那么面對工程問題時(shí)就能做到事半功倍。

【關(guān)鍵詞】工程問題 分工合作問題 輪流合作

工程問題是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的一個分支。在解決問題時(shí)，我們總會遇到甲乙丙這三個人，一般會告訴我們甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要多長時(shí)間，還有乙和丙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要時(shí)間。然后問其中2人或3人合作完成需要的時(shí)間，亦或是說誰先做幾天，剩下的由某某去完成，還需要多少時(shí)間才能完成。這就是典型的工程問題。解決這類問題，其實(shí)只要理清三個量（工作總量、工作時(shí)間、工作效率）之間的關(guān)系就可以了。

它們的數(shù)量關(guān)系是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間；工作效率=工作總量÷工作時(shí)間；工作時(shí)間=工作總量÷工作效率。工程問題是數(shù)學(xué)運(yùn)算?？嫉囊环N出題類型，相對變化較少。出題方式通常有三種情況：一般工程問題、分工合作問題、輪流合作問題。

一、一般的工程問題

下面來看看幾種常見的工程問題。

1.分工合作問題

（1）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要用20天，乙隊(duì)單獨(dú)做要用30天。如果兩隊(duì)合做，幾天可以做完？一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需6天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需12天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做需18天完成。乙丙兩隊(duì)1天完成幾分之幾？5天完成幾分之幾？若甲乙兩隊(duì)合做2天，還剩幾分之幾？甲、乙、丙隊(duì)合作幾天能完成全部工程？

（2）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做12天完成全工程，乙隊(duì)獨(dú)做15天完成全工程?，F(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合作幾天后甲中途有事請假耽擱了幾天后又回來工作，這樣總共花6天.甲請了幾天假？

分析：解決這道題可以轉(zhuǎn)化成乙做了6天，余下的甲做了幾天，再算甲比乙少做了幾天，就是乙請假了幾天。

2.交替工作

一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要用10天，乙隊(duì)單獨(dú)做要用20天。如果甲先做一天，然后乙接替甲做一天，再由甲接替乙做一天……兩隊(duì)如此交替工作，完成全工程要幾天？

3.稍復(fù)雜的工程問題

（1）師徒二人合作生產(chǎn)一批零件，6天可以完成任務(wù)。師傅先做5天后，因事外出，由徒弟來接著做3天，共完成任務(wù)的，如果每人單獨(dú)做這批零件各需多少天？一件工作，甲先做6小時(shí)，乙接著做12小時(shí)可以完成。甲先做8小時(shí)，乙接著做6小時(shí)可以完成。如果甲做3小時(shí)后乙接著做，還需要多少小時(shí)完成？分析：若有乙單獨(dú)做需幾小時(shí)：6×3+12=30（小時(shí)）；甲做3小時(shí)候乙接著還需幾小時(shí)：30-3×3=21（小時(shí)）

（2）加工一批零件，甲乙兩人單獨(dú)做所用的時(shí)間比是3：5，現(xiàn)在兩人合作，完工時(shí)甲完成了這批零件的3/7還多66個，這批零件共多少個？分析：甲、乙兩人單獨(dú)做所用的時(shí)間比是3：5，因此甲乙的工效比是5：3，所以完工時(shí)甲完成了總工程的5/8.

（3）制造一批零件，按計(jì)劃36天可以完成它的1/3，實(shí)際工作12天后，工作效率提高了20%，那么實(shí)際完成這批零件共用多少天？制造一批零件，如果工作效率在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上提高20%，則工作時(shí)間提前5天完成。原來每天加工120個零件。那么這批零件的總?cè)蝿?wù)是多少個？分析：實(shí)際工效與計(jì)劃工效之比是：1+20%=6/5=6：5，1份時(shí)間：5÷（6-5）=5（天），計(jì)劃時(shí)間：5×6=30（天），零件總數(shù)：120×30=3600（個）。

二、工程問題與其他問題的整合

有的情況下，工程問題并不表現(xiàn)在兩個工程隊(duì)“修路筑橋，開挖河渠”上，甚至?xí)憩F(xiàn)在行程問題、購買物品、生產(chǎn)制造中等等。工程問題不僅是一種題型，更是一種解題方法。也就是說有些其他問題也可以轉(zhuǎn)化成工程問題來解決。這就是工程問題與其他問題的整合。

1.行程問題與工程問題的整合

（1）甲乙兩地相距500千米，快車5小時(shí)走完，慢車10小時(shí)走完。兩車同時(shí)相對開出幾小時(shí)相遇？

（2）甲、乙兩人在A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘，甲乙相遇后，又繼續(xù)行駛到終點(diǎn)后立即返回，從出發(fā)到第二次相遇需要多少分鐘？

（3）甲、乙兩人都從A地向B地出發(fā)，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘?，F(xiàn)在乙先行5分鐘后，甲再出發(fā)。甲經(jīng)過幾分鐘后能追上乙？

（4）甲、乙兩人在A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘，甲、乙兩人在距離中點(diǎn)12米處相遇，A、B兩地相距多少千米？

（5）甲、乙兩人都從A地向B地出發(fā)，甲行完全程需要12分鐘，乙行完全程需要15分鐘。甲到達(dá)終點(diǎn)后立即返回，經(jīng)過幾分鐘后兩人相遇？

2.工程問題和按比例分配整合

一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作20天完成，已知甲、乙兩隊(duì)的工作效率之比是4：5，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？

3.購買物品和生產(chǎn)加工也可以整合成工程問題

（1）學(xué)校有一筆資金，如果只買桌子可以買20張，如果只買椅子可以買60把，一共買可以買多少套？（一張桌子和一把椅子為一套）

（2）有一批布料，全部做成上衣可以做20件，只做褲子可以做60條。這批布料一共可以做多少套？

（3）一批鐵皮，如果只做圓柱的底面可以做60個，如果只做側(cè)面可以做30個，一共可以做多少個圓柱？（有蓋）

4.工程問題與比、百分?jǐn)?shù)整合

（1）做一項(xiàng)工程，計(jì)劃10小時(shí)完成，實(shí)踐8小時(shí)完成。實(shí)際與計(jì)劃的時(shí)間比是（），實(shí)際與計(jì)劃的工作效率之比是（）。工作時(shí)間縮短了（）%，工作效率提高了（）%。

5.用工程問題解決進(jìn)水管和出水管的問題

（1）一個水池裝有兩個進(jìn)水管，甲進(jìn)水管單獨(dú)開放12小時(shí)可以把水池注滿，乙進(jìn)水管單獨(dú)開放15小時(shí)可以把水池注滿，現(xiàn)在甲乙兩管同時(shí)開放幾小時(shí)可以把水池注滿？

（2）一個水池裝有兩個水管，甲進(jìn)水管單獨(dú)開放12小時(shí)可以把水池注滿，乙出水管單獨(dú)開放18小時(shí)可以把一水池放干，現(xiàn)在甲乙兩管同時(shí)開放幾小時(shí)可以把水池注滿？