摘 要：線性方程組的求解是大學數(shù)學中一個非常基礎也很重要的問題，它的求解方法多種多樣，在具體問題中如何選擇合適的方法正確求解尤其重要。本文對常用的幾種方法進行分析探究，分析出每種方法的優(yōu)越性與局限性，以便學生正確選擇。

關鍵詞：線性方程組;克萊姆法則;高斯消元法;Matlab;逆矩陣

線性方程組的求解是線性代數(shù)這門課程中的一個很重要的基礎部分，它的求解方法多種多樣，主要有克萊姆法則、逆矩陣法、高斯消元法、Matlab仿真法等[1]。下面分別介紹每一種方法的使用條件、解題方法、優(yōu)越性及局限性，以便具體求解過程中選擇合適的方法。

一、用克萊姆（Gramer）法則求解線性方程組

1.使用條件

要求線性方程組中未知量的個數(shù)等于方程的個數(shù)，且系數(shù)行列式的值不等于零[2]。

2.克萊姆法則

當線性方程組（1）滿足上述條件時，則可寫出線性方程組的系數(shù)行列式為：

4.優(yōu)越性與局限性

用克萊姆法則求解線性方程組時必須滿足方程組的未知量的個數(shù)等于方程的個數(shù)，且系數(shù)行列式的值不等于零兩個條件，對于二元與三元線性方程組的求解用這種方法比較方便，但對于三元及三元以上的線性方程組的求解時，由于每次需計算n+1個行列式，計算量較大，因此用這種方法求解不太適應。

二、用逆矩陣求解線性方程組

1.使用條件

與克萊姆法則的條件相同，即要求線性方程組中未知量的個數(shù)等于方程的個數(shù)，且系數(shù)行列式不等于零。

2.思路分析

4.優(yōu)越性與局限性

此種方法在思路上比較簡單，但牽涉到逆矩陣的求解與矩陣乘法兩種非?；A而又比較復雜的運算[5]，比較容易出錯，往往容易出現(xiàn)一步錯而導致步步錯，最終無法正確求解。但如果系數(shù)矩陣為正交矩陣時其逆矩陣就是其轉置（）[6]，所以用這種方法求解時比較容易。

三、用高斯（Gauss）消元法求解線性方程組

1.使用條件

所有的線性方程組都適應，無特殊要求。

4.優(yōu)越性與局限性

利用高斯消元法解線性方程組適應范圍廣泛且計算較簡便，但對于未知量較多或系數(shù)較復雜時往往計算量較大，很難直接計算出結果。

四、用MATLAB軟件求解線性方程組

由上面的分析可知，利用克萊姆法則、逆矩陣法與高斯消元法求解線性方程組都只能求解未知量較少的簡單問題，當遇到未知量較多的復雜問題時，這三種方法都比較難計算，而且容易出錯。隨著計算機功能的日益強大，對于復雜問題可采用Matlab進行求解，對于線性方程組的求解只需在命令窗口中輸入系數(shù)矩陣a和常數(shù)項所對應的矩陣b，輸入指令a＼b就可得結果[8]。

利用Matlab求解線性方程組這種方法具有適應范圍廣泛且、計算非常簡便、高效等優(yōu)點，但必須比較熟悉Matlab軟件并會進行相關操作，目前很多學生仍缺乏這方面的知識。

由分析可知用克萊姆法則與用逆矩陣求解線性方程組的方法對原方程組的要求較高，具有一定的局限性，但對于二元、三元甚至四元線性方程組的求解時，若滿足條件的情況下可直接計算。而高斯消元法對于所有的線性方程組的求解都適應，在計算上較簡單，但如果未知量較多、系數(shù)比較復雜時計算量大、難度大，此時利用Matlab求解就非常容易。但目前Matlab在高校中還沒有普及且對硬件設施的要求較高。因此在求解線性方程組時一般可跟據(jù)具體的情況選擇較合適的方法，一般來說在人工求解中較常用而又較簡單的方法就是高斯消元法。

參考文獻：

[1]張一博、周富照、左同亮、楊培、郭紅玲.線性方程組求解仿真實驗的實現(xiàn)[J].吉首大學學報（自然科學版），2011，32（06）：37-40

[2]蔡建興、任艷麗.大型線性方程組求解的可驗證外包算法[J].計算機應用研究，2017，34（02）：536-538

[3]姚俊、文傳軍.關于n元線性方程組求解的探討[J].常州工學院學報，2004（04）：25-29

[4]陳海霞、楊鐵貴.基于凝聚函數(shù)法的非線性方程組求解[J].科學技術與工程，2010，10（06）：1494-1496+1505

[5]邢芳、劉青昆、宮利東.基于文件拆分與高斯消去的線性方程組求解[J].計算機工程，2011，37（03）：39-41

[6]屈愛平、李敏.MEMETIC算法在非線性方程組求解中的應用[J].湖南文理學院學報（自然科學版），2009，21（04）：13-15

[7]王立志.廣義行列式在線性方程組求解中的應用[J].太原科技大學學報，2008（01）：33-35

[8]李樹梅.基于MATLAB工具的非線性方程組求解方法研究[J].江蘇科技信息，2017（18）：30-31

作者簡介：

楊伍梅（1981--）女，湖南益陽人，講師，碩士，主要從事最優(yōu)化理論與算法研究。