沈怡甜

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）版》指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！蓖评硪话惴殖珊锨橥评砗脱堇[推理，合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的創(chuàng)新性和嚴(yán)謹(jǐn)性。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果，這種從已有的事實(shí)出發(fā)推理出的新的猜想，是或然成立的，是學(xué)生創(chuàng)新能力的源泉；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算，通常是用來證明結(jié)論，這個結(jié)論是必然成立的，演繹推理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合情推理和演繹推理兩者相互融合，筆者將從合情推理和演繹推理出發(fā)，并結(jié)合蘇教版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級（下冊）《和與積的奇偶性》的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、合情推理和演繹推理的認(rèn)識

匈牙利數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞所著的《數(shù)學(xué)與猜想》中，首次將數(shù)學(xué)推理按其結(jié)論的可信程度分為兩類：論證推理和合情推理。論證推理就是我們所說的演繹推理，數(shù)學(xué)結(jié)論的證明要依靠論證推理，但是數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)和提出都要依靠觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、歸納等合情推理方法。喬治·波利亞的研究有效地拓寬了數(shù)學(xué)推理的范圍，但是他認(rèn)為合情推理就是猜想，對合情推理的界定并不清晰。二十世紀(jì)末，匈牙利開始進(jìn)行數(shù)學(xué)教育改革，近年來匈牙利學(xué)者呼吁要加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)，他們認(rèn)為應(yīng)該從幼兒園到高中的每個階段在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納、類比，得出猜想后再進(jìn)行演繹推理的證明。

我國數(shù)學(xué)教育的主要優(yōu)勢就是重視培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和空間想象能力，史寧中教授認(rèn)為學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)與沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維差異體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的基本思想上，包括抽象、推理和建模，可見推理在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把推理能力定位為十大核心概念之一，并對合情推理和演繹推理兩者的關(guān)系進(jìn)行了解讀。由此可見，合情推理和演繹推理作為邏輯推理的兩種推理方式，在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都很重要。

二、《和與積的奇偶性》的教學(xué)實(shí)踐

1.運(yùn)用歸納推理——提出或然的猜想

合情推理通常是指從特殊到一般的推理，主要的兩種推理方式包括歸納和類推。歸納推理可以按照歸納的對象是否完全分為完全歸納和不完全歸納。不完全歸納法是根據(jù)考查的一類事物的部分對象具有某一屬性，而做出該事物具有這一屬性的一般結(jié)論的推理方法。在學(xué)生猜想兩個數(shù)相加的和的奇偶性規(guī)律的時候，就是通過不完全歸納來進(jìn)行教學(xué)。

片段一：

舉例：任意選兩個不是0的數(shù)，求出它們的和，再看看和是奇數(shù)還是偶數(shù)。

[加數(shù) 加數(shù) 和 和是奇數(shù)還是偶數(shù) ]

觀察：觀察填好的表格，說說你的發(fā)現(xiàn)。

生：我發(fā)現(xiàn)和有的是奇數(shù)，有的是偶數(shù)。

師：什么時候和是奇數(shù)？什么時候和是偶數(shù)？

生1：我發(fā)現(xiàn)兩個偶數(shù)相加和就是偶數(shù)。

生2：我發(fā)現(xiàn)兩個奇數(shù)相加和也是偶數(shù)。

生3：我發(fā)現(xiàn)一個奇數(shù)加一個偶數(shù)和就是奇數(shù)。

師：這只是我們的猜想，請每組同學(xué)再舉一些例子來進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證之前，請想一想，要舉怎樣的例子呢？

交流不同位數(shù)的兩個數(shù)相加以及和的奇偶性。

……

這里其實(shí)考慮了加數(shù)的類型，是以不同的分類情況進(jìn)行舉例，雖然沒有得到反例，但是這樣只能得到或然的結(jié)論。合情推理就是“發(fā)現(xiàn)——猜想”，學(xué)生寫出的算式是雜亂無章的，但這些不同的算式中蘊(yùn)含著相同點(diǎn)，學(xué)生通過比較、分析、綜合等一系列思維過程，歸納出結(jié)論：“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”。

2.運(yùn)用多種推理——證明提出的猜想

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)科，根據(jù)有限數(shù)量的例子來說明“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”只是或然的結(jié)論，為了培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，還是需要在學(xué)生能理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推理。

片段二：

師：我們舉了一些例子，比如兩位數(shù)加三位數(shù)，三位數(shù)加三位數(shù)等等，看是否符合我們的猜想，但是這樣就能夠一定證明這個結(jié)論是正確的嗎？請?jiān)谛〗M內(nèi)交流想法。

交流1：判斷一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)只需要看這個數(shù)的個位，所以我們只要把所有兩個數(shù)相加的個位相加的情況列舉出來就能驗(yàn)證猜想了。

交流2：之前已經(jīng)學(xué)過用字母表示數(shù)，那么就可以用2a和2b來表示偶數(shù)，用2a+1和2b+1來表示奇數(shù)，2a+2b=2（a+b）還是偶數(shù)，（2a+1）+（2b+1）=2（a+b+1）結(jié)果是偶數(shù)，2a+2b+1=2（a+b）+1結(jié)果是奇數(shù)。

交流3：用畫圖的方式，可以進(jìn)行證明。如下圖：

偶數(shù)：[……]

奇數(shù)： [……]

偶數(shù)+偶數(shù)：[……]+[……]

……

對不同水平的學(xué)生要有不同的要求，學(xué)生驗(yàn)證的方法有很多，包括合情推理的不完全歸納，也可以通過數(shù)形結(jié)合、字母表達(dá)和完全歸納等。教師在教學(xué)時應(yīng)滲透演繹推理的思想，提供豐富的路徑給予學(xué)生思考，即使學(xué)生不是所有都能理解，但是這樣的證明方式就像給了學(xué)生一扇窗，能讓學(xué)生有意識的進(jìn)行有理有據(jù)的思考。

3.運(yùn)用關(guān)系推理——探索和的奇偶性規(guī)律

在研究3個或4個及以上不是0的自然數(shù)相加，和的奇偶性的情況時，一般都是利用舉例驗(yàn)證，通過不完全歸納來進(jìn)行探索規(guī)律的。但是不完全歸納依然得到的或然的結(jié)論，因此在這樣的基礎(chǔ)上，應(yīng)該給予學(xué)生更為深入思考的機(jī)會，如利用演繹推理中的關(guān)系推理完全可以進(jìn)行證明。

片段三：

活動要求：

（1）任意選3個或4個及以上不是0的自然數(shù)相加，研究它們和的奇偶性。

（2）觀察：加數(shù)里有幾個偶數(shù)、幾個奇數(shù)，和是什么數(shù)？

（3）思考：和是奇數(shù)還是偶數(shù)，與加數(shù)中什么數(shù)有關(guān)系，有什么關(guān)系？

學(xué)生可以用老師所提供的表格舉例，也可以畫圖、文字形式、用字母表示數(shù)等來進(jìn)行推理驗(yàn)證。

在充足的自主探索時空中，學(xué)生有豐富的探索方法，但是教師還要引導(dǎo)學(xué)生利用已有的結(jié)論“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”進(jìn)行關(guān)系推理。譬如，“奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)”，可以這樣思考，“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”，所以[“奇數(shù)+奇數(shù) + 奇數(shù)+奇數(shù) ”]就可以轉(zhuǎn)化為“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”。其他的多個數(shù)相加的和的奇偶性也可以這樣進(jìn)行判斷。關(guān)系推理是演繹推理中非常重要的一種方法。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用加法交換律將加數(shù)里的偶數(shù)和奇數(shù)分開，把所有的偶數(shù)相加，再把所有的奇數(shù)相加，可以發(fā)現(xiàn)多個數(shù)相加，和的奇偶性與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)。

4.運(yùn)用類比推理——提出新的猜想

和的奇偶性與積的奇偶性的探索方法是類似的，在探索和的奇偶性的規(guī)律之后，通過類比推理的方法，先讓學(xué)生猜想積的奇偶性的規(guī)律，即使猜想是錯的也沒有關(guān)系，學(xué)生就會經(jīng)歷從猜想到驗(yàn)證，再到結(jié)論的過程，帶著自己的思考進(jìn)入下面的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間是存在聯(lián)系的，就會感受到自己多了一種本領(lǐng)，仿佛是發(fā)現(xiàn)了“新大陸”，助長了學(xué)習(xí)的信心。關(guān)系思維，是非常重要的一種思維。

片段四：

師：回顧探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，說說自己的體會。

生1：我知道了以后在解決復(fù)雜問題時，可以從簡單入手。

生2：我學(xué)到了可以用舉例的方法找規(guī)律。

生3：我還知道舉例之后，要找出他們的共同點(diǎn)才能有所發(fā)現(xiàn)。

生4：我認(rèn)為除了舉例之外我們還要驗(yàn)證，這樣才能知道我們找到的規(guī)律是否正確。

……

師：今天我們的主題是“和與積的奇偶性”，現(xiàn)在我們才解決了和的奇偶性的規(guī)律，如果讓你自己來探索積的奇偶性，你想怎樣做？

生1：我認(rèn)為可以先探索兩個數(shù)相乘的規(guī)律。

生2：我認(rèn)為需要舉很多例子，然后比較這些算式，找出相同點(diǎn)，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律了。

生3：我要提醒一下，有發(fā)現(xiàn)了之后，還需要進(jìn)行驗(yàn)證。

生4：我們可以繼續(xù)研究多個數(shù)相乘，找出規(guī)律。

……

師：通過今天的學(xué)習(xí)，類比“和與積的奇偶性”的規(guī)律，你們還有什么猜想嗎？

……

通過《和與積的奇偶性》的教學(xué)實(shí)踐，我認(rèn)為合情推理和演繹推理是互為補(bǔ)充的，歸納和類比是演繹的基礎(chǔ)，為演繹提供條件；演繹是歸納和類比的前提，為歸納和類比提供理論依據(jù)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該提倡合情推理和演繹推理并重，將兩者相互融合，從而培育學(xué)生的創(chuàng)新精神和嚴(yán)謹(jǐn)精神，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省常熟市練塘中心小學(xué)）