徐家杰 李春 任杰 季云峰 施之皓

摘 要： 考慮乒乓球飛行軌跡受溫度影響，在飛行中受到重力、阻力及Magnus力的共同作用，根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)原理，通過(guò)Java虛擬機(jī)仿真模擬建立乒乓球右上旋飛行的動(dòng)力學(xué)方程，仿真得到乒乓球三維空間右上旋飛行軌跡，對(duì)比分析乒乓球在不同環(huán)境溫度時(shí)的右上旋飛行軌跡。仿真結(jié)果表明：環(huán)境溫度對(duì)乒乓球的運(yùn)動(dòng)軌跡影響較大，溫度越高，乒乓球軌跡越長(zhǎng)，高度越高。

關(guān)鍵詞： 乒乓球；溫度；Magnus力；空氣動(dòng)力學(xué)；Java虛擬機(jī)

中圖分類號(hào)：G846 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-9840（2018）02-0074-03

在各種球類運(yùn)動(dòng)里，乒乓球是最富有觀賞性和競(jìng)技性的高難度運(yùn)動(dòng)[1]。乒乓球之所以被稱之為高難度運(yùn)動(dòng)主要原因有：首先是乒乓球在飛行過(guò)程中飛行時(shí)間極短（大約0.55 s），飛行距離也很短（最大2.74 m），因此乒乓球飛行球速很快（通常速度為5 m/s）；其次是乒乓球飛行過(guò)程中帶有旋轉(zhuǎn)速度，且旋轉(zhuǎn)速度很高（通常3 000 rpm）；最后是乒乓球比賽中復(fù)雜多變的技戰(zhàn)術(shù) [2]。

在乒乓球比賽中，主要有以下六大旋轉(zhuǎn)球：上旋、下旋、左側(cè)旋、右側(cè)旋、順旋以及逆旋。球的旋轉(zhuǎn)對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)員存在極大的威脅，其中隱含的威脅不僅是乒乓球戰(zhàn)術(shù)上的變換，而且還有共同特點(diǎn)也就是旋轉(zhuǎn)。本文主要對(duì)右上旋乒乓球展開(kāi)討論。在各種球類運(yùn)動(dòng)中，乒乓球的旋轉(zhuǎn)球、排球的側(cè)旋球以及足球的“弧線球”都有著相同的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這就是空氣動(dòng)力學(xué)中的Magnus效應(yīng)[1]。其外在表現(xiàn)為旋轉(zhuǎn)球在飛行過(guò)程中飛行軌跡發(fā)生彎曲；使軌跡產(chǎn)生彎曲的力稱為Magnus力，Magnus力大小由旋轉(zhuǎn)速度、飛行速度以及密度決定[3-4]。文獻(xiàn)[3]將乒乓球弧圈球的運(yùn)動(dòng)方程建立在二維平面中，并對(duì)其空氣動(dòng)力原理以及飛行軌跡進(jìn)行了仿真分析，發(fā)現(xiàn)乒乓球的轉(zhuǎn)速顯著地影響著乒乓球的飛行軌跡，轉(zhuǎn)速不同的弧圈球有著明顯不同的飛行軌跡；深入研究表明，導(dǎo)致乒乓球速度及轉(zhuǎn)速變化的直接原因是Magnus力（包括其大小和方向）；同時(shí)文獻(xiàn)[4]也對(duì)于旋轉(zhuǎn)球做出研究，并得到Magnus力的方向會(huì)影響乒乓球飛行軌跡以及落點(diǎn)的結(jié)論。

乒乓球在比賽中的間歇式運(yùn)動(dòng)，不僅要考慮旋轉(zhuǎn)速度對(duì)乒乓球影響，同時(shí)還要考慮不同環(huán)境/比賽條件對(duì)乒乓球是否會(huì)產(chǎn)生影響以及究竟會(huì)產(chǎn)生多大影響，文獻(xiàn)[5]雖提到不同環(huán)境條件下對(duì)于棒球、高爾夫以及網(wǎng)球產(chǎn)生的影響具有爭(zhēng)議性，但仍然認(rèn)同環(huán)境影響的客觀存在。本文基于以上考慮，通過(guò)Java虛擬機(jī)仿真，從理論上探討不同溫度條件對(duì)乒乓球右上旋飛行軌跡以及落點(diǎn)的影響。

1 建立坐標(biāo)系及計(jì)算載荷

1.1 建立坐標(biāo)系

將乒乓球球桌的一角建立為絕對(duì)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸方向?yàn)榕c球桌長(zhǎng)邊平行朝向球網(wǎng)的方向，Y軸方向?yàn)榕c球桌寬邊平行的方向，Z軸方向?yàn)榇怪庇谇蜃镭Q直向上；顯然，這個(gè)建立在球桌一角的坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系；描述乒乓球飛行軌跡所選的參考系為這個(gè)建立在球桌一角的絕對(duì)坐標(biāo)系，利用乒乓球的位置參數(shù)表現(xiàn)乒乓球的飛行軌跡。相對(duì)坐標(biāo)系的XYZ軸方向分別平行于絕對(duì)坐標(biāo)系的XYZ軸方向，相對(duì)坐標(biāo)系固連于乒乓球并沿乒乓球的飛行軌跡而運(yùn)動(dòng)；乒乓球在空中飛行時(shí)，其速度方向和受力方向可在相對(duì)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向上分解，得到相對(duì)坐標(biāo)系下的速度方向參量，從而得到的位置參量可用于描述乒乓球的飛行軌跡。

1.2 計(jì)算載荷

[JP2]當(dāng)乒乓球的飛行速度方向與旋轉(zhuǎn)軸的方向垂直時(shí)，旋轉(zhuǎn)的乒乓球在飛行過(guò)程中除了受到的重力作用外還受到其他力的作用，包括空氣阻力以及Magnus力[6]。[JP]

對(duì)于乒乓球比賽中所使用的乒乓球及乒乓球桌，國(guó)際乒聯(lián)都做出了詳細(xì)的規(guī)定：比賽用球?yàn)榘霃? cm質(zhì)量2.7 g的乒乓球，比賽球桌尺寸為274×152.5×76 cm、球桌網(wǎng)高15.25 cm。

1.2.1 空氣阻力

乒乓球在飛行過(guò)程中受到與其速度方向相反的空氣阻力，且速度越大空氣阻力越大，空氣阻力的計(jì)算表達(dá)式為：

1.2.2 Magnus力

旋轉(zhuǎn)的乒乓球在飛行過(guò)程中，由于Magnus效應(yīng)的作用使其實(shí)際飛行軌跡偏離原有飛行軌跡，這個(gè)由于乒乓球的旋轉(zhuǎn)受到的作用力被稱作為Magnus力。Magnus（Heinrich Gustav Magnus）在1852年通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究了旋轉(zhuǎn)圓柱體的Magnus效應(yīng)[7]。以做上旋的乒乓球?yàn)槔?，乒乓球下方的旋轉(zhuǎn)方向與流體速度方向相反，流體速度因乒乓球表面的粘性作用而減小；乒乓球上方的旋轉(zhuǎn)方向與流體速度方向相同，表面的粘性作用與下方相比較小，使得流體速度大于乒乓球下方流體的速度。據(jù)伯努利方程可知：流速大的地方壓力小，流速小的地方壓力大。因此乒乓球上方的壓力小于下方的壓力，產(chǎn)生一個(gè)綜合向上的力作用于乒乓球，這個(gè)綜合的作用力也就是Magnus力 [8]：

2.1 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)牛頓第二定律將作用力及加速度向各方向分解，構(gòu)建三維力學(xué)方程：

2.2 初始溫度條件

2.3 JAVA虛擬機(jī)實(shí)現(xiàn)流程

乒乓球的初始溫度參數(shù)作為輸入條件，乒乓球飛行軌跡的運(yùn)動(dòng)方程采用如圖1所示的程序算法流程進(jìn)行求解。程序計(jì)算中輸出的軌跡包括無(wú)效球（乒乓球未過(guò)網(wǎng)超界、碰網(wǎng)或過(guò)網(wǎng)超界）軌跡和有效球（乒乓球過(guò)網(wǎng)未超界且落回桌面）軌跡；因?yàn)闊o(wú)效球飛行軌跡和飛行時(shí)間都較短，故僅將有效球軌跡作為結(jié)果分析對(duì)象以減小誤差。

3 結(jié)果與分析

如圖2所示，給出五種不同初始溫度條件下兩個(gè)方向上的二維圖：圖2（a）為乒乓球X軸方向與Z軸方向位移的平面圖，圖2（b）為乒乓球X軸方向與Y軸方向位移平面圖。

4 結(jié)論

通過(guò)求解不同的初始溫度條件下乒乓球的運(yùn)動(dòng)方程，得到不同初始溫度條件下乒乓球的飛行軌跡，分析所得結(jié)果，得出以下結(jié)論：環(huán)境溫度的改變，會(huì)使乒乓球飛行軌跡發(fā)生變化；如乒乓球做右上旋旋轉(zhuǎn)時(shí)，在X軸方向和Z軸方向的飛行軌跡隨溫度的上升而增長(zhǎng)，在Y軸方向變化不明顯。

參考文獻(xiàn)：

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